高中三角函数典型例题(教用)

高中三角函数典型例题

(教用)

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

【典型例题】：

1、已知tanx2，求sinx,cosx的值．

解：因为tanxsinx2，又sin2acos2a1， cosx联立得sinx2cosx22，

sinxcosx12525sinxsinx55解这个方程组得,.

cosx5cosx555tan(120)cos(210)sin(480)2、求的值。

tan(690)sin(150)cos(330)tan(120180)cos(18030)sin(360120)解：原式 otan(72030)sin(150)cos(36030)tan60(cos30)(sin120)33.

tan30(sin150)cos303、若

sinxcosx2,，求sinxcosx的值．

sinxcosxsinxcosx2,

sinxcosx解：法一：因为

所以sinxcosx2(sinxcosx)

得到sinx3cosx，又sin2acos2a1，联立方程组，解得

310310sinxsinx1010，， cosx10cosx101010所以sinxcosx3 102

法二：因为

sinxcosx2,

sinxcosx所以sinxcosx2(sinxcosx)，

22所以(sinxcosx)4(sinxcosx)，所以12sinxcosx48sinxcosx，

所以有sinxcosx3 10224、求证：tanxsinxtanxsinx。

22

5、求函数y2sin(x2π)在区间[0,2]上的值域。 6解：因为0x2]，所以0得到

xx7由正弦函数的图象，，26266xπxπ1y2sin(),1所以y2sin()1,226262，

6、求下列函数的值域．

（1）ysin2xcosx2；

y2sinxcosx(sinxcosx))

2解：（1）ysinxcosx2 （2）

=1cos2xcosx2(cos2xcosx)3

3

令tcosx，则t[1,1],y(tt)3(t)212213113(t)2,424

利用二次函数的图象得到y[1,13]. 4(2) y2sinxcosx(sinxcosx)

=(sinxcosx)21(sinxcosx)

π令tsinxcosx2sin(x)，则t[2,2]

45则yt2t1,利用二次函数的图象得到y[,12].

47、若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为(2,2)，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式。

解：由最高点为(2,2)，得到A2，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是

πT1个周期，这样求得4，T=16，所以 448ππ2sin(x).

84ππ又由22sin(2)，得到可以取.y848、已知函数f(x)=cosx－2sinxcosx－sinx．

4

4

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期； (Ⅱ)若x[0,],求f(x)的最大值、最小值．数

π2y1sinx的值域．

3cosx解：(Ⅰ)因为f(x)=cosx－2sinxcosx－sin4x＝(cosx－sinx)(cosx＋sinx)－

4

2

2

2

2

sin2x ππ(cos2xsin2x)sin2xcos2xsin2x2sin(2x)2sin(2x)

44所以最小正周期为π．

πππ3π(Ⅱ)若x[0,]，则(2x)[,]，所以当x=0时，f(x)取最大值为

2444π3π时，f(x)取最小值为2sin()1;当x482.

4

9、已知tan值.

2，求（1）

cossin；（2）sin2sin.cos2cos2的

cossinsincossincos1tan12322； 解：（1）

sin1tan12cossin1cossin2sincos2cos222 (2) sinsincos2cos 22sincos2sinsin2222242 cos2cos.

sin2131cos21说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过 程简化。

10、求函数y1sinxcosx(sinxcosx)的值域。

2π解：设tsinxcosx2sin(x)[2，2]，则原函数可化为

413yt2t1(t)2，因为t[2，2]，所以

2413当t2时，ymax32，当t时，ymin，

243所以，函数的值域为y[，32]。

411、已知函数f(x)4sin2x2sin2x2，xR；（1）求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此时x的集合；（2）证明：函数f(x)的图像关于直线

xπ对称。 8解：f(x)4sin2x2sin2x22sinx2(12sin2x)

π 2sin2x2cos2x22sin(2x)

4(1)所以f(x)的最小正周期Tπ，因为xR， 所以，当2xππ3π2kπ，即xkπ时，f(x)最大值为22； 4285

(2)证明：欲证明函数f(x)的图像关于直线xπ对称，只要证明对任意8ππxR，有f(x)f(x)成立，

88ππππ因为f(x)22sin[2(x)]22sin(2x)22cos2x，

8842ππππf(x)22sin[2(x)]22sin(2x)22cos2x，

8842πππ所以f(x)f(x)成立，从而函数f(x)的图像关于直线x对称。

888

3112 、已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1 （x∈R）,

22（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

33111解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x－1)+ +

22444（2sinx·cosx）+1

31515=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+

444246615=sin(2x+)+ 246所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈

626Z）。

所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}

6（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：

（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；

661（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得

2到函数y=sin(2x+)的图像；

61（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得

21到函数y=sin(2x+)的图像；

265（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数

415y=sin(2x+)+的图像。 2466

综上得到y=

312

cosx+sinxcosx+1的图像。

227