讲义 第一章函数

第一章 微积分的研究对象——函数

第一节 表示变量因果关系的函数

一、

实数系的演变及性质

自然数集N1,2,3.....

整数集Z0,1,1,2,2,3,3,.... 正整数集Z1,2,3,....N 有理数集Q 实数集R 1.有理数的性质

任一有理数都可以表示没有的很好的性质。

有理数的稠密性：设a,b(ab)是任意给定的两个有理数，则在a,b之间至少存在一个有理数c，即acb（如c数d，即adc。

如此类推，可知无论a与b相差多么小，总可以在a与b之间找到无穷多个有理数。 因为任一有理数在数轴上均可以找到唯一的一点和它相对应（该点称为有理点），所以反映在数轴上，任意两个有理点之间总可以找到无穷多个有理点，即有理点在数轴上是稠密分布的。这是整数所不具备的性质。 2.实数的特性

虽然有理点在数轴上是稠密的，但它并没有铺满整个数轴。如单位正方形的对角线，其长2在数轴上就找不到一个有理点和它对应。事实上，利用反证法不难证明，2不能表示成

q,p,qN 成的形式。同整数比较起来，有理数具有整数所pab就满足要求）；同样，在a与c也至少存在一个有理2p（p,qZ，且q0）的形式，因此2不是有理数。这样就说明在数轴上除了有q理点外，还会留下许多空隙，同时也说明有理点尽管“很稠密”，但并不具有连续性。我们把这些空隙处的点称为无理点，无理点对应的数称为无理数。

全体有理数与无理数合称为实数，这就把有理数集扩充为实数集。这就使在有理数集中

文科数学讲义（李）

不封闭的开方运算在实数集中成为封闭的。在数轴上，可以发现，实数点能铺满整个数轴，而不会留下任何空隙，实数的这种性质称为实数的连续性，这是有理数所没有的性质。

微积分研究的对象，是反映现实世界中连续变化的事物在数量方面的相依关系，即所谓的连续函数。因而只能用具有连续性的数来刻画事物连续变化的特性，而实数才具有连续性，因此在微积分中，所说的数均指实数。 二、

区间与邻域

常见的在数集是区间.设a,bR，且ab，则 （1）开区间 (a,b)x|axb；

（2）半开半闭区间 [a,b)x|axb，(a,b]x|axb； （3）闭区间 [a,b]x|axb；

（4）无穷区间 [a,)x|xa， (a,)x|xa，(,b]x|xb， (,b)x|xb，(,)x|xR.

以上四类统称为区间，其中（1）-（3）称为有限区间，（4）称为无限区间.在数轴上可以表示为：

（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7） （8）

图1.1.

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在微积分的概念中，有时需要考虑由某点x0附近的所有点组成的集合，为此引入邻域的概念.

定义1 设为某个正数，称开区间(x0,x0)为点x0的邻域，简称为点x0的邻域，记作U(x0,)，即

U(x0,)x0|x0xx0x||xx0|.

在此，点x0称为邻域的中心，称为邻域的半径，图形表示为：

图1.2.

另外，点x0的邻域去掉中心x0后，称为点x0的去心邻域，记作U(x0,)，即

oU(x0,)x|0|xx0|,

图形表示为：

o

图1.3.

其中(x0,x0)称为点x0的左邻域，(x0,x0)称为点x0的右邻域. 例1

用邻域符号和区间符号分别表示不等式2x12(0)所确定的范围。

解：由2x12得x111，即x()。所以它表示以为中心、以为

2424241,)。 24半径的邻域，用邻域符号表示为U(由x111得x，所以用区间符号表示为

242424(11,)。 2424三、函数

文科数学讲义（李）

在某个问题的研究过程中，保持不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量。函数就是刻画变量间在运动变化中相依关系的数学模型。

1. 映射概念

定义2 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一的元素素射

y与之对应，则称f为X到Y的映射,记作

f:XY,其中y是元

x（在映射f下）的像。并记作f(x)，即yf下）的一个像；集合X称为映射

f(x) 而元素x称为元素y（在映

f的定义域，记作Df ,即DfX；X中所有元素

的像所组成的集合称为映射

2.函数概念

f的值域，记作Rf或f(X)。

定义3 设数集DR，则映射

f：DR为定义在D上的函数，通常简记为

yf(x)， xD ，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df，

即DfD。y 的取值范围称为函数的值域，记为Rf 。

函数定义表明了函数模型的结构，它由定义域、对应法则和值域三个要素所构成。 定义域的求法原则

（a）分母不为零 （b）x，x0 （c）lnx,x0

arccosx,1x1

（d）arcsinx,（e）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集

例2

求y4x2lnx21的定义域

22解：4x0且x10 2x2且x1或x1 定义域为2，11，2

函数的表示方法有三种：公式法（解析法），图形法，数值法。 函数的表达式是函数的代数解释，函数的图象是函数的几何解释。

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例3 在统计学上饮食消费占日常支出的比例称为恩格尔系数，它反映了一个国家或地区

富裕的程度，是国际通用的一项重要指标。

联合国根据恩格尔系数来划分一个国家国民富裕程度：恩格尔系数小于20为绝对富裕，20以上小于40属比较富裕，40以上小于50算小康水平，50以上小于60刚够温饱，60以上则为贫困。试以图像法表示国民富裕程度。

四、基本初等函数和初等函数 1. 基本初等函数

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数叫做基本初等函数。这些函数在中学的数学课程里已经学过。

（1）幂函数 yxaaR

它的定义域和值域依a的取值不同而不同，但是无论a取何值，幂函数在x0,内总有定义。当

aN或a1，nN时，定义域为R。常见2n1的幂函数的图形如图1-1所示。

（2）指数函数 yaa0，a1

x图1-1

它的定义域为，，值域为0，。指数函数的图形如图1-2所示．

图1-2

图1-3

（3）对数函数 ylogaxa0，a1

文科数学讲义（李）

定义域为0，，值域为，。对数函数ylogax是指数函数yax的反函数。其图形见图1-3。

在工程中，常以无理数e＝2.718 281 828„作为指数函数和对数函数的底，并且记

exexpx，logexlnx，而后者称为自然对数函数。

（4）三角函数

三角函数有正弦函数ysinx、余弦函数ycosx、正切函数ytanx、余切函数

ycotx、正割函数ysecx和余割函数ycscx。其中正弦、余弦、正切和余切函数

的图形见图1-4。

（5）反三角函数

反三角函数主要包括反正弦函数yarcsinx、反余弦函数yarccosx、反正切函数

yarctanx和反余切函数yarccotx等．它们的图形如图1-5所示。

图1-4

图1-5

图1-6

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（6）常量函数为常数 yc（c为常数）

定义域为，，函数的图形是一条水平的直线，如图1-6所示。 2.复合函数

一些客观事物，在质的方面存在着复合关系，在量的方面也存在着复合关系。在物理学中，质量为m的物体，自由下落时的动能为E得到E关于t的函数E般地有

定义 设函数yf(u),uU,u(x),xX，且由xX确定的函数值u(x)落在函数yf(u)的定义域U内，则yf[(x)]称为复合函数。u称为中间变量，u(x)称为里（内）层函数，yf(u)称为外层函数。

比如y1x2是由yu和函数u1x复合而成的。函数yu的定义域是

211mv2，而vgt套入函数Emv2便221m(gt)2，像这种由函数套函数而得到的函数就是复合函数。一2u0，这应是函数u1x2的值域，即应满足1x20，由此得1x1。显然对一

切x[1,1]，函数u1x的值域即为函数yu的定义域。

有些复合函数的中间变量可以有两个，或更多。

把一个复合函数分成不同层次的函数，叫做复合函数的分解。合理分解复合函数，在微积分中有着十分重要的意义。分解的步骤是从外到里，评判分解合理与否的准则是，观察各层函数是否为基本初等函数或者多项式。 例4

分解复合函数：

2（1）ysin(x21)；

解 设ysinu,ux1

2x(2)ylog2sin()

2解 设ylog2,usinv,v例5

ux。 2分段函数 用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数

文科数学讲义（李）

如fx3.初等函数

x1，x<0e，x0x。

通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数。

比如

nn1整式函数 P(x)axax...an1xa0(a00) n01分式函数 yPn(x) （Qm(x)的含义与Pn(x)相同，且Qm(x)0）

Qm(x)根式函数 yx21

以及更为复杂的函数

x211 yln[1arcsin(x2)]

sin2x2等，都是初等函数。而分段函数就不一定是初等函数。

在初等函数的研究中，常常需要确定函数的定义域。 例6

求函数yarcsin(x1)1x12的定义域。

解 两个函数之和的初等函数的定义域是这两个函数定义域的公共部分。 函数f1(x)arcsin(x1)的定义域为X1[2,0],函数f2(x)1x12的定义域为

X2(,1)(1,)。故函数yarcsin(x1)1x12的定义域为

XX1X2[2,0][(,1)(1,)][2,1)

五、反函数

设函数的定义域为Df，值域为Vf。对于任意的yVf，在Df上至少可以确定一个x与y对应，且满足yfx。如果把y看作自变量，x看作因变量，就可以得到一个新的函数：xf1y。我们称这个新的函数xf1y为函数yfx的反函数，而把函数

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yfx称为直接函数或原函数。

应当说明的是，虽然函数yfx是单值函数，但是其反函数xf1y却不一定是

单值的。例如，yfxx2的定义域为DfR，值域Vf0，任取非零的yVf，。则适合yx2的x的数值有两个：x1y，x2y。所以，直接函数yx2的反函数

上，则直接函数yx2，xf1y是多值函数：xy。如果把x在区间0，x0，的反函数xy是单值的。并称xy为直接函数yx2，xR的反函数

的一个单值分支。显然，反函数的另一个单值分支为xy。

一个函数若有反函数，则有恒等式f相应地有ff1fxx，xDf。

1yy，yVf。

3x3，xR的反函数为 4，并且有f1例如，直接函数yfxxf1y4y3，yR33fx4x33x34，

ff1y34y33y。 431由于习惯上x表示自变量，y表示因变量，于是我们约定yfx也是直接函数

yfx的反函数。

反函数xf它的反函数xf1y与y这两种形式都要用到．应当说明的是函数yfx与f1x，

1y具有相同的图形。而直接函数yfx与反函数y1f1x的图形

是关于直线yx对称的。

反函数的性质：（1）函数yf(x) 单调递增(减)，其反函数yf单调递增（减）.

（2）函数yf(x)与其反函数yf1(x)存在，且也

(x)的图形关于直线yx对称.

正弦函数ysinx的反函数yarcsinx，正切函数ytanx的反函数yarctanx.

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反正弦函数yarcsinx的定义域是[1,1]，值域是,；反正切函数yarctanx的22定义域是(,)，值域是,： 22

六、函数的基本性质

设函数yf(x)，定义域为D，ID. （1）函数的有界性

定义 若存在常数M0，使得对每一个xI，有f(x)M，则称函数f(x)在I上有界.

若对任意M0，总存在x0I，使f(x0)M，则称函数f(x)在I上无界.如图1-6：

图1-6

例如 函数 f(x)sinx在(,)上是有界的:sinx1.函数 f(x)内无上界，在(1,2)内有界.

（2）函数的单调性

1在(0,1)x设函数yf(x)在区间I上有定义, x1及x2为区间I上任意两点, 且x1x2.如果恒有f(x1)f(x2), 则称f(x)在I上是单调增加的；如果恒有f(x1)f(x2), 则称f(x)文科数学讲义（李）

在I上是单调递减的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数（图1-7）.

图1-7

（3）函数的奇偶性

设函数yf(x)的定义域D关于原点对称.如果在D上有f(x)f(x), 则称f(x)为偶函数；如果在D上有f(x)f(x), 则称f(x)为奇函数.

例如，函数f(x)x，由于f(x)(x)2x2f(x)，所以f(x)x是偶函数；又如函数f(x)x，由于f(x)(x)3x3f(x)，所以f(x)x是奇函数.如图1-8：

3322 图1-8

从函数图形上看，偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称. (4)函数的周期性

设函数yf(x)的定义域为D. 如果存在一个不为零的数l,使得对于任一xD有

xlD, 且fxlf(x), 则称f(x)为周期函数, l称为f(x)的周期.如果在函数

f(x)的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为f(x)的最小正周期.我们

通常说的周期是指最小正周期.

例如，函数ysinx和ycosx是周期为2的周期函数，函数ytanx和ycotx是周期为的周期函数.

在此，需要指出的是某些周期函数不一定存在最小正周期.

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例如，常量函数f(x)C，对任意实数l，都有f(xl)f(x)，故任意实数都是其周期，但它没有最小正周期.

又如，狄里克雷函数

1,xQ， D(x)c0,xQ当xQ时，对任意有理数l，xlQc，必有D(xl)D(x)，故任意有理数都是其周期，但它没有最小正周期.

第二节 函数的实例

例 复利问题 例 人口模型

习题 1

1.求下列函数的定义域.

（1）y1x2； （2）yc14x2； 1xxx2x3（3）yln； （4）yarcsin；

242.下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同，为什么？ （1）f(x)lgx，g(x)2lgx； （2）f(x)x，g(x)2x2；

lnx（3）f(x)x，g(x)e； （4）f(x)x，g(x)sin(arcsinx).

3.已知f(x)的定义域为[0,1]，求下列函数的定义域.

2（1）f(x)； （2）f(tanx)； （3）f(xa)f(xa)(a0). 24.设fx1x3x5，求f(x)，f(x1).

5.判断下列函数的奇偶性. 1) ylgxx21；

exex2) y； \\

2文科数学讲义（李）

3) yx(x31)； 4) y1x,x0.

1x,x0 6.下列函数中哪些是周期函数？如果是，确定其周期.

1) ysin(x1)； 2) ycos2x； 3) ycos2x. 7.求下列函数的反函数.

（1）y3x1； （2）y1lg(x2)；

exxy2sin（3）y； （4）

21ex8.下列函数是有哪些函数复合而成的.

x(,)；

（1）ysin(3x1)； （2）ycos(12x)；

3x1))； （4）yesinx. （3）yln(arcsin(29.设f(x)x，(x)lnx，求f(x)，ff(x)，f(x).

2