求三角函数值域及最值的常用方法+练习题

（一）一次函数型

或利用：yasinxbcosxa2b2sin(x) 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）y2sin(3x12)5，ysinxcosx

（3）函数ysinx （4）函数ytan(3cosx在区间[0,]上的最小值为 1 ．

22x)(4x4且x0)的值域是 (,1][1,)

（二）二次函数型

利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数f(x)cosx31cos2x(xR)的最大值等于．

421cos2x8sin2x （3）.当0x时，函数f(x)的最小值为 4 ．

sin2x2 （4）.已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是 1 ．

（5）.若2，则ycos6sin的最大值与最小值之和为____2____．

（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解

asinxb型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ccosxd①转化为asinxbcosxc再利用辅助角公式求其最值； 型如f(x)②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数ysinx的值域。

cosx2解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx, sinx)与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率y便是函数ysinx得最值，由几何知识，易求得过Q的两切线得斜率Pcosx23333[,]。 分别为、。结合图形可知，此函数的值域是

OQx3333sinx解法2：将函数y变形为

cosx22y|2y|由|sin(x)|ycosxsinx2y，∴sin(x)1(2y)21y2，解得：

1y21y23333,] y，故值域是[33331t22tsinxcosx解法3：利用万能公式求解：由万能公式sinx，，代入得到y221tcosx21t2t22则有3yt2ty0知：当t0，则y0，满足条件；当t0，由△412y0，y213t3333,]。 y，故所求函数的值域是[33331t22tsinx2tcosx解法4：利用重要不等式求解：由万能公式sinx，，代入得到yy1t2cosx213t21t222当t0时，则y0，满足条件；当t0时，y，如果t > 0，则

113t(3t)tty22233y0；如果t < 0，则，此时即有1132333t(3t)tt33323，此时有0y。综上：此函数的值域是[,]。 13333()(3t)2(1)(3t)tt2cosx例2.求函数y(0x)的最小值．

sinxy2解法1：（利用三角函数的有界性求解）原式可化为ysinxcosx2(0x)，得1y2sin(x)2，即sin(x)21y2，

故21y21，解得y3或y3（舍），所以y的最小值为3．

2cosx(0x)表示的是点A(0,2)与

sinx解法2：(从结构出发利用斜率公式，结合图像求解)y22其中点B在左半圆ab1(a0)上，由图像知，当AB与半圆相切时，y最小，B(sinx,cosx)连线的斜率，

此时kAB3，所以y的最小值为3．

（四）换元法

代数换元法代换：ysinxcosxsinxcosx t21t再用配方. 令：sinxcosxt,则y2 例题：求函数ysinxcosxsinxcosx的最大值．

t21121 解：设sinxcosxt(2t2)，则sinxcosx，则ytt，当t2时，y有

222最大值为

12． 2（五）降幂法

型如yasin2xbsinxcosxc(a0)型。此类型可利用倍角公式、降幂公式进行降次、整理为yAsin2xBcos2x型再利用辅助角公式求出最值。 例1：求函数f(x)53cos2x3sin2x4sinxcosx(4x7 )的最值，并求取得最值时x的值。

24分析：先化简函数，化成一个角的一种函数再由正弦，余弦函数的有界性，同时应注意角度的限定范围。 解：由降幂公式和倍角公式，得

21723cos(2x) ， ∴，∴2x26242437∴f(x)的最小值为3322，此时x，f(x)无最大值。

24∵

x例2. 已知函数f(x)2sin2πππx3cos2x，x，．

424 （I）求f(x)的最大值和最小值；

（II）若不等式f(x)m2在x，上恒成立，求实数m的取值范围．

42分析：观察角，单角二次型，降次整理为asinxbcosx形式． 解：（Ⅰ）∵f(x)1cosπππ2x3cos2x1sin2x3cos2x 2π12sin2x．

3 又∵x，，∴≤2x≤，即2≤12sin2x≤3，

363342

ππππ2ππ∴f(x)max3，f(x)min2．

（Ⅱ）∵f(x)m2f(x)2mf(x)2，x，，

42

ππ∴mf(x)max2且mf(x)min2，

，4)． ∴1m4，即m的取值范围是(1典型应用题

例题：扇形AOB的半径为1，中心角为60，PQRS是扇形的内接矩形，问P在怎样的位置时，矩形PQRS的面积最大，并求出最大值．

分析：引入变量AOPx，建立目标函数．

B Q O P R S A 解：连接OP，设AOPx，则PSsinx，OScosx，

RScosx3sinx． 3S(cosx333sinx)sinxsin(2x)， 33660x3，所以当x

6

时，P在圆弧中心位置，Smax3． 6点评：合理引进参数，利用已知条件，结合图形建立面积与参数之间的函数关系式，这是解题的关键．

（六）条件最值问题（不要忘了条件自身的约束）

例1. 已知sinxsiny12，求sinycosx的最大值与最小值． 3 分析：可化为二次函数求最值问题．

12sinx，siny[1,1]，则sinx[,1]． 331111112sinycos2x(sinx)2，当sinx时，sinycos2x有最小值； 当sinx时，

21232124sinyco2sx有最小值．

92222例2：已知3sin2sin2sin，求ysinsin的取值范围。

解：（1）由已知得：siny分析：用函数的思想分析问题，这是已知关于sinα，sinβ的二元条件等式求二元二次函数的值域问题，应消元，把二元变一元，注意自变量的范围。

解：∵3sin2sin2sin，∴sin22232sinsin ∵0sin21 23sin2sin022解得0sin

33sin2sin12111∵ysin2sin2sin2sin(sin1)2

2222 ∵0sin。

3244∴sin α=0时，ymin0； sin时，ymax ∴0sin2sin2。

399例3 ：求函数yx1x的最大值和最小值，并指出当x分别为何值时取到最大值和最小值。

∴2解：∵定义域为0≤x≤1，可设xcosx且02

1x1cos2sin2，0∴y2

cos2sin2sincos2sin()

4∵0243∴当或，即θ =0或（此时x=1或x=0），y=1；

442441当，即时，（此时x），y2，

2421当x=0或x=1时，y有最小值1；当x时，y有最大值2。

2评析：利用三角换元法求解此类问题时，要注意所设角的取值范围，要同原函数定义域相一致，尽量恰到好处。

，∴

423sin()1即1y2 ，∴244【反馈演练】

1．函数y2sin(x)cos(x)(xR)的最小值等于____－1_______．

3632．已知函数f(x)3sinx，g(x)sin( x)，直线xm和它们分别交于M，N，则MNmax_________．

2cos2x3．当0x时，函数f(x)的最小值是______4 _______．

cosxsinxsin2x44．函数ysinx的最大值为_______，最小值为________.

cosx25．函数ycosxtanx的值域为 . 6．已知函数f(x)11(sinxcosx)|sinxcosx|，则f(x)的值域是 . 223,上的最小值是2，则的最小值等 于_________．

2347．已知函数f(x)2sinx(0)在区间8．（1）已知(0,)，函数y3sin的最大值是_______.

13sin2（2）已知x(0,)，函数ysinx2的最小值是____3___. sinx9．在△OAB中，O为坐标原点，A(1,cos),B(sin,1),(0,． _____________

2]，则当△OAB的面积达最大值时，

，xR． 10．已知函数f(x)2cosx(sinxcosx)1（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间，上的最小值和最大值．

84解：（Ⅰ）f(x)2cosx(sinxcosx)1sin2xcos2xπ3ππ2sin2x．

4因此，函数f(x)的最小正周期为π．

（Ⅱ）因为f(x)ππ3π3π3π2sin2x在区间，上为增函数，在区间，上为减函数，又

48884πf0，8π3π3π3ππf2，f2sin2cos1，

48424故函数f(x)在区间，上的最大值为2，最小值为1．

84解法二：作函数f(x)

由图象得函数f(x)在区

π3πππ9π2sin2x在长度为一个周期的区间，上的图象如下：

484y 间，上的最大值为2，最84π3π小值为f11

．

3π1． 4若

函

数

O x f(x)1c2sssixn)(22ox2xians23，试确定常数a的值. xin)的最大值为(4解：f(x)12cos2x12sin(2sinxa2sin(x4)

x)因为f(x)的最大值为23,sin(x所以a3,

12．已知函数f(x)2sinxsin2x．

24)的最大值为1，则2a223,

（1）若x[0,2]．求使f(x)为正值的x的集合； （2）若关于x的方程[f(x)]f(x)a0在[0,24]内有实根，求实数a的取值范围.

解：（1）∵f(x)1cos2xsin2x12sin(2x 又x[0,2]. ∴x(0,4)

37)(,) 44（2）当x[0,4]时，2x222,] ,∴sin(2x)[322444则f(x)[0,2]，∴f(x)f(x)[0,6]

∵方程[f(x)]f(x)a0有实根，得a[f(x)f(x)] ∴a[6,0]

22【高考赏析】

（1）（本小题满分13分） 设函数f(x)个最高点的横坐标为

3cos2xsinxcosx（其中0,R），且f(x)的图象在y轴右侧的第一

。 65,上的最小值为3，求的值。 36 （I）求的值。 （II）如果f(x)在区间（本小题13分）

2.(本小题满分12分)

ππ2

已知函数f(x)=3sin(2x－)+2sin(x－) (x∈R)

612

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.

．解:(Ⅰ) f(x)=3sin(2x－

ππ

)+1－cos2(x－) 612

= 2[

3π1π

sin2(x－)－ cos2(x－)]+1 212212

ππ

)－]+1 126

=2sin[2(x－

π

= 2sin(2x－) +1

3

2π

∴ T= =π

2

(Ⅱ)当f(x)取最大值时， sin(2x－

πππ)=1，有 2x－ =2kπ+ 332

即x=kπ+

5π5π

(k∈Z) ∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+ ， (k∈Z)}． 1212