全等与相似

全等与相似

A组

一、填空题

1．如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE交于F，写出图中所有与△ACE相似的三角形为________．

解析 由Rt△ACE与Rt△FCD和Rt△ABD各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE＝∠A，故Rt△ACE∽Rt△FBE.

答案 △FCD、△FBE、△ABD

2．如图，∠C＝90°，∠A＝30°，E是AB中点，DE⊥AB于E，则△ADE与△ABC的相似比是________．

AE1

解析 ∵E为AB中点，∴AB＝2，即AE 13＝2AB，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝2AB， AE1又∵Rt△AED∽Rt△ACB，∴相似比为AC＝ .

3故△ADE与△ABC的相似比为13. 答案 13

3．(2011·陕西卷)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且

1

[键入文字]

AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.

解析 由∠B＝∠D，AE⊥BC及∠ACD＝90°可推得Rt△ABE∽AEABRt△ADC，则AC＝AD，

6×4

∴AE＝12＝2. 答案 2

4．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，则AD＝________.

解析 如图，连接AC，CB， ∵AB是⊙ O的直径， ∴∠ACB＝90°.

设AD＝x，∵CD⊥AB于D， ∴由射影定理得CD2＝AD·DB， 即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0， 解得x1＝4，x2＝9.∵AD>BD，∴AD＝9. 答案 9

5．(2015·茂名模拟)如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝4，CD＝

2

[键入文字]

12，则EF＝________.

解析 ∵AB∥CD∥EF，

ABBCBCCD4BCBC12∴EF＝CF，BF＝EF，∴EF＝，＝，∴4(BC－BF)

BC－BFBFEFBC12

＝12BF，∴BC＝4BF，∴BF＝4＝EF，∴EF＝3.

答案 3

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD4

＝4，sin∠ACD＝5，则CD＝________，BC＝________.

AD4

解析 在Rt△ADC中，AD＝4，sin∠ACD＝AC＝5，得AC＝5，CD＝AC2－AD2＝3，

2AC25

又由射影定理AC2＝AD·AB，得AB＝AD＝4.

259∴BD＝AB－AD＝4－4＝4，

92515

由射影定理BC2＝BD·AB＝4×4，∴BC＝4. 15答案 3 4

7．(2013·广东卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE

3

[键入文字]

⊥AC，垂足为E，则ED＝________.

解析 在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝3，所以∠BAC＝60°.因为3

BE⊥AC，AB＝3，所以AE＝2，在△EAD中，∠EAD＝30°，AD3＝3，由余弦定理知，ED＝AE＋AD－2AE·AD·cos∠EAD＝4＋9－

2

2

2

3321212×2×3×2＝4，故ED＝2.

答案

212

8．在△ABC中，D是边AC的中点，点E在线段BD上，且满1BF

足BE＝3BD，延长AE交BC于点F，则FC的值为________．

解析

BGBE1

如图，过B作BG∥AC交AF的延长线于点G，则AD＝ED＝2，BFBGBG1∴FC＝AC＝2AD＝4. 1答案 4

4

[键入文字]

1

9．在平行四边形ABCD中，点E在线段AB上，且AE＝2EB，连接DE，AC，AC与DE相交于点F，若△AEF的面积为1 cm2，则△AFD的面积为________ cm2.

解析

EFAE1

如图，易得△AEF∽△CDF，则DF＝CD，因为CD＝AB，AE＝211EFAE1

EB，所以AE＝3AB＝3CD，故DF＝CD＝3，又△AEF与△AFD的高S△AEFEF1

相同，故＝DF＝3，所以S△AFD＝3 cm2.

S△AFD

答案 3 二、解答题

10．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，求梯形ABFE与梯形EFCD的面积比．

1

解 由CD＝2，AB＝4，EF＝3，得EF＝2(CD＋AB)，所以EF是梯形ABCD的中位线，则梯形ABFE与梯形EFCD有相同的高，

5

[键入文字]

11

设为h，则S梯形ABFES梯形EFCD＝2(3＋4)h2(2＋3)h＝

75. 11.

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过D点作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证：

(1)△ABC≌△DCB； (2)DE·DC＝AE·BD.

证明 (1)因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，又BC＝BC，所以△ABC≌△DCB.

(2)因为AD∥BC，DE∥AC，所以∠EDA＝∠ACB.又由△ABC≌△DCB知∠ACB＝∠DBC，所以∠EDA＝∠DBC.由AD∥BC得∠EAD＝∠ABC，又∠ABC＝∠DCB，所以∠EAD＝∠DCB.所以△AED∽△DEAE

CDB，所以BD＝DC，所以DE·DC＝AE·BD.

B组

1．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AH∥BE.

连接ED并延长交AB于F，交AH于H.如果AB＝4AF，EH＝8，

6

[键入文字]

则DF的长为________．

HFAF

解析 ∵AH∥BE，∴HE＝AB. HF1

∵AB＝4AF，∴HE＝4，

HDAD

∵HE＝8，∴HF＝2.∵AH∥BE，∴DE＝DC. HD

∵D是AC的中点，∴DE＝1.

∵HE＝HD＋DE＝8，∴HD＝4，∴DF＝HD－HF＝4－2＝2. 答案 2 2．如图，

BFm

在△ABC中，F为边AB上的一点，AF＝n(m，n>0)，取CF的BE

中点D，连接AD并延长交BC于点E.则EC＝________.

FGFDBEAB

解析 如图，作FG∥BC交AE于点G，则CE＝DC＝1，FG＝AFm＋n＝n. BEm＋n

两式相乘即得EC＝n. 7

[键入文字]

m＋n答案 n 3.

将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF＝________.

解析 设BF＝x.

4－xxCFB′F

若△CFB′∽△CBA，则CB＝AB，即4＝3. 12

∴12－3x＝4x，∴x＝7.

CFB′F

若△CFB′∽△CAB，则CA＝AB， 4－xx12即3＝3，得x＝2.即BF＝2或7. 12

答案 2或7

4．如图所示，AD、BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于H，求证：DF2＝GF·HF.

证明 ∵∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝90°，

8

[键入文字]

∴∠H＝∠GBF.∵∠AFH＝∠GFB＝90°， HFAF∴△AFH∽△GFB.∴BF＝GF， ∴AF·BF＝GF·HF.

∵在Rt△ABD中，FD⊥AB， ∴DF2＝AF·BF， ∴DF2＝GF·HF.

9