利息理论第四章课后答案

元的部分在最后一次2000元还款的下一年偿还。计算第5次偿还款后的贷款余额。

r解：.B5100001.1252000S50.124917.7

2. 甲借款X，为期10年，年利率8%，若他在第10年末一次性偿还贷款本利和，其中的

利息部分要比分10年期均衡偿还的利息部分多468.05元，计算X。 解：x(1.08101)(10xx)468.05,x700.14 a100.083.一笔贷款每季末偿还一次，每次偿还1500元，每年计息4次的年名义利率为10%。若第1年末的贷款余额为12000元，计算最初贷款额。

解：

10004BL(1)1500S10001200,L16514.37444r4 或L=12000v1500a4

41000416514.374.某人贷款1万元，为期10年，年利率为i，按偿债基金方式偿还贷款，每年末支出款为X，其中包括利息支出和偿债基金存款支出，偿债基金存款利率为2i，则该借款人每年需支出额为1.5X，计算i。

解：10000(x10000i)S100.08

10000=(1.5x-20000i)S100.08i6.900

5.某贷款期限为15年，每年末偿还一次，前5年还款每次还4000元，中间5次还款每次还3000元，后5次还款每次还2000元，分别按过去法和未来法，给出第二次3000元还款之后的贷款余额表达式。

解：过去法：B71000(2a15a10+a5)(1i)1000[4S5(1i)3S2]

r72=1000（2a15+a10+a5）(1+i)7-1000(4S7-S2)

r未来法：B73000a32000a5V31000(2a8a3)

6.一笔贷款按均衡偿还方式分期偿还，若Bt，Bt+1，Bt+2，Bt+3为4个连续期间末的贷款余额，证明：

2=Bt+1-Bt+2）（1）（Bt-Bt+1）（Bt+2-Bt+3）（

（2）Bt+Bt+3Bt+1+Bt+2

解：Btpant Bt1=pant1 Bt2=pant2 Bt3=pant3 （1）(BtBt1)(Bt2Bt3)p(antant1)(ant2ant3)

2 或p2Vnt1a1Vnt3a1 或=p2(Vnt2a1)2

2 或=（Bt1-Bt2）

nt1Vnt3V21 （2）BtBt1Bt2Bt3V7.某人购买住房，贷款10万元，分10年偿还，每月末还款一次，年利率满足1+i=1.5。计算40次后的贷款余额。 解：设月利率为i0,

4（1+i0）=1+i=(1.5)i0=0.848300

1214100000=pa120ip=1331.471

opB40=pa80i=77103.8

08.某可调利率的抵押贷款额为23115元，为期10年，每季末还款1000元，初始贷款利率为年计息4次的年名义利率12%。在进行完第12次还款后，贷款利率上调为每年计息4次的年名义利率14%，每季度末保持还款1000元，计算第24次还款后的贷款余额。 解：ir12%14%3%,j3.5% 4412 B122311513%1000S123%18760 Br24187601j121000S12j13752

9.某贷款分20年均衡偿还，年利率为9%，在哪一次偿还款中，偿还的利息部分最接近于偿还的本金部分。

解：设k年时最接近，k年前贷款余额为ank1

利息iank1=1v令1—vnk1nk1，本金：1—（1—vnk1nk1）

=1—（1—v），得1—vnk1=

1 2v20k11k13 210.张某借款1000元，年利率为i，计划在第6年末还款1000元，第12年末还款1366.87元。在第一次还款后第三年，他偿还了全部贷款余额，计算这次偿还额。 解：10001000v1366.87v93612v60.564447

10001i10001i1026.96

11.某贷款为期5年，每季末偿还一次，每季计息4次的年名义利率为10%，若第3次还款中的本金部分为100元，计算最后5次还款中的本金部分。 解：还款本金：Rvnk1

20-31 第3次还款中的本金部分：p3=Rv=100R=155.96

则最后5次还款中的本金部分：155.96vv2v3v4v5724.59

12某借款人每年末还款额为1，为期20年，在第7次偿还时，该借款人额外偿还一部分贷款，额外偿还的部分等于原来第8次偿还款中的本金部分，若后面的还款照原来进行，直至贷款全部清偿，证明整个贷款期节省的利息为1v 解：第7次还款的额外部分为v208113v131，以后按原来进行偿还，即每次

还款按原计划进行，每次还1，到第20次还款时，已经不需要偿还1，设 需偿还X a13720av,v=X1vX0 202013 则最后一次不要还了，有19v，原利息为20 那么节省的利息为1v

13.某贷款为期35年，分期均衡偿还，没年末还款一次，第8次还款中的利息部分135元，

第22次还款中的利息部分为108元，计算第29次还款中的利息部分。 解：R1v28135且R1v14108

131v141357 即v0.5 108则R1v772

14.L、N两笔贷款额相等，分30年偿还，年利率为4%，L贷款每次还款额相等，N贷款的30次还款中，每次还款中所包含的本金部分相等，包含的另一部分是基于贷款余额所产生的利息，L贷款的偿还款首次超过N贷款偿还款的时间为t，计算t。 解：设贷款额为w，p为N贷款中每次还款的本金部分。

30pwpw301

wa30i

L贷款每次偿还额都相等，为

wa30i＞piwt1p2

由（1）（2）得：t=12.6713

15.某项贷款为125000元，期限为30年，每月末分期偿还，每次偿还额比前一次偿还额多0.2%，第一次偿还额为P，年利率为5%，计算P. 解：125000=p+p1+0.2%2+ 112p10.2%360

1123591,j1i15% 1j 则p=493.85

16.某贷款为期五年，每半年末还款额为1。每年计息2次的年名义利率为i，计算第8次还款中的本金部分。

解：P8vnk1v1081v31i312

17.甲借款人每年末还款3000元。若第三次还款中的利息部分为2000元，每年计息4次的年名义利率为10%，计算第6次还款中的本金部分。 解;30001vn312000 v 第6次还款中的本金部分为 3000vn5n21 33000vn213404.888 3v18.某投资人购买一种确定年金，每季末可得500元，共10年，年利率为8%，计算该投资人的利息收入。

解：设每季度利率为i

1i41.08 1+i1.01943

a40i50040500a40i6186.14

19.甲购买住宅，价值10万元，分期按月付款，为期30年，首次付款发生在购房第一月末，年利率为5%,10年后。每次付款额增加325.40元。以便较快还完购房款，计算整个还款期间的利息支出。 解：设每月利率为i.

1i1.051i1.004 100000pa360ip530.005 1000001i12012pS120ip325.4at

t120

20.乙贷款利率每年为5%，每年末还款一次，共10年，首期还款为200元，以后每期比前期增加10元，计算第5此还款中的利息部分。 解;L200a1010Ia9v1860.86

rB4L1i200S410IS31337.84

4rI5iB45%1337.8466.89

21.某贷款分10年偿还，首年末偿还额为当年贷款利息P,第2年末偿还额为2P,第3年末偿还额为3P,以此类推,贷款利率为i证明:证明：LpIa10iLp

Ia10a

1pipIa10Ia10a

i22.某贷款分10期偿还，首期偿还为10，第二期为9，依此类推，第10次还款为1，证明第6次还款中的利息部分：5-a5。

（Da）解L=， B5=（Da） 105 I6=iB5=i（Da）=5-a5 523.甲借款2000元，年利率10%，每年末还款一次，首次还款额为400元，以后每次还款额为400元，以后每次比上次多4%，最后的还款零头在最后一次规则还款一年后偿还，计算 （1）第三年末的贷款余额（还款后）； （2）第三次还款中的本金部分。

322解：（1）2000（1+10%）-400（1+10%）+（1+4%）（1+10%）（+1+4%)=1287.76

pp （2）B22000(110%）-400（+1+4%）1+10%）（=1564

r2 （3）I3=iB2=156410%=156.4

r（14%)2156.4276.24 P3=R3-I3=40024.甲在一基金中投资，年利率为i。首年末，甲从基金中提出当年所得利息的162.5%；第

二年末，甲从基金中提出当年所得利息的2162.5%，，至第六年末，甲从基金中提出当年所得利息的16162.5%，基金投资全部取完，计算i。 解：设在基金中投资为L

L（1+i-1.625）（1+i-21.625）（1+i-31.625）（1+i-161.625）=0

则i=

1=0.04

161.625-125.某贷款额为

a25 ，采用连续还款公式每年还款为1，共25年，若年贷款利率为5%。计

算第6年至第10年的利息支出额。 解：

106Btdt=dsdt=6010n-ts10625-t-1dt

ln=2.252

26.证明并解释：

tst（1+i）-=an-t

antatn解：

a（1+i）-s=t1-n+-t1--t=an-t

tst（1+i）-=an-t

anan27.某贷款为1，期限为10年，采取连续还款方式，每年的还款额使得这10年的贷款呈线性关系，即连续由1减至0，贷款年利率按=0.1计，计算：（1）前5年还款中的本金部分；（2）前5年还款中的利息部分。 解：Bt=1-t 1050.5 10t（1）B0B511（2）I5=1-dt=0.375 0Btdt=00.1105528. 某人借款为1万元，为期25年，年利率5%，采用偿债基金还款方式，偿债基金存款利率为4%，计算第13次付款中净利息与第9年偿债基金增长额之和。 解：10000=DS250.04

NI13=Li-jDS12j=355.68

k-18NP9=D(1+j）=D（1+4%）=328.62

NI13+NP9=355.68+328.62=684.3

29.某人借款1万元，为期10年，年利率为5%，采用偿债基金法偿还贷款，偿债基金存款利率为3%,还款在每年末进行。在第5次还款前，贷款人要求借款人一次性偿还贷款余额，计算借款人在第5年末的总的支出款（包括利息和本金）。 解：由NB5=L-DS

5j

DS10j=L得

NB5=

La10ja5j=5368.8

pa100.05=10000 p=1295.2 p+NB5=6664

30．甲借款1万元，年利率10%，其偿债金年存款利率为8%。第10年末，偿债基金积累额为5000元，第11年末，甲的还款支出额为1500元，计算： （1）第11次还款中的利息部分； （2）第11次还款中的本金部分； （3）第11次的净利息支出； （4）第11年的净本金支出额； （5）第11年末的偿债基金积累额。 解：（1）iL=1000 （2）1500-1000=500 （3）1000-400=600 （4）=1500-600=900 （5）5000+900=5900 31.证明：ani&j=snj1isnj

证明：ani&j=anj1ijanj

1ani&j=1ijanjanj111isnj=ij=i=anjsnjsnj

则

ani&j=snj1isnj32.某项贷款为1万元，年利率为9%。借款人在年末支付利息，且每年初向偿债基金存款X

元，存款利率为7%，第10年末偿债基金积累额达1万元计算X。 解：xs100.07=10000x=676.43

33甲借款人分10年偿还贷款，贷款利率为5%，每年还款1000元，贷款额的一半用分期偿还方式，贷款额的另一半按偿债基金方式还款，偿债基金存款利率为4%，计算贷款额。

L=p1a100.0510.01a100.04 L解：p2==La10i&ja100.04p1+p2=La100.05L10.01a100.04a100.04=103

2L=7610.4834.某人借款12000元，为期10年，前5年每年计息2次的年名义利率12%，后5年为每年计息2次的年名义利率10%，借款人每半年末支付款项为1000元一部分作为贷款利息，领一部分作为偿债基金存款，偿债基金年名义存款利率为8%，每年计息两次，计算在第10年末，贷款额与偿债基金积累额之差。 解：偿债基金积累额为：

5221030.06Lsn20.0810.081030.05Ls5=9787.20.08

120009787.2=2292.835.某人每年末支付36000元偿还贷款，共31年，贷款额为40万元，若借款人按偿债基金法计算（偿债基金存款利率为3%），计算贷款人的贷款利率。 解：36000400000is310.03=400000i=0.07

36.甲借款10万元，期限为20年，已知：

（1）按偿债基金法还款，偿债基金存款利率为3%； （2）首期支出款为X，发生在第1年末；

（3）以后每年末还款支出额比前一年增加50元，直至贷款期末； （4）贷款年利率为5%。 计算X。

解：X5%105s200.0350IS190.03=105

X=8295.4