三值命题逻辑中公式的概率真度

第３２卷第１期　Ｖｏ１．３２　Ｎｏ．１　井冈山大学学报（自然科学版）　２０１１年１月　Ｊａｎ．２０１１　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉｎｇｇａｎｇｓｈａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　文章编号：１６７４—８０８５（２０１　１）０１－００１３—０７　三值命题逻辑中公式的概率真度　于西昌　，谭桂梅２　（１．聊城职业技术学院，山东，聊城２５２０００：２．聊城大学图书馆，山东，聊城２５２０５９）　摘要：将三值命题逻辑系统的真度概念引入到概率逻辑，定义公式的期望，给出反映公式之间内在联系的相关系　数，研究无限公式收敛时所遵循的规律及特点，引入度量不确定性的特征值—嫡．　关键词：概率真度；数学期望；相关系数；熵　中图分类号：Ｏ１４１．１　文献标识码：Ａ　ＤＯＩ：１０．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１６７４—８０８５．２０１１．０１．００４　ＴＨＥ　ＰＲｏＢＡＢＩＬＩＴＹ　ＴＲＵＴＨ　ＤＥＧＲＥＥ　ｏＦ　ＦｏＲＭＵＬＡＳ　ＩＮ　３．Ｖ　ＬＵＥＤ　ＰＲｏＰｏＳＩＴＩｏＮＡＬ　ＬｏＧＩＣ　’ＹＵ　Ｘｉ—ｃｈａｎｇ　．ＴＡＮ　Ｇｕｉ—ｍｅｉ２　（１．Ｌｉａｏｃｈｅｎｇ　Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｌｉａｏｃｈｅｎｇ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ　２５２０００，Ｃｈｉｎａ；２．Ｌｉａｏｃｈｅｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｌｉｂｒａｒｙ，Ｌｉａｏｃｈｅｎｇ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ　２５２０５９，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ　ｔｒｕｔｈ　ｄｅｇｒｅｅ　ｏｆ　３－ｖａｌｕｅｄ　ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ　ｌｏｇｉｃ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｉｓ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ　ｉｎｔｏ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｌｏｇｉｃ　ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ　ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔ　ｏｆ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｗｅ　ｓｔｕｄｙ　ｔｈｅ　ｒｕｌｅｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｉｎｆｉｎｉｔｅ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｃｏｎｖｅｒｇｉｎｇ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ａｎ　ｅｎｔｒｏｐｙ　ａｓ　ｈｔｅ　ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ　ｖａｌｕｅ　ｏｆ　ｍｅｔｒｉｃ　ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ　ｉｓ　ｄｅｆｉｎｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｔｒｕｔｈ　ｄｅｇｒｅｅ；ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ；ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ　ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔ；ｅｎｔｒｏｐｙ　０　引言　研究的命题逻辑。文［８ＩＮ用势为２的均匀概率空间　的无穷乘积在经典二值命题逻辑中引入了公式的　众所周知，数理逻辑是以符号化为特点的形式　真度概念，实际上它是研究二值命题逻辑公式的真　化理论，它注重形式推理而不重视数值计算【】　］。而　度，没有研究公式间的关系及相互影响。文［９］利用测　数值计算则与此相反，它的目的在于借助各种计算　度空间在二值命题逻辑中，提出了具有明显数值特　手段采用插值、迭代、差分或概率估算等方法研究　征的公式的真度概念，与文［１０］中真度的定义等价，　各类计算问题，它关注问题的求解以及误差估计等　但也没有利用真度的概念研究命题逻辑中公式之　而很少使用形式推理方法。可以说数理逻辑与数值　间内在的联系。文［１１］只对二值问题进行了研究。　计算相距甚远。　本文的思想是将三值命题逻辑中真度的概念　文［６－８］都采用了将概率方法引入数理逻辑的　引入到概率逻辑之中，定义公式的期望，给出反映公　思想。文［６］重点研究了计量命题逻辑，将计量逻辑学　式之间内在联系的相关系数，研究无限公式收敛时　与概率逻辑学有机的结合起来，它是利用概率方法　所遵循的规律及特点，证明大数定理，引入度量不确　收稿日期：２０１０—０８—２０；修改日期：２０１０—１２—２４　基金项目：教育部科学技术研究重点项目（２０６０８９）　作者简介：　于西￣（１９７０一），男，山东聊城人，副教授，主要从事模糊逻辑、数理逻辑研究（Ｅ．ｍａｉｌ：ｃｈｉｎａｌｃｙｘｃ＠ｓｉｎａ．ｃｏｍ）；　谭桂梅（１９７０一），女，山东聊城人，讲师，主要从事数理逻辑、哲学逻辑研究（Ｅ．ａｍｉｌ：ｃｈｉｎａｌｃｔｇｍ＠ｓｉｎａ．ｃｏｍ）．　１４　井冈山大学学报（自然科学版）　定性的特征值一熵并得到一些重要性质，为三值命　题逻辑的程度化提供了一种新的方法，同时也为计　量逻辑、命题逻辑及信息学提供了理论依据和应用　基础。　１　预备知识　设Ｓ＝｛Ｐｌ，Ｐ　，…｝为原子公式之集，Ｆ（Ｓ）是由　Ｓ生成的（－１，Ｖ，　）型自由代数，即Ｆ（Ｓ）是三值　ｌｕｋａｓｉｅｗｉｃｚ（简记为厶）命题逻辑中全体公式之集，　这里＿１是Ｆ（　）上的一元运算，ｖ与　是Ｆ（Ｓ）上的　二元运算，并规定：Ｖｘ，Ｙ，　＝１一Ｘ，　Ｖ　Ｙ＝　ｍａｘ｛ｘ，　｝，　—　Ｙ＝Ｒ（ｘ，Ｙ）＝（１一ｘ＋ｙ）＾１，贝０　５３　成为（　，Ｖ，　）型代数。设ｕ：Ｆ（Ｓ）　为（＿１，Ｖ，　）　型同态，则称ｕ为Ｆ（Ｓ）的赋值映射，ＶＡ∈Ｆ（　），ｖ（Ａ）　为公式　的赋值，Ｆ（Ｓ）的赋值映射的全体记为Ｑ。　不妨设Ｌ３＝｛０，去，１｝，若Ａ（ｐ　一，Ｐ　）是三值　命题逻辑系统　中含有　个原子命题的合式公式，对　于Ｐ　一，Ｐ　的某些赋值　的赋值等于１，上述赋值　的个数用函数　表示就是　～（１）Ｉ。同理若　的赋值　等于ｏ，赋值的个数用函数　表示就是　～（０）ｌ’又因　Ｐ　一，Ｐ　的各种赋值的总数就是　维０一　１—１向量　（ｕ（ｐ１），…，ｖ（ｐ　））（ｕ（ｐｆ）∈｛０，｛，１），ｉ＝１，…，　）　的总数，共有３　个。　定理１．１嘲　Ａ（ｐ　一，Ｐ　）是Ｆ（　）中含有　原　子公式ｐ　一，Ｐ　的公式，　（　，￣ｏ　ｏ　Ｘｎ）是　所诱导　的函数　）：　薯　）　）为　公式　在，ｚ值系统中的真度。　定义１．１设Ａ（ｐ　，…，Ｐ　）是三值命题逻辑系统　厶中含有　原子命题的合式公式，则公式　的概率　真度　）的定义为　喜　击）Ｉ，　简记为：　ｃ　＝　Ｉ　～ｃ　ｌ＋　～ｃ・　　Ｉ。　定义１．２　设　（　，…，Ｐ　）∈Ｆ（　），则　（ｉ）Ａ是重言式当且仅当　）＝ｌ。　（ｉｉ）Ａ是矛盾式当且仅当ｒ（Ａ）＝０。　（ｉｉｉ）ｖ（２Ａ）：ｕ（　Ａ）＝２ｖ（Ａ）＾１＝　ｆ０，ｕ（　）＝０　１１，ｕ（　）：ｌ，或。（　）：　。　（ｉｖ）　（２（　））＝１－ｖ（Ａ）。　（Ｖ）０　（　）　１。　命题１　设　，　，Ｃ∈Ｆ（　），　，卢∈［０，１］，则　（ｉ）（ＭＰ规贝Ｕ）若ｆ（　）　，ｖ（Ｂ）≥卢，贝０　（　）　＋卢－１。　（ｉｉ）（ＭＰ规则）若ｖ（Ａ　Ｂ）　，ｆ（　Ｃ）≥卢，　则　（　Ｃ）　＋卢一１。　（ｉｉｉ）（交推理规则）若　（　Ｂ）≥　，　Ｃ）　卢，则　（　Ｂ　Ａ　Ｃ）　＋　一１。　推论１．１设　，Ｂ∈Ｆ（　），，则　（ｉ）若Ｉ—Ａ—　Ｂ，贝０ｖ（Ａ）　（　）。　（ｉｉ）若Ａ≈Ｂ，则ｖ（Ａ）＝　（　）。　（ｉｉｉ）＇ｖ（ＡｖＢ）＝　（　）＋　（Ｂ）一　（　人Ｂ）。特另０地，　当　与Ｂ逻辑不相容时，　（　ｖＢ）＝ｆ（　）十　（　）。　（ｉＶ）　（　）＝１一ｖ（Ａ）。　定理１．２　设ｒＣＦ（　），ＶＡ∈Ｆ，ｆ（　）　，Ｂ是　ｒ一推论，且存在从ｒ到Ｂ的长度为ｎ的推演，则　－ｒ（Ｂ）　（　一１）＋１，这里　是Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的第，ｚ　项。　定理１．３［　Ｆ（　）中的全体公式的真度之集　（ｖ（Ａ）ＩＡ∈Ｆ（　）｝在｛０，ｌ｝中稠密。　定理１．４　设Ｈ＝｛ｖ（Ａ）ＩＡ∈尸（　）｝为全体公　式之集，则　Ｈ：｛　＝１　２．．；　＝０，１，…，３　｝。　２条件概率真度　井冈山大学学报（自然科学版）　１５　基于概率的思想，在三值命题逻辑系统中引入　命题２．１，命题２．２的证明可参考文献［７］。　条件概率真度的概念。　定理２．２设Ａ，Ｂ∈Ｆ（Ｓ），ｒ（Ａ）＞０，ｒ（Ｂ＞０），则　定理２．１㈣设　∈Ｆ（　），信息∑＝｛　，　，…，　｝，　（ｉ）ｖ（ＡＩＢ）＝ｒ（Ａ）当且仅当　（　Ｉ　）＝ｒ（Ｂ）。　（ｉｉ）　（　Ｉ　）＞ｒ（Ａ）当且仅当　（　ｌ　）＞ｒ（Ｂ）。　（ｉｉｉ）ｒ（ａｌＢ）＜ｖ（Ａ）当且仅当　（　ｌ　）＜ｒ（Ｂ）。　令ｒ＝Ａｌ　Ａ　Ａ…ＡＡ，若　（ｒ）＞０，则公式Ａ在信　ｍ斛　簸　　Ｉ。　特别地，（ｉ）当∑只含有一个公式Ｂ时，公式Ａ在信　证明（ｉ）由　（　Ｉ　）＝三　会　＝　（　），得　（　）＝　息∑下的条件概率真度为：　（ＡＩＢ）：—ｒ（ＡＡ—Ｂ）。　ｆｒ　１　（ｉｉ）当Ａ与Ｂ独立，ｒ（Ａｆ　）＝Ｔ（Ａ）。　例１设Ａ＝Ｐ１　Ａ…Ａ　Ｐ　，Ｂ＝Ｐｌ　Ｖ…Ｖ　Ｐ　，，ｚ　２，　￣ｌＪｒ（Ａ）：（　）一，　（　）：１一（　）　。　例２设　＝Ｐｌ，Ｂ＝Ｐ　，则　（ｉ）　（　Ｂ）＝　（ｐｌ　Ｐ２）＝　。　＝　＝　＝　例３设　＝ＰＩ，Ｂ＝Ｐｌ　Ｖ…Ｖ　，　≥２，　则　（Ｂｌａ）：—ｖ（Ａ　—ＡＢ）：　：１。　’　（　）　Ｔ（　）　命题２．１　设　，Ｂ∈Ｆ　），∑＝｛４，　：，…，　｝，　若ｒ（ｒ）＞０，则　（ｉ）若Ｉ—Ａ—　Ｂ，￣ｒ（Ａｌｒ）≤　（　Ｉｒ）。　（ｉｉ）若　Ｂ，￣ｍＪｖ（Ａｌｒ）＝　（　ｌｒ）。　（ｉｉｉ）　（　ｖ　）ｌｆ］＝ｆ（　ｌｆ）＋ｆ（　Ｉｒ）一ｆ【（　ＡＢ）Ｉｒ］。特　别地，当　与　逻辑不相容时，　［（　ＶＢ）ｌｒ］＝　（　ｌＩ１）＋　（Ｂ『Ｉ１）。　（ｉＶ）　（—　ｌＩ’）＝１一ｖ（ＡＩＰ）。　命题２．２　设　，Ｂ，Ｃ∈Ｆ（‘５．），∑：｛　ｌ，　，…，　｝，　，卢∈［０，１］，若ｒ（ｒ）＞０，则　（ｉ）若　（　ｌｒ）≥　，Ｔ（ＢＩＤ≥／３，则　（ＢＩｒ）　＋８—１。　（ｉｉ）若ｒ（Ａ　ＢＩＦ）≥　，Ｔ（Ｂ　ｃｌｒ）≥　，则　ｒ（Ａ　ＣＩｒ）　０ｆ　４－卢一１。　（ｉｉｉ）若ｖ（Ａ　ＢＩｒ）≥　，ｒ（Ｂ　ｃｌｒ）　，则　Ｔ（Ａ　Ｂ　Ａ　ｃｉｒ）　＋卢一１。　Ｔ（ＢＡＡ）ｆ　—：　（ＢＩＡ）；反之也然。　（ｉｉ）由ｆ（　Ｉ　）＝三　（　）Ｂ　　及　（　Ｉ。　）＞　（　），得　ｖ（Ａ　ＡＢ）　＞　（　）所以—ｖ（Ｂ　ＡＡ）　＞　（　）—，，即　（　）　（　）　ｒ（ＢＩＡ）＞　（　）；反之也然。　（ｉｉｉ）（略）。方法同（ｉｉ）。　定义２．１设Ａ，Ｂ∈Ｆ（Ｓ），Ｔ（Ａ）＞Ｏ，ｖ（Ｂ＞０），则　（ｉ）Ａ和Ｂ是独立的，如果　（　Ｉ　）＝ｒ（Ａ）　ｉｅｖ（ＢｌＡ）＝　（　）。　（ｉｉ）Ａ和Ｂ是正依赖的，如果　（　ｌ　）＞ｒ（Ａ）　ｉｅｒ（Ｂ［Ａ）＞　）。　（ｉｉｉ）Ａ和Ｂ是负依赖的，如果ｖ（ＡＩＢ）＜ｒ（Ａ　ｉｅｖ（ＢｌＡ）＜　）。　定理２．３（乘法公式）设　，Ｂ∈Ｆ（Ｓ），ｒ（Ｂ＞０），　则ｒ（ＡＡＢ）＝　（　）・ｖ（ＡＩ　）。　证明由定理２．１可知。　定理２．４（一般乘法公式）设Ａ∈尸（　），信息　∑：｛Ａ１，Ａ　，…，　｝，令Ｆ＝４　Ａ　Ａ…ＡＡ，若　（ｒ）＞０，贝０　ｒ（ＡＡｒ）＝ｒ（ａ　）・ｖ（Ａ２ＩＡ１）・ｒ（Ａ，）・　（Ａ３ＩＡ１　ＡＡ２）…ｒ（Ａｌｒ）。　证明　由于　（４）　ｒ（Ａ，ＡＡ２）≥…≥　ｒ（４　ＡＡ２　Ａ　Ａ…　）＝　（ｒ），由定理２．１及定理２．３　知，　（４）・ｒ（４　Ｉ４）・ｖ（Ａ３）・Ｔ（Ａ３　ＩＡＩ　Ａ　Ａ２）…ｒ（ＡＩＶ）＝　ｆ　１．三！　！…．　：：：　！：　一　Ｔ（Ａ１）　（４　ＡＡ２　Ａ…　）　（４　Ａ　Ａ…　ＡＡ）＝Ｔ（ＡＡＦ）。证毕。　１６　井冈山大学学报（自然科学版）　３概率真度的期望　概率逻辑学是在有限多个“状态描述”构成的　・　ｃ　ｌ　～ｃ　ｌ＋ｌ　～ｃ　＝　。　（ｉｉｉ）（略）。（ｉ）（ｉｉ）可得。　集合上给出概率分布，从而得出每个命题　所对应　的概率Ｐ，这个概率Ｐ就反映该命题　的可信度，值　（ｉｖ）　（４＋　＋…＋　）＝　得注意的是上述概率分布是建立一个有限集合上，　而且是任意的。命题逻辑中的每个命题　，它是由命　（　题Ａ自身的结构所完全决定的，因而是内蕴的，不存　蚓　～（　～（　在任意性。现在的问题就是将内蕴的东西放在有限　集合的任意性中去研究，从而发现问题的规律性及　特点。　有了三值命题逻辑系统厶及公式Ａ的概率真　度和基于信息∑的条件概率真度，那么作为逻辑系　统　中的一个公式　，在模糊控制或数值计算中要　经常被调用，甚至调用的次数还比较大，这必将出现　一定的规律，也是操作者或研究者应十分重视的问　题。　为进一步考查公式取值的集中程度，引入了概　率真度数学期望（ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ　ｌ　ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ）概念，　并得到了一些性质．数学期望值越小，公式取值越集　中：反之越分散。　定义３．１设　（　，…，　）是三值命题逻辑系统　厶中含有　个原子命题的合式公式，则称　Ｅ（Ａ）＝　一　（　）］　为公式　的概率真度的数学期　望。　命题３．１　ｉ￣４（ｐ　，…，Ｐ　）∈Ｆ（　），贝０　（ｉ）若ｃ（Ｏ　Ｃ　１）为常数，则ｆ（　）＝ｃ。　（ｉｉ）若ｋ是一个常数，则　（五　）＝　（　）。　（ｉｉｉ）　（　＋ｃ）＝ｋＴ（Ａ）＋Ｃ。　（ｉｖ）ｆ（４＋　＋…＋　）＝ｆ（４）＋Ｊｒ（　）＋…＋ｆ（　），或　（∑４）＝∑ｆ（４）。　ｉ＝ｌ　ｉ＝１　（ｖ）如果４，　，…，　是相互独立的，则　Ｔ（４　Ａ　Ａ…Ａ　）＝Ｔ（ＡＩ）Ｔ（Ａ２）…ｆ（　）。　证明（ｉ）常数Ｃ可以看作公式的一个特例，它只　取一个值，所以　（　）＝ｃ。　（ｉｉ）ｆ（　）＝　（七・　ｌ　～（　）ｌ＋　・ｌ　～（１）１）＝　ｌ　～（１）＋…＋　～（１）１）：　（４）＋　（　）＋…＋ｆ（４｜）。　（ｖ）显然成立。　例４　Ａ＝Ｐｌ，Ｂ＝Ｐｌ　Ｐ２，Ｃ＝ＰＩ　Ａｐ２　ＡＰ３，　求　（　），　（　），Ｅ（Ｃ）。　解显然　（　）＝　１（　）＝　，　（ｃ）＝　１；　，　Ｅ（　）＝１４，Ｅ（　）＝３１６，Ｅ（ｃ）＝云。　命题３．２　Ａ（ｐ１，…，Ｐ　）∈Ｆ（　），则　（ｉ）若　对应的真值函数取常数ｃ，则Ｅ（Ａ）＝０。　（ｉｉ）若ｋ为常数，￣ＪＪＥ（Ｉｃ４）＝ｋ２Ｅ（Ａ）。　（ｉｉｉ）若　，Ｃ为常数，则Ｅ（ｋＡ＋ｃ）＝ｋ２Ｅ（Ａ）。　（ｉｖ）Ｅ（Ａ）＝ｆ（　）一　（　）。　（Ｖ）当Ａ，Ｂ相互独立时，Ｅ（ＡＡＢ）＝Ｅ（Ａ）Ｅ（Ｂ）。　（Ｖｉ）若Ａ，Ｂ逻辑不相容时，Ｅ（Ａ＋　）＝　Ｅ（　）＋Ｅ（　）。　证明（ｉ）Ｅ（　）：　［ｃ—　（ｃ）】　＝　（ｃ—ｃ）　＝０。　（ｉｉ）Ｅ（ｋＡ）＝　一　（　）］　＝ｚ［ｋＡ一幻（　）】　＝　ｋ２ｖ［Ａ—　（　）】　＝ｋ２Ｅ（Ａ）。　（ｉｉｉ）（略）。由（ｉ）（ｉｉ）可得。　（ｉｖ）Ｅ（Ａ）：ｖ［Ａ—ｆ（　）】　＝　［　一２Ａｖ（Ａ）＋ｖ　（　）］＝　ｒ（Ａ　）一２ｖ　（　）＋　（　）＝　（　）一ｆ　（　）。　（ｖ）由　（　），Ｅ（Ａ）的定义及命题３．２、命题３．３　显然成立。　（ｖｉ）Ｅ（Ａ＋Ｂ）＝　（　＋　）　一Ｔ２（　＋　）＝　（　＋２ＡＡＢ＋Ｂ。）一［１『（　）＋２　（　＾　）＋ｆ（　）】＝　［ｖ（Ａ　）一ｖ（Ａ　）］＋【　（　）一ｒ（Ｂ　）］：Ｅ（　）＋Ｅ（　）。　定理３．１　ｉ￣Ａ（ｐ　一，Ｐ　）∈Ｆ（　），在三值命题　逻辑系统厶中公式　的概率真度ｒ（Ａ）及期望　井冈山大学学报（自然科学版）　１７　（　）存在，对于任意给定的￡＞０，则　尸（　（　）　ｌ￡）　掣。　证明因　（　（　＿＿ｌ（１）１），　设　＝　（　ｌ　～（　）ｆ＋ｌ　～（　）　一　（　），则　（　）＝　（　一　（　））　＝，　（　卜　√　＋　（　）斗Ａ√可　＋　ｍ　２（　）＋　√　（　卜Ａ√　Ｅ（　）［Ｐ（　（　）一　√Ｅ（　））＋Ｐ（Ａ　（　）＋　√Ｅ（　））］＝　Ａ２Ｅ（Ａ）Ｐ（Ａ—　（　）ｌ　√　（　））。　所以ｐ（　Ｉ－Ａ—ｆ（　）ｌＩ　√　（’　　））　１，。　　令￡＝Ａ　Ｅｘ［￣，有Ｐ（Ａ　）Ｉ＞￡）　。　这个切比谢夫不等式的另一种形式为：　Ｐ（　（　）ｌ＜￡）　。　从以上不等式可以看出，若Ｅ（　）越小，则　集　中在　（　）附近的可能性越大，由此可以看出，Ｅ（　）　的意义在于它刻划了　的分散程度。　４协期望及相关系数　有了公式的概率真度及期望的概念，还不能更　好地说明公式之间的相互关系及内在影响，为此引　入协期望及相关系数的概念。　定义４．１设Ａ，Ｂ是二值命题逻辑系统Ｌ２中　含有　个原子命题的合式公式，称　一　（　））　一　（　））］为Ａ，Ｂ的协期望，记为　ｃｏｅ（Ａ，　）＝　［（　一　（　））（Ｂ—ｆ（Ｂ））】。　定理４．１设Ａ，Ｂ∈Ｆ（　），则ｃｏｅ（Ａ，Ｂ）＝　ｒ（ＡＡ　）一　（　（　）。　证明ｃｏｅ（Ａ，　）＝　［（　一　（　））（Ｂ—ｆ（　））】＝　Ｔ［ＡＡＢ—Ａｚ（Ｂ）一Ｂｚ（Ａ）＋　（　）　（　）］＝　ｖ（Ａ　Ａ　）一２ｚ（Ａ）ｚ（Ｂ）＋　（　）　（　）＝　（　Ａ　）一　（　）　（曰）。　注１当Ａ，Ｂ相互独立时，ｃｏｅ（Ａ，　）＝０。　推论４．１　Ｅ（　＋Ｂ）：　一ｆ（　）］　＋　［　一ｆ（　）］　＋　２ｃｏｅ（Ａ，　）。　证明Ｅ（Ａ＋Ｂ）＝　［（　＋Ｂ）一　（　＋　）］　＝　（　一　（　））＋（Ｂ—　（　））］　＝　一　（　）］　＋　—　（　）］　＋　２ｚ（Ａ—　（　））　（　一　（　））。证毕。　命题４．１设Ａ，Ｂ，Ｃ∈Ｆ（　），口，ｂ为常数，则　（ｉ）ｃｏｅ（Ａ，　）＝ｃｏｅ（Ｂ，　）。　（ｉｉ）ｃｏｅ（ａＡ，ａＢ）＝ａｂ　ｃｏｅ（Ａ，　）。　（ｉｉｉ）ｃｏｅ（Ａ＋Ｂ，Ｃ）＝ｃｏｅ（Ａ，Ｃ）＋ｃｏｅ（Ｂ，Ｃ）。　证明（略）。　定义４．２设　，　∈Ｆ（　），称ｐ：　．或　。４Ｅ（Ａ）Ｅ（Ｂ）　［Ａ　－ｖ（Ａ）一　关　系数。　命题４．２设Ａ，Ｂ∈Ｆ（　），则　（ｉ）ｌＰＩ　１。　（ｉｉ）Ａ，Ｂ独立时，Ｉｐｌ＝０。　（ｉｉｉ）若Ｂ＝口　＋ｂ，即　与Ｂ线性相关，就是　ｌＰＩ＝１。　证明（ｉ）０　Ｅ（Ｂ—　）＝　（　）＋Ｅ（Ｂ）一　２ｔｃＤｅ（　，　），令　：—ｃｏｅ（Ａ，Ｂ）—，则上式为：　丘’（　）　Ｅ（　一　）＝Ｅ（　）一　＝　（　）［１一　］＝Ｅ（　）［１－ｐｚ］。　（ｉｉ）显然。　（ｉｉｉ）ｃｏｅ（Ａ，Ｂ）＝　［（　一ｆ（　））（ａ　＋６一ｒ（ａＡ＋６））］＝　（　～ｒ（Ａ）－ａ（Ａ—　（　））］＝ａ・　（　一　（　）］　＝ａＥ（Ａ）。　由期望的性质知Ｅ（Ｂ）＝Ｅ（ａＡ＋ｂ）＝ａ￣Ｅ（Ａ）。　所以ｐ２　。　Ｅ（　）　（　）　＝旦　ａ　『　（　）　＝・，故ｌｐＩ相关系数是衡量公式　与Ｂ之间线性相关的　量。Ｐ的值接近±１，表明公式Ａ与Ｂ之间线性相关　程度很高；而Ｐ的值接近０，表明公式Ａ与Ｂ之间线　性相关程度很差；Ｐ的值为正，表明公式Ａ增大时　１８　井冈山大学学报（自然科学版）　Ｂ也增大；Ｐ的值为负，表明公式　增大时Ｂ也减　小．若Ｐ＝０，则Ａ，Ｂ间没有线性关系，这时就称　，　Ｂ是不相关的或零相关的。　５大数定理　在三值命题逻辑系统厶中，合式公式可能是有　限的，也可能是无限的，为研究逻辑系统中的无限公　式的收敛情况，采取极限的方法，即研究公式值收敛　于单点的分布，称之为大数定理．大数定理不但在数　理逻辑中具有深刻的内容，而且为信息统计提供了　有力的理论根据．　定理５．１　（弱大数定理）设ＡＩ（ｐ１，…，Ｐ　），　（Ｐｌ，…，Ｐ　），…，　（ｐ　一，Ｐ　），…是三值命题逻辑系　统　中含有，ｚ个原子命题的合式公式，且　（４）＝　，Ｅ（Ａｉ）＝　，则对任意￡＞０，有　ｌｉｍ　　ｐ　ｌ　喜　一　Ｉ≥￡　＝。。　证明由切比谢夫不等式知，对任意的￡＞０，有　掂　料ｎ　Ｅ２，　即　｛　一　Ｉ＞￡）　鲁。　于是ｌｉｍ　｛　一　…／９　ｉ＝Ｉ　ｌ＞￡）　／．，／Ｅ２一ｏｏ　推论５．１　ｌｎ－ｉ一　－ｍｐ｛－－ｙｏ￣　ｌ　！　９　一，　－ｌｌ　＜ｓ）＝１ｑ　定理５．１（强大数定理）设Ａｔ（ｐ　一，Ｐ　），　（ｐ　一，Ｐ　），…，　（ｐ　一，Ｐ　）是三值命题逻辑系统　中含有　原子命题的合式公式，且　（４）＝　，　（４）＝　，则对任意￡＞０，有　ｐ｛ｌ…ｉｍｌ　￣　－　）＝　。　大数定理说明在三值逻辑系统中，合式公式取　值的平均值接近概率真度（或概率真度）的平均值，这　是比较合理。　例５设Ａ∈Ｆ（　），信息∑：｛４，Ａ２，…，　｝，若对　所有Ａｎ（ｉ＝ｌ，２，…，　）进行赋值后其平均值为　Ｏ．７２，Ｅ（　）＝　＝Ｏ．０３，试求公式赋值在０．５２与０，９２　之间的概率。　解因为Ｐ＝ｐ（０．５２　Ａ　０．９２、＝　ｐ（一０．２　Ａ一　（　）≤ｏ．２）＝ｐ（１　一ｆ（　）ｌ　ｏ．２），　所以ｐ（　（　）　０）＞ｌ一　＝　１。　６熵　在三值命题逻辑系统厶中，公式是我们的研究　对象。虽然公式Ａ的取值是由自身的结构所完全决　定的，是内蕴的，但公式在模糊控制或数值计算中的　调用是频繁的，假定逻辑系统中的公式调用是随机　的，那么在度量这些公式是否被调用时，采用一种度　量不确定性的特征值一熵来度量。　定义６．１设　（　，…，Ｐ　）是三值命题逻辑系统　中含有　原子命题的合式公式，如果原子公式　０　ｒ—一—　３　赋值为　一服从以下分布　。一２　一　ｌ　哇、　一ＪＡ－ｌ一一　（　１）　３　嗍　一喜　ｈ喜　：　一∑　（　）ｌｎｆ（　）为公式的熵。　命题６．１设　（　，…，Ｐ　）∈，（　），则　（ｉｉ）Ｈ（Ａ、＝０的充分必要条件是Ａ的概率真度　证明（略）。　例６设Ａ（ｐｌ，…，Ｐ　）是三值命题逻辑系统　中含有疗个原子命题的合式公式，如果　（４）＝　，求　Ｈ（Ａ）。　解日（　）＝一∑　（　）ｌｎ　（　）＝　井冈山大学学报（自然科学版）　１９　一　ｌｎ　：　ｌｎ３。　３　３　３　及特点，证明了大数定理，引入了度量不确定性的特　征值一熵并得到一些重要性质，为三值命题逻辑的　程度化提供了一种新的方法，同时也为计量逻辑、命　熵的大小在一定的程度上反映公式的不确定　性。公式的不确定性越大，熵也就越大；反之，公式　题逻辑及信息学提供了理论依据和应用基础。需要　说明的是，三值命题逻辑系统是命题逻辑系统中最　的不确定性越大，熵就越小。对于一个逻辑系统而　言，一个系统越是有序，熵就越低；反之，一个系统越　是混乱，信息熵就越高。所以，熵也可以说是系统有　简单、最典型的命题逻辑系统，具有很好的性质及极　强的代表性，那么这种三值命题逻辑程度化的方法　序化程度的一个度量．这说明三值命题逻辑系统厶　是有序的良好逻辑系统。　定义６．２设Ａｉ（Ｐ　－－，Ｐ　），　，（ｐ　一，Ｐ　）是三值　命题逻辑系统厶中含有　个原子命题的合式公式，　则称　Ｉ　，）＝一∑　（　ＩＡ￣）ｌｎｒ（Ｂｊｌ４）为基于４的　条件熵。　条件熵的一般表达形式：　（　Ｉ　）＝一∑∑Ｔ（ｓｊ　Ｉ４）ｌＩ１　（　Ｉ４）。　蚵　成Ｈ（ＢＩＡ　喜喜　Ｉｎ　。　根据对数的性质，条件熵的一般表达形式也可　以改写为Ｈ（ＢＩＡ）＝Ｈ（Ａ，　）一Ｈ（Ａ）。　条件熵是信息论中信息熵的一种度量，它表示　如果已经完全知道一个公式　的熵的前题下，别一　个公式　熵还有多少。也就是基于　的　的熵，用　Ｈ（ＢＩＡ１表示。　命题６．２设　（　．－，Ｐ　）∈Ｆ（　），则　（ｉ）　（　Ｉ　）≥０。　（ｉｉ）日（　ｌ　）　Ｈ（Ｂ）。　证明（略）。　７结束语　将三值命题逻辑中真度概念引入到概率逻辑　之中，定义了公式的期望，给出了反映公式之间关系　的相关系数，研究了无限公式收敛时所遵循的规律　是否可推广到　值命题逻辑系统呢？对此，还有待　进行深入探讨与研究。　参考文献：　Ｈａｍｉｌｔｏｎ　Ａ　Ｇ　Ｌｏｇｉｃ　Ｆｏｒ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｒｏｋ；　Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　吲　Ｐｒｅｓｓ，１　９７８．　网　胡世华，陆钟万．数理逻辑基础［Ｍ］．北京：科学出版社，　１９８３．　王元元．计算机科学中的逻辑学［Ｍ］．北京：科学出版社，　１９８９．　陆汝钤．人工智能［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８８．　王国俊．数理逻辑引论与归纳原理［Ｍ］．北京：科学出版　社，２００３．　王国俊．计量逻辑学［Ｊ］＿工程数学学报，２００６，２３（２）：　１９１．２１５．　韩邦合，王国俊．二值逻辑中命题的条件真度理论［Ｊ】．　模糊系统与数学，２００７，２１（４）：９．１５．　王国俊，傅丽，宋建社．二值逻辑中的真度理论［Ｊ］．中国　科学（Ａ辑）．２００１，３１（１１）：９９８—１００８．　Ｗａｎｇ　Ｇ　Ｊ．Ｆｕ　Ｌ．Ｓｏｎｇ　Ｊ　Ｓ．Ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｔｒｕｔｈ　ｄｅｇｒｅｅｓ　ｏｆ　ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｔｗｏ－ｖａｌｕｅｄ　ｌｏｇｉｃ［Ｊ］．Ｓｃｉｅｎｃｅ　ｉｎ　Ｃｈｉｎａ，　Ｓｅｒ八２００２．４５：１　１０６－１１　１６．　王国俊．数理逻辑引论与归纳原理［Ｍ１．２版．北京：科学　出版社．２００６．　于西昌，谭桂梅．二值命题逻辑中的概率真度［Ｊ］．计算机　工程与应用，２０１０，４６（１　Ｉ）：４６－４８．　李骏，兰倩，黎锁平．Ｌｕｋａｓｉｅｗｉｃｚ￣值命题逻辑中命题的　真度理论［Ｊ］＿模糊系统与数学，２００４，１　８（４）：３９－４５．　于西昌，胡凯，张兴芳．条件概率真度的相似度及伪　距离［Ｊ】．模糊系统与数学，２００９，２３（６）：４４—５２．　Ⅲ