函数值域的求法总结

例析求函数值域的方法

浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平

函数的值域是函数三要素之一，求函数的值域是深入学习函数的基础，它常涉及多种知识的综合应用，下面通过例题讲解，多方探寻值域的途径。

一、直接法：（从自变量x的范围出发，推出y围）

例1．求函数y解：因为

x2的值域。

f(x)的取值范

x0，所以x22，

所以函数yx2的值域为2,。

二、配方法（是求二次函数值域的基本方法，如

F(x)af2(x)bf(x)c的函数的值域问题，均可使用配方法）

例2．求函数yx24x2（x[1,1]）的值域。 解：yx24x2(x2)26，

因为x[1,1]，所以x2[3,1]，所以1(x2)29 所以3(x2)265，即3y5

所以函数yx24x2（x[1,1]）的值域为[3,5]。

三、分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法） 例4．求函数y1x的值域。 2x5177(2x5)212， 解：因为y1x22x52x522x57所以20，所以y1，

22x5所以函数y1x的值域为{y|y1}。 2x52四、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如yaxbb、c、dcxd（a、

均为常数，且a0）的函数常用此法求解。

12x的值域。

例4．求函数y2x1t2解：令t12x（t0），则x2，

所以yt2t1(t1)25

24因为当t1，即x3时，ymax5，无最小值。

284所以函数y2x

512x的值域为(,]。

4

五、函数的单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数yxkk0x的值域（0xk时为减函数；xk时为增函数））

例5．求函数yx12x的值域。

12x随x的

解：因为当x增大时，12x随x的增大而减少，增大而增大， 所以函数yx所以y12112x在定义域(,]上是增函数。

2111，所以函数yx12x的值域为(,]。

22212六、利用有界性(利用某些函数有界性求得原函数的值域) 例6

x21求函数y2的值域。

x1解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得

(y1)x2(y1)，

因为y1，所以x2y1（xR，y1），

y1所以y10，所以1y1，

y1

x21所以函数y2的值域为{y|1y1}

x1七、数型结合法（函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法）

例7．求函数yx1x1的值域。

y 2x,x1解：yx1x1，y2,1x1，

2x,x12

-1 o 1 x 图像如右图所示，故原函数的值域为2,

除此之外，还有反函数法（即利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域）和判别式法（即把函数转化成关于x的二次方程

Fx,y0，通过方程有实根，0，从而求得原函数的值域，

需熟练掌握一元二次不等式的解法），在今后的学习中，会具体讲述。