对称性在结构力学中的应用

一、对称结构

对称结构是几何形状、支承和刚度都关于某轴对称的结构 二、荷载的对称性

对称荷载是指绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载作用点、值相等、方向相同。所以，在大小相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直反向布置的荷载、与对称轴平行同向布置的荷载、与对称轴重合的荷载都是对称荷载。

反对称荷载是指绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载作用点、值相等、方向相反。所以，在大小相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直同向布置的荷载、与对称轴平行反向布置的荷载、位于对称轴上的集中力偶都是反对称荷载。

三、重要结论

对称结构在对称荷载作用下：

1) 对称结构在对称荷载作用下，内力、反力和变形都成对称分布，弯矩图和轴力图是

对称的，剪力图是反对称的；

2) 对称轴上的剪力为零；与对称轴重合的杆弯矩、剪力为零； 3) 对称轴上的截面不能沿垂直对称轴的方向移动，也不能转动。 对称结构在反对称荷载作用下：

1) 对称结构在反对称荷载作用下，内力、反力和变形都成反对称分布，弯矩图和轴

力图是反对称的，剪力图是对称的；

2) 对称轴上的弯矩、剪力为零；与对称轴重合的杆轴力为零； 3) 对称轴上的截面不能沿对称轴方向移动。

1

qPPP P 对称 FN FS MS F =0 FN M对称 FN MFS S F FN MF =0 S1 M =01 F N 反对称 FS FN MM=0S F N F =0 反对称 FN FS MM 1 S F N F MF S1 F =0 N

四、对称性在桁架结构中的利用

1) 对称结构在对称荷载作用下，对称轴上的K形结点无外力作用时，两斜杆为零杆。 2) 对称结构在反对称荷载作用下，与对称轴重合的杆轴力为零。 3) 对称结构在反对称荷载作用下，与对称轴垂直贯穿的杆轴力为零。

五、对称性在超静定结构的应用——半结构的选取 例题

一．图所示桁架中零杆的根数

PP

二．图示桁架中1，2杆的轴力。

2

2F 2F 2F 反对称 2 2F 1 对称 ddF F F F d2F 3F2F 3Fd2F 2F dddddd

将原结构荷载分解成对称和反对称两组情况，

利用对称性分别计算1，2杆的轴力，然后将之叠加即可。

三．作图示结构的弯矩图

d/2dqqqd/2d

2ddqd/2d2 3

qdd/2dd