精选高中模拟试卷
东湖区第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________
一、选择题
1． 有下列四个命题：
①“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题．其中真命题为（ A．①②值为（ A．10
）
C．9
D．15
）
）B．①③
C．②③
D．③④
姓名__________ 分数__________
2． 奇函数f（x）在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣1，则f（6）+f（﹣3）的
B．﹣10
3． 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2
4． 设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（ A．（1，2）B．[1，2]5． 与椭圆A．C．
B．D．
C．[1，2）
D．（1，2]
的双曲线方程为（
））
有公共焦点，且离心率
6． 函数f（x）=3x+x的零点所在的一个区间是（ A．（﹣3，﹣2）
B．（﹣2，﹣1）
）
C．（﹣1，0）D．（0，1）
=1（a＞b＞0）上的一点，且）
=0，
7． 若P是以F1，F2为焦点的椭圆tan∠PF1F2=A．
，则此椭圆的离心率为（ B．
C．
D．
8． “双曲线C的渐近线方程为y=±x”是“双曲线C的方程为﹣=1”的（ ）
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A．充要条件C．必要不充分条件A．y=
与y=（
B．充分不必要条件D．不充分不必要条件
）
B．y=lgx2与y=2lgx
D．y=x2﹣1（x∈R）与y=x2﹣1（x∈N）
）2
9． 下列各组表示同一函数的是（
C．y=1+与y=1+
10．函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线为l：y=g（x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），F（x）=f（x）﹣g（x），如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，且a＜x0＜b，那么（
）
A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）极值点D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）极值点
11．如果双曲线经过点P（2，A．x2﹣
=1
B．
﹣
=1
），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（ C．
﹣
=1
D．
﹣
=1
）
12．已知两点M（1，），N（﹣4，﹣），给出下列曲线方程：①4x+2y﹣1=0； ②x2+y2=3； ③④
+y2=1； ﹣y2=1．
）
在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ A．①③B．②④C．①②③
D．②③④
二、填空题
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13．以抛物线y2=20x的焦点为圆心，且与双曲线：．
的两条渐近线都相切的圆的方程为 214．已知平面向量a，b的夹角为，ab6，向量ca，cb的夹角为，ca23，则a与
33．c的夹角为__________，ac的最大值为 【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.15．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动．现有下列命题：
①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在曲线是直线；②若点P到点A的距离为
，则动点P的轨迹所在曲线是圆；
③若P满足∠MAP=∠MAC1，则动点P的轨迹所在曲线是椭圆；
④若P到直线BC与直线C1D1的距离比为1：2，则动点P的轨迹所在曲线是双曲线；⑤若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在曲线是抛物丝．其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
216．要使关于x的不等式0xax64恰好只有一个解，则a_________.【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.17．抛物线y=x2的焦点坐标为（ A．（0，
）
B．（
，0）
）
C．（0，4）D．（0，2）
18．已知直线l：ax﹣by﹣1=0（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），则ab的最大值是 ．三、解答题
19．已知函数fxa（1）求fx的定义域.
12x1（2）是否存在实数a，使fx是奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。
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（3）在（2）的条件下，令g(x)xf(x)，求证：g(x)0320．我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000（单位：元）十个档次，某社区随机抽取了50名村民，按缴费在100：500元，600：1000元，以及年龄在20：39岁，40：59岁之间进行了统计，相关数据如下：20﹣3940﹣59总计100﹣500元101525600﹣100061925总计163450500元之间的村民中随机抽取5人，39岁之间应抽取几人？（1）用分层抽样的方法在缴费100：则年龄在20：（2）在缴费100：500元之间抽取的5人中，随机选取2人进行到户走访，求这2人的年龄都在40：59岁之间的概率．
21．已知矩阵A＝，向量＝.求向量
，使得A2＝.
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22．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明：BC⊥AB1；
（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．
，D是AA1的中点，BD与AB1交于
23．如图，在四棱柱（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求证：（Ⅲ）若
平面
； ，判断直线
；
中，底面，，，．
与平面是否垂直？并说明理由．
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24．已知全集U=R，函数y=（1）集合A，B；（2）（∁UA）∩B．
+
的定义域为A，B={y|y=2x，1≤x≤2}，求：
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东湖区第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：①由于“若a2+b2=0，则a，b全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确；
③若x2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q≥0，解得q≤1，因此“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．综上可得：真命题为：①③．故选：B．
【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
2． 【答案】C
【解析】解：由于f（x）在[3，6]上为增函数，
f（x）的最大值为f（6）=8，f（x）的最小值为f（3）=﹣1，f（x）为奇函数，故f（﹣3）=﹣f（3）=1，∴f（6）+f（﹣3）=8+1=9．故选：C．
3． 【答案】B
【解析】解：根据题意球的半径R满足（2R）2=6a2，所以S球=4πR2=6πa2．故选B
4． 【答案】D
【解析】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1
∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．
5． 【答案】 A
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【解析】解：由于椭圆的标准方程为：
则c2=132﹣122=25则c=5
又∵双曲线的离心率∴a=4，b=3
又因为且椭圆的焦点在x轴上，∴双曲线的方程为：故选A
【点评】运用待定系数法求椭圆（双曲线）的标准方程，即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），双曲线方程可设为mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），由题目所给条件求出m，n即可．
6． 【答案】C
【解析】解：由函数f（x）=3x+x可知函数f（x）在R上单调递增，又f（﹣1）=
﹣1＜0，f（0）=30+0=1＞0，
∴f（﹣1）f（0）＜0，
可知：函数f（x）的零点所在的区间是（﹣1，0）．故选：C．
【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．
7． 【答案】A【解析】解：∵∴
∵Rt△PF1F2中，∴∴
又∵根据椭圆的定义，得2a=PF1+PF2=3t∴此椭圆的离心率为e=
=
=
=
=
，设PF2=t，则PF1=2t
=2c，
，即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．
，
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故选A
【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．
8． 【答案】C
【解析】解：若双曲线C的方程为若双曲线C的方程为不成立，
故“双曲线C的渐近线方程为y=±x”是“双曲线C的方程为故选：C
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线和渐近线之间的关系是解决本题的关键．
9． 【答案】C【解析】解：A．y．
B．y=lgx2，的定义域为{x|x≠0}，y=2lgx的定义域为{x|x＞0}，所以两个函数的定义域不同，所以不能表示同一函数．
C．两个函数的定义域都为{x|x≠0}，对应法则相同，能表示同一函数．D．两个函数的定义域不同，不能表示同一函数．故选：C．
【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．
10．【答案】 B
【解析】解：∵F（x）=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0），∴F'（x）=f'（x）﹣f′（x0）∴F'（x0）=0，又由a＜x0＜b，得出
当a＜x＜x0时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＜0，
=|x|，定义域为R，y=（
）2=x，定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不能表示同一函数
﹣
=1”的必要不充分条件，
﹣
﹣
=1，则双曲线的方程为，y=±x，则必要性成立，
﹣
=1不成立，即充分性
=2，满足渐近线方程为y=±x，但双曲线C的方程为
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当x0＜x＜b时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＞0，∴x=x0是F（x）的极小值点故选B．
【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即当函数取到极值时导函数一定等于0，反之当导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定是否有极值．
11．【答案】B
【解析】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，λ=4﹣2=2，
可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为
﹣
=1．
），可得
故选：B．
12．【答案】 D
【解析】解：要使这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交．MN的中点坐标为（﹣，0），MN斜率为∴MN的垂直平分线为y=﹣2（x+），
∵①4x+2y﹣1=0与y=﹣2（x+），斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知①不符合题意．②x2+y2=3与y=﹣2（x+），联立，消去y得5x2﹣12x+6=0，△=144﹣4×5×6＞0，可知②中的曲线与MN的垂直平分线有交点，
③中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得9x2﹣24x﹣16=0，△＞0可知③中的曲线与MN的垂直平分线有交点，
④中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得7x2﹣24x+20=0，△＞0可知④中的曲线与MN的垂直平分线有交点，故选D
=
二、填空题
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13．【答案】 （x﹣5）2+y2=9 ．
【解析】解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5，0），双曲线：由题意，r
=3，则所求方程为（x﹣5）2+y2=9
的两条渐近线方程为3x±4y=0
故答案为：（x﹣5）2+y2=9．
【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．
14．【答案】【解析】
6，18123.
15．【答案】 ①②④
【解析】解：对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确；
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对于②，满足到点A的距离为正确；
的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，②
对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1 的点P应为以AM为轴，以AC1 为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，
又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误；对于④，P到直线C1D1 的距离，即到点C1的距离与到直线BC的距离比为2：1，∴动点P的轨迹所在曲线是以C1 为焦点，以直线BC为准线的双曲线，④正确；对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF，设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．故答案为：①②④．
，即x2﹣y2=1，
【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
16．【答案】22.
【解析】分析题意得，问题等价于xax64只有一解，即xax20只有一解，∴a80a22，故填：22.17．【答案】D
【解析】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y，∴焦点坐标为（0，2）．故选：D．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．
18．【答案】 ．
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【解析】解：∵直线l：ax﹣by﹣1=0（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），∴a+b﹣1=0，即a+b=1，∴ab≤
=
当且仅当a=b=时取等号，故ab的最大值是故答案为：
【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题．
三、解答题
19．【答案】【解析】
试
题解析：（1）由210得：x0x∴fx的定义域为xx0------------------------------2分
（2）由于fx的定义域关于原点对称，要使fx是奇函数，则对于定义域xx0内任意一个x，都有
f(x)f(x)即：a解得：a11a xx21211 2第 13 页，共 17 页
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1，使fx是奇函数------------------------------------6分213113（3）在（2）的条件下，a，则g(x)xAf(x)xx2212gx的定义域为xx0关于原点对称，且g(x)(x)3f(x)x3f(x)g(x)∴存在实数a则g(x)为偶函数，其图象关于y轴对称。
当x0时，21即210又210，x0xxx3132x131gx0 ∴g(x)xxx2212(21)当x0时，由对称性得：g(x)0分
综上：g(x)0成立。--------------------------------------------10分. 考点：1.函数的定义域；2.函数的奇偶性。
20．【答案】
【解析】解：（1）设抽取x人，则即年龄在20：39岁之间应抽取2人．
（2）设在缴费100：500元之间抽取的5人中，年龄在20：39岁年龄的两人为A，B，在40：59岁之间为a，b，c，
随机选取2人的情况有（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c），共10种，
年龄都在40：59岁之间的有（a，b），（a，c），（b，c），共3种，则对应的概率P=
．
，解得x=2，
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，以及古典概型的计算，利用列举法是解决本题的关键．
21．【答案】＝【解析】A2＝设
＝
.由A2＝，得
.
，从而
解得x＝-1，y＝2，所以＝22．【答案】
【解析】（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，
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D为AA1中点，AB=2，AA1=2，AD=，=，
，
所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B=在直角三角形ABD中，tan∠ABD=所以∠AB1B=∠ABD，
=
又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，即BD⊥AB1，
又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，所以CO⊥AB1
所以，AB1⊥面BCD，因为BC⊂面BCD，所以BC⊥AB1．
（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣又因为所以
=（﹣
，0），B（﹣=2
，所以，
，0），
=（0，
，
），
=（
，
，
），
=（
，0，﹣
），
，0，0），C（0，0，
），B1（0，
，0），D（
，0，0），
设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据
可得=（1，
，﹣
）是平面ABC的一个法向量，
设直线CD与平面ABC所成角为α，则sinα=所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为
，．…
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【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．
23．【答案】
【解析】【知识点】垂直平行【试题解析】（Ⅰ）证明：因为所以因为所以又因为所以平面又因为所以
平面平面
．底面
，
底面
，
平面
，平面
，平面
，
．
．平面．
，
平面
，
，
平面
，
平面
，
（Ⅱ）证明：因为所以又因为所以又因为所以
平面底面．．，
．
，
，
（Ⅲ）结论：直线证明：假设由由棱柱可得又因为所以所以又因为所以所以这与四边形故直线
与平面平面
．平面
．，平面
平面
与平面
，
不垂直．
，得
中，
，
，，
．底面
，
，，
为矩形，且
不垂直．
矛盾，
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24．【答案】 【解析】解：（1）由A=[0，3]，
由B={y|y=2x，1≤x≤2}=[2，4]，（2））∁UA=（﹣∞，0）∪[3，+∞），∴（∁UA）∩B=（3，4]
，解得0≤x≤3
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