实验二 应用FFT对信号进行频谱分析
一、实验目的
1.加深对离散信号的DTFT和DFT的及其相互关系的理解。 2.在理论学习的基础上，通过本次实验，加深对快速傅立叶变换的理解，熟悉FFT算法及其程序的编写。 3.熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法。
4.了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT。 二、实验原理与方法
一个连续信号xa(t)的频谱可以用他的傅立叶变换表示为：=
如果对该信号进行理想采样，可以得到采样序列：x(n)=Xa(nT) 同样可以对该序列进行Z变换，其中T为采样周期：X(z)=
当Z=ejω的时候，我们就得到了序列的傅立叶变换：X(ej
ω
)=其中
称为数字频率，它和模拟域频率的关系为：
式中的fs是采样频率，上式说明数字频率是模拟频率对采样频
率fs的归一化。同模拟域的情况相似，数字频率代表了序列值变化的速率，而序列的傅里叶变换为序列的频谱。序列的傅里叶变换和对应的采样信号频率具有下式的对应关系。
X(ejω)=
即序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓。从上式可以看出，只要分析采样序列的频谱，就可以得到相应的连续信号频谱，就可以得到相应的连续信号的频谱。注意：这里的信号必须是带限信号，采样也必须满足Nyquist定理。
在各种信号序列中，有限长序列在数字信号处理中占有很重要的地位。无限长的序列也往往可以用有限长序列来逼近。对于有限长的序列我们可以使用离散傅里叶变换（DFT），这一变换可以很好地反映序列的频域特性，并且容易利用快速算法在计算机上实现当序列的长度是N时，我们定义离散傅里叶变化为：X(k)=DFT[x(n)]=其中
x(n)=IDFT[X(k)]=
令Z=可以得到为
，则有：
，它的反变换定义为：
=，
=DFT[x(n)]
是Z平面单位圆上幅角
的点，就是将单位圆进行N等分以后第K个点。所以，
X(k)是Z变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列福利叶变换的等距采样。时域采样在满足Nyquist定理时，就不会发生频率混淆；同样地，在频率域进行采样的时候，只要采样间隔足够小，也不会发生时域序列的混淆。 三、实验内容及步骤
（一） 编制实验用的主程序及相应子程序
1.在试验之前，认真复习DFT和FFT有关的知识，阅读本实验原理与方法和实验附录部分中和本实验有关的子程序，掌握子程序的原理并学习调用方法。
2.编制信号产生子程序及本实验的频谱分析主程序。试验中需要用到的基本信号包括： (1)高斯序列：
(2)衰减正弦序列：
(3)三角波序列：
(4)反三角序列：
（二） 上机实验内容
1.观察高斯序列的时域和频域特性
(1)固定信号xa(n)参数p=8，改变q的值，使q分别等于2，4，8。观察它们的时域和幅频特性，了解q取不同值的时候，对信号时域特性和幅频特性的影响。
>> n=0:15;
>> p=8;q=2;x=exp(-1*(n-p).^2/q);
>> close all;subplot(3,1,1);stem(abs(fft(x))) >> p=8;q=4;x=exp(-1*(n-p).^2/q);
>> subplot(3,1,2);stem(abs(fft(x))) >> p=8;q=8;x=exp(-1*(n-p).^2/q); >> subplot(3,1,3);stem(abs(fft(x)))
3210203210024681012141602468101214160246810121416
(2)固定q=8，改变P，使P分别等于8，13，14，观察参数P变化对信号序列时域及幅频特性的影响。注意p等于多少时，会发生明显的泄漏现象，绘制相应的时域序列和幅频特性曲线。
>> p=8;q=8;x=exp(-1*(n-p).^2/q);
>> close all;subplot(3,1,1);stem(abs(fft(x))) >> p=13;q=8;x=exp(-1*(n-p).^2/q); >> subplot(3,1,2);stem(abs(fft(x))) >> p=14;q=8;x=exp(-1*(n-p).^2/q); >> subplot(3,1,3);stem(abs(fft(x)))
2020420024681012141602468101214160246810121416
2.观察衰减正弦序列的时域和幅频特性曲线
(1)令a=0.1，并且f=0.0625，检查谱峰出现的位置是否正确，注意频谱的形状，绘制幅频特性曲线。
>> n=0:15;
>> a=0.1;f=0.0625;x=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n); >> close all;subplot(2,1,1);stem(n,x); >> subplot(2,1,2);stem(n,abs(fft
10.50-0.543210051015051015
(2)改变f=0.4375，再变化f=0.5625，观察这两种情况下，频谱的形状和谱峰出现的位置，有无混淆和泄漏现象发生？说明产生现象的原因。
>> n=0:15;
>> a=0.1;f=0.4375;x=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n); >> close all;subplot(2,1,1);stem(n,x); >> subplot(2,1,2);stem(n,abs(fft(x)))
10-1405101520051015
3.观察三角波序列和反三角序列的时域和幅频特性
(1)用8点FFT分析信号xc(n)和xd(n)的幅频特性，观察两者的序列形状和频谱曲线有什么异同？（注意：这时候的xd(n)可以看作使xc(n)经过圆周位移以后得到的）绘制两者的序列和幅频特性曲线。
>> for i=1:4 x(i)=i; end
>> for i=5:8 x(i)=9-i; end
>> close all;subplot(2,1,1);stem(x); >> subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x,16)));
>> for i=1:4 x(i)=5-i; end
>> for i=5:8 x(i)=i-4; end
>> close all;subplot(2,1,1);stem(x); >> subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x,16)));
420-22002468101214161000246810121416
(2)在xc(n)和xd(n)补零，用16点FFT分析这两个信号的幅频特性，观察幅频特性发生了什么变化？两个信号之间的FFT频谱还有没有相同之处？这些变化说明了什么？
>> for i=1:4 x(i)=i; end
>> for i=5:8 x(i)=9-i; end
>> for i=9:16 x(i)=0; end
>> close all;subplot(2,1,1);stem(x); >> subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x,16)));
4202002468101214161000246810121416
>> for i=1:4 x(i)=5-i; end
>> for i=5:8 x(i)=i-4; end
>> for i=9:16 x(i)=0; end
>> close all;subplot(2,1,1);stem(x); >> subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x,16)));
4202002468101214161000246810121416
四、思考题
1.实验中的信号序列xc(n)和xd(n)，在单位圆上的Z变换频谱| Xc(ejω)|和| Xd(ejω)|会相同吗？如果不同，你能说出哪一个低频分量更多一些吗？为什么？
答：不相同。反三角序列的低频分量更多一些。
2.对一个有限长序列进行离散傅里叶变换(DFT)，等价于将该序列周期延拓后进行傅里叶级数展开。因为DFS也只是取其中一个周期计算，所以FFT在一定条件下也可以用以分析周期信号序列。如果正弦信号sin(2πfn)，f=0.1，用16点的FFT来做DFS运算，得到的频谱是信号本身的真实谱吗？
答：不是。
