考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编4 (题后含答案
及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (97年)设两个随机变量X与Y相互且同分布，P(X＝－1)＝P(Y＝－1)＝，P(X＝1)＝P(Y＝1)＝，则下列各式成立的是 【 】
A．P(X－Y)＝ B．P(X＝Y)＝1 C．P(X＋Y＝0)＝ D．P(XY＝1)＝
正确答案：A
解析：P(X＝Y)＝P(X＝－1，Y＝－1)＋P(X＝1，Y＝1) ＝P(X＝－1)P(Y＝－1)＋P(X＝1)P(Y＝1) ＝ 知识模块：概率论与数理统计
2． (98年)设F1(χ)与F2(χ)分别为随机变量X1与X2的分布函数．为使F(χ)＝a1F1(χ)－bF2(χ)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 【 】
A． B． C． D．
正确答案：A
解析：∵F1(χ)和F2(χ)均为分布函数，∴F1(＋∞)＝F2(＋∞)＝1 要使F(χ)为分布函数，也有F(＋∞)＝1．对该式令χ→＋∞， 即得a－b＝1，只有A符合． 知识模块：概率论与数理统计
3． (99年)设随机变量Xi～(i＝1，2)，且满足P{X1X2＝0}，则P{X1＝X2}等于 【 】
A．0 B． C． D．1
正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计
4． (04年)设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α∈(0，1)，数uα满足P{X＞uα}＝α，若P{｜X｜＜χ}＝a则χ等于 【 】
A． B． C． D．
正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计
5． (06年)设随机变量X服从正态分布N(μ1，σ12)，随机变量Y服从正态分布N(μ2，σ22)，且 P{｜X－μ1｜＜1}＞P{｜Y－μ2｜＜1} 则必有 【 】
A．σ1＜σ2． B．σ1＜σ2． C．μ1＜μ2． D．μ1＜μ2．
正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计
6． (08年)设随机变量X，Y同分布，且X的分布函数为F(χ)，则Z＝max{X，Y}的分布函数为 【 】
A．F2(χ) B．F(χ)F(y)
C．1－[1－F(χ)]2 D．[1－F(χ)][1－F(y)]
正确答案：A
解析：Z的分布函数FZ(χ)＝P{Z≤χ)＝P{max(X，Y)≤χ}＝P{X≤χ，Y≤χ}＝P{X≤χ}.P{Y≤χ}＝F2(χ)，故选A． 知识模块：概率论与数理统计
7． (09年)设随机变量X与Y相互，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y的概率分布为P{Y＝0}＝P{Y＝1}＝．记FZ(z)为随机变量Z＝Xy的分布函数，则函数FZ(z)的间断点个数为 【 】
A．0． B．1． C．2． D．3．
正确答案：B
解析：FZ(z)＝P(Z≤z)＝P(XY≤z) ＝P{XY≤z｜Y＝0}P{Y＝0}＋P{XY≤z｜Y＝1}P{Y＝1} ＝{0≤z}Y＝0}＋P{X≤z｜Y＝1} 而P{0≤z｜Y＝0}＝P{0≤z}＝ P{X≤z｜Y＝1}＝P{X≤z}＝ 故Fz(z)＝ 在z＜0和z＞0上，Fz(z)显然连续；在z＝0上， 可见Fz(z)只有1个间断点(z＝0处，∵)，故选
B． 知识模块：概率论与数理统计
8． (10年)设随机变量X的分布函数F(χ)＝，则P{X＝1)＝ 【 】 A．0． B．．
C．－e-1． D．1－e-1．
正确答案：C
解析：P(X＝1)＝F(1)－F(1－0)＝(1－e-1)－－e-1．故选 C． 知识模块：概率论与数理统计
9． (10年) 设f1(χ)为标准正态分布的概率密度，f2(χ)为[－1，3]上均匀分布的概率密度，若 为概率密度，则a，b应满足 【 】
A．2a＋3b＝4． B．3a＋2b＝4． C．a＋b＝1． D．a＋b＝2．
正确答案：A
解析：由题意知： 所以2a＋3b＝4，故选A． 知识模块：概率论与数理统计
填空题 10． (00年)设随机变量X在区间[－1，2]上服从均匀分布，随机变量 则方差DY＝_______．
正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计
11． (02年)设随机变量X和Y的联合概率分布为 则X2和Y2的协方差cov(X2，Y2)＝_______．
正确答案：－0．02
解析：E(X2Y2)＝02×(－1)2×0．07＋02×02×0．18＋02×12×0．15＋12×(－1)2×0．08＋12×02×0．32＋12×12×0．20＝0．28 而关于X的边缘分布律为： 关于Y的边缘分布律为： ∴EX2＝02×0．4＋12×0．6＝0．6， Ey2＝(－1)2×0．15＋02×0．5＋12×0．35＝0．5 故cov(X2，Y2)＝E(X2Y2)－EX2.EY2＝0．28－0．6×0．5＝－0．02 知识模块：概率论与数理统计
12． (03年)设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z＝X－0．4，则Y与Z的相关系数为_______．
正确答案：0．9 涉及知识点：概率论与数理统计 13． (04年)设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X＞}＝_______．
正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计 14． (08年)设随机变量服从参数为1的泊松分布，则P{X＝EX2}＝_______．
正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计
15． (11年)设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)＝_______．
正确答案：μ＋μσ2 涉及知识点：概率论与数理统计 16． (13年)设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，则E(Xe2X)＝_______．
正确答案：2e2 涉及知识点：概率论与数理统计 17． (15年)设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY－Y＜0}＝_______．
正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18． (13年)设(X，Y)是二维随机变量，X的边缘概率密度为fX(χ)＝在给定X＝χ(0＜χ＜1)的条件下Y的条件概率密度为 (Ⅰ)求(X，Y)的概率密度f(χ，y)； (Ⅱ)求Y的边缘概率密度fY(χ)； (Ⅲ)求P{X＞2Y}．
正确答案：(Ⅰ)f(χ，y)＝fX(χ)fY｜X(y｜χ) (Ⅱ)fY(y)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dχ y≤0或y≥1时，fY(y)＝0； 0＜y＜1时，fY(y)＝＝－9y2lny 即fY(y)＝ 涉及知识点：概率论与数理统计
19． (16年)设二维随机变量(X，Y)在区域D＝{(χ，y)｜0＜χ＜1，χ2＜y＜}上服从均匀分布，令 (Ⅰ)写出(X，Y)的概率密度； (Ⅱ)问U与X是否相互?并说明理由； (Ⅲ)求Z＝U＋X的分布函数F(z)．
正确答案：(Ⅰ)区域D如图(a)，面积为SD＝，由题意，(X，Y)的概率密度为 (Ⅱ)由题意，P(U≤0)＝P(U＝0)＝P(X＞Y) ＝ D1见图(b) 可见， 故U与X不． (Ⅲ)F(z)＝P(Z≤z)＝P(U＋X≤z)＝P(U＋X≤z，U＝0)＋P(U＋X≤z，U＝1)＝P(X≤z，X＞Y)＋P(X≤z－1，X≤Y) 可见，z＜0时，F(z)＝0； z≥2时，P(X≤z，X＞Y)＝P(X＞Y)，P(X≤z－1，X≤Y)＝P(X≤Y) 所以F(z)＝P(X＞Y)＋P(X≤Y)＝1； 0≤z＜1时，由－1≤z－1＜0，知P(X≤z－1，X≤Y)＝0， 而P(X≤z，X＞Y)＝，G2见图(e)． 故F(z)＝z2－z3； 1≤z＜2时，P(X≤z，X＞Y)＝P(X＞Y)＝， 这时0≤z－1＜1，有 P(X≤z－1，X≤Y)＝ G3见图(f)． 所以F(z)＝ 涉
及知识点：概率论与数理统计
20． (87年)已知随机变量X的概率密度为 求随机变量Y＝的数学期望E(Y)．
正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计
21． (年)已知随机变量(X，Y)的联合密度为 试求：(1)P{X＜Y}； (2)E(XY)．
正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计
22． (91年)设随机变量(X，Y)在圆域χ2＋y2≤r2上服从联合均匀分布． (1)求(X，Y)的相关系数ρ； (2)问X和Y是否?
正确答案：由题意，(X，Y)的联合概率密度为 f(χ，y)＝，若χ2＋y2≤r2(别处为0) 则关于X的边缘密度为fx(χ)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dy 当｜χ｜＞r时，fX(χ)＝0； 当｜χ｜≤r时， 完全同理类似，得关于Yy的边缘概率密度为 (1)EX＝ 同理，EY＝0 而E(XY)＝ 以上积分为0可由被积函数为奇函数而积分区间对称且积分是收敛的得到． 于是covc(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)＝0， 故X与Y不． 涉及知识点：概率论与数理统计
23． (92年)某设备由三大部件构成．在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0．10，0．20和0．30．设各部件的状态相互，以X表示同时需要调整的部件数，试求E(X)和D(X)．
正确答案：设这三个部件依次为第1、2、3个部件，记Ai＝(第i个部件需调整)，i＝1，2，3．则A1，A2，A3相互． 则P(A1)＝0．1，P(A2)＝0．2，P(A3)＝0．3[或P(Ai)＝，i＝1，2，3] Xi＝ 显然，X1，X2，X3相互 则E(Xi)＝1.P(Ai)＝，i＝1，2，3．且X＝X1＋X2＋X3 D(Xi)＝E(Xi2)＝[E(Xi)]2＝12.P(Ai)－，i＝1，2，3 故EX＝EX1＋EX2＋EX3＝＝0．6 DX＝＝0．46 涉及知识点：概率论与数理统计
24． (93年)设随机变量X和Y同分布，X的概率密度为 (1)已知事件A＝{X＞a}和B＝{Y＞a}，且P{A∪B)＝，求常数a； (2)求的数学期望．
正确答案：(1)(1)由题意，P(A)＝P(B)＝∫a＋∞f(χ)dχ 显然a∈(0，2)．否则，若a≤0，则P(A)＝＝1；若a≥2，则P(A)＝0，都与P(A∪B)＝矛盾． 故P(A)＝P(B)＝ ∴＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B) ＝ 解得a＝ (舍负) (2) 涉及知识点：概率论与数理统计
25． (94年)设由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(μ，1)，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品．销售每件合格品获利，
销售每件不合格品亏损．已知销售利润T(单位：元)与销售零件的内径X有如下关系： 问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大?
正确答案：ET＝(－1)P(X＜10)＋20.P(10≤X≤12)－5.P(X＞12) ＝(－1).P(X－μ＜10－μ)＋20P(10－μ≤X－μ≤(12－μ)－5P(X－μ＞12－μ} ＝(－1)Ф(10－μ)＋20[Ф(12－μ)－Ф(10－μ)]－5[1－Ф(12－μ)] ＝25Ф(12－μ)－21ФP(10－μ)－5 ∴(ET)′μ＝25φ(12－μ).(－1)－21.φ(10－μ).(－1) ＝ 其中φ(χ)＝为标准正态分布的概率密度 令(ET)′μ＝0，得． 两边取对数，得μ0＝11－ 可以验证， 故ET在μ＝μ0处取得唯一极值且为极大值，所以ET在μ0处取最大值．故答：当μ＝11－时，平均利润最大． 涉及知识点：概率论与数理统计
26． (96年)设一部机器在一天内发生故障的概率为0．2，机器发生故障时全天停止工作．一周五个工作日，若无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；若发生两次故障，获利润0元；若发生三次或三次以上故障就要亏损2万元．求一周内的利润期望．
正确答案：设这部机器一周内有X天发生故障，这一周的利润为Y万元．由题意可知X～B(5，0．2) 故EY＝10.P(X＝0)＋5P(X＝1)＋0.P(X＝2)＋(－2).P(X≥3) ＝10×C50.0．20.0．85＋5×C51.0．21.0．84－2[1－C50.0．2.0．85－C51.0．21.0．84C52.0．220．83] ＝5．206 涉及知识点：概率论与数理统计
27． (97年)游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光．电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行．设一游客在早上八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[0，60]上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望．
正确答案：设Y(分钟)为该游客的等候时间，由题意知： 而X的概率密度为： 涉及知识点：概率论与数理统计
28． (97年)两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布．先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开动．试求两台自动记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差．
正确答案：设第i台自动记录仪无故障工作的时间为Xi，(i＝1，2)，由题意，X1与X2同分布，概率密度为 且知EX1＝EX2＝．DX1＝DX2＝，T＝X1＋X2 故ET＝EX1＋EX2＝，DT＝DX1＋DX2＝ 下面求f(t)． 用卷积公式知： f(t)＝∫－∞＋∞fx(χ1)fx(t－χ1)dχ1 ＝∫0＋∞5e-5χfx(t－χ)dχ 而f(t－χ)＝ 当t≤0时，f(t)＝0(∵积分中χ≥0， ∴χ≥t，f(t－χ)＝0)； 当t＞0时，f(t)＝∫0t5e-5χ.5e-5(t-χ)dχ＝25∫0te-5tdχ＝25te-5t 故f(t)＝ 涉及知识点：概率论与数理统计
29． (98年)一商店经销某种商品，每周的进货量X与顾客对该种商品的需求量Y是两个相互的随机变量，且都服从区间[10，20]上的均匀分布．商店
每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，可以其他商店调剂供应，这时每单位商品的售出获利润为500元．试求此商店经销该种商品每周所得利润的期望值．
正确答案：设此商店经销该种商品每周所得利润为ξ元，则由题意得； 而X和Y的概率密度均为： 故(X，Y)的联合密度为 f(χ，y)＝f1(χ).f1(y)＝ G1、G2见图4．6． 涉及知识点：概率论与数理统计
30． (99年)假设二维随机变量(X，Y)在矩形G＝{(χ，y)｜0≤χ≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布，记 (1)求U和V的联合分布； (2)求U和V的相关系数r．
正确答案：G的面积为SG＝2．如图4．7分得G＝D1∪D2∪D3 其中，D1的面积：； D3的面积：×2×1＝1； D2的面积： 由题意，(X，Y)的概率密度为： 而(U，V)可能取的值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)． 于是(1)P(U＝0，V＝0)＝P(X≤Y，X≤2Y)＝f(χ，y)dχdy ＝ P(U＝0，V＝1)＝P(X≤Y，X＞2y)＝f(χ，y)dχdy＝0 P(U＝1，V＝0)＝P(X＞Y，X≤2Y)＝ P(U＝1，V＝1)＝P(X＞Y，X＞2y)＝ 于是写出(U，Y)的分布列如下： ∴DU＝E(U2)－(EU)2＝ DV＝E(V2)－(EV)2＝ E(U.V)＝0×0×＋0×1×0＋1×0×＋1×1× 得(U，V)的相关系数为 涉及知识点：概率论与数理统计
