高中数学《函数》测试题
一、选择题 ( 共 50 分) ： 1．已知函数 y A.（2， -2 ） 2．如果奇函数 是
f ( x 1) 的图象过点（ 3， 2），则函数 f ( x) 的图象关于 x 轴的对称图形一定过点
B.
（ 2，2）
C.
（ -4 ，2）
D. （4， -2 ）
f x 在区间 a, b b
a 0 上是增函数， 且最小值为 m ，那么 f x 在区间
b, a 上
m 增函数且最大值为 B.
C. 减函数且最小值为 m 减函数且最大值为 D.
lg 2x 1
3. 与函数 y 0.1 的图象相同的函数解析式是
A. 增函数且最小值为 A ． y 2 x 1 (x
m
m
1) 2
B
． y
1 2x 1
C． y
1 ( x 1 ) 2x 1 2
2
D
． y
4．对一切实数 x ，不等式 x a | x | ≥ 0 恒成立，则实数 a 的取值范围是
(A． ，－ 2］ B．［－ 2， 2］ C．［－ 2， D．［ 0， ) ) 5．已知函数 y 直线 y
A． 2 6．把函数 y
1
1
2x 1
f (2x 1) 是定义在 R 上的奇函数，函数
x 对称，则 g (x) g( x) 的值为
y
g( x) 的图象与函数 y f ( x) 的图象关于
D．不能确定
C, C关于 x 轴对称的图像
f ( x) 的图像沿 x 轴向右平移 2 个单位，所得的图像为 为
B． 0 C． 1
y
2x
的图像，则 y
A.
7. 当0
f (x) 的函数表达式为
B.
y y
C.
a b
1
2x 2 2x 2
y
2 x 2 log 2 ( x 2)
D.
1时，下列不等式中正确的是
y
A. (1
a) b
(1 a) b
b
B.
(1 a)a
(1 b) b
C. (1
8．当 x
a) b
)
(1 a) 2
0,
D.
(1 a) a (1 b) b
1,
0,2 时，函数 f (x)
B.
ax2 4(a 1) x 3 在 x 2 时取得最大值，则 a 的取值范围是
A. [ 1 ,
C.
D. [
2
, )
2
9．已知 f (x)
(3a 1)x
4a, x 1 1
3
是 (
,
) 上的减函数，那么
a 的取值范围是
log a x,
A. (0,1)
B.
(0, )
3
1x
C. [,1)
1
D.
7
[ , 1)
7 3
1
10．某种电热水器的水箱盛满水是 200 升，加热到一定温度，即可用来洗浴。洗浴时，已知每分钟放水
34 升，在放水的同时按 4 升 / 分钟的匀加速度自动注水。当水箱内的水量达到最小值时，放水程序
65 升，则该热水器一次至多可供 A．3 人洗浴 B．4 自动停止，现假定每人洗浴用水量为
人洗浴
C． 5 人洗浴
D
．6 人洗浴
二、填空题 ( 共 25 分) 11．已知偶函数
间的大小关系为
f x 在
0,2 内单调递减，若
。
1
a f 1 ,b
f (log 0.5 4 ), c f lg 0.5
，则
a, b, c
之
12. 函数 y log a x 在 [2,
) 上恒有 y 1，则 a 的取值范围是
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。
13. 若函数 y
ax 4x 1 a 5 4 的图象关于直线 y 5
x 对称，则 a =
。
14．设 f ( x) 是定义在 R 上的以 3为周期的奇函数，若
f (1) 1, f (2)
是
。
2a a
3
，则 a 的取值范围
1
15．给出下列四个命题： ①函数 y
ax （ a x3 与 y
0 且 a 1 ）与函数 y loga ax （ a 0 且 a 1 ）的定义域相同；
② 函 数 y
3x 的 值 域 相 同 ； ③ 函 数 y
1 1 与 y 2 2x 1
(1 2x ) 2 都 是 奇 函数 ； ④ 函 数 x 2x
y ( x 1)2 与 y 2x 1 在区间 [0,
正确的命题序号都填上）
) 上都是增函数， 其中正确命题的序号是 _____________。（把你认为
三、解答题 ( 共 75 分 ) （本大题共 16．（本小题满分 12 分）已知函数
6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）
f x 在定义域 1
(2)
0,
上为增函数，且满足
f xy
f x f y , f 3
(1) 求 f 9 , f 27 的值 解不等式 f x f x 8 2
17． ( 本题满分 12 分 ) 已知集合 A＝ { x | ( x 2)[ x (3a 1)] 0}
，B＝ { x |
x x (a
2a
2
0} .
1)
（ 1）当 a ＝ 2 时，求 A B；
（ 2）求使 B A 的实数 a 的取值范围 .
18. （本小题满分 12 分）函数 f ( x ) 2x
a
x
的定义域为 ( 0 , 1] （ a 为实数） .
（ 1）当 a （ 3）函数 y
1 时，求函数 y f ( x ) 的值域；
（ 2）若函数 y f ( x ) 在定义域上是减函数，求 a 的取值范围；
f ( x ) 在 x ( 0 , 1] 上的最大值及最小值，并求出函数取最值时 x 的值 .
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19．( 本题满分 12 分) 已知函数 f (x) 的图象与函数 h( x) x
1 x
2 的图象关于点 A（ 0， 1）对称 . （ 1）
求函数 f ( x) 的解析式（ 2）若 g( x) = f ( x) + ，且 g( x) 在区间（ 0， 2] 上的值不小于
x
值范围 .
a
6 ，求实数 a 的取
20. （本小题满分 13 分）
12n(1 n 24, n N * )
n 48,n N * ) . 这里 n 表示定购书的数
10n(n 49, n N * )
某出版公司为一本畅销书定价如下: C n11n(25
量 ,C （ n）是定购 n 本书所付的钱数（单位 : 元）
（ 1）有多少个 n, 会出现买多于 n 本书比恰好买 n 本书所花钱少 ?
（ 2）若一本书的成本价是 5 元 , 现有两人来买书 , 每人至少买 1 本 , 两人共买 60 本 , 问出版公司至少能赚多少钱 ?最多能赚多少钱 ?
21．（本小题满分 14 分）设二次函数
f ( x) ax2 bx c (a, b,c R) 满足下列条件：
①当 x ∈ R 时， f (x) 的最小值为 0，且 f ( x － 1)= f( － x － 1)成立；
②当 x ∈ (0,5) 时， x ≤ f ( x) ≤ 2
x 1 +1 恒成立。
（ 1）求 f (1) 的值；
（ 2）求 f ( x) 的解析式；
（ 3）求最大的实数 m(m>1), 使得存在实数 t,只要当 x ∈ 1,m 时，就有 f ( x t) x 成立。
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《函数》测试题 答案
一、 1.D 2. B 3.C 4.C 二． 11. c
5.A 6.B 7. D
a b 12.
( ,1) (1,2) 13 .－5 2
1
8.D 9.D 10.B
14. ( － 1,
2
3
) 15.
⑴⑶
三．解答题
16. 解：（1） f （ 2） f x
9 f
f x 8
3 f 3 2, f 27 f
f 9
9 f 3
3
f x x 8
而函数 f(x)
是定义在 0,
上为增函数
x 0
x 8 0 x(x 8)
8 x 9
9 (8,9)
即原不等式的解集为
17. 解：（1）当 a ＝2 时， A＝（ 2， 7）， B ＝（ 4， 5）∴ A （ 2）∵ ＝（ ， 2
＋ 1）， a a B
当 a ＜ B＝（ 4，5） . ⋯⋯⋯ 4 分
1
时， A＝（ 3 a ＋ 1， 2）
2a
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5 分
3
要使 B A，必须 当 a ＝
3a
1
1
a2
，此时 a ＝－ 1；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7 分
1 2
时， A＝
，使 B
A 的 a 不存在；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9 分
3
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当 a ＞
1
时， A＝（ 2， 3 a ＋ 1）
3
要使 B
A，必须 2a
2
，此时 1≤ a ≤ 3. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
11 分 12 分
a2 1 3a 1
综上可知，使 B A 的实数 a 的取值范围为 [1 ， 3] ∪{ － 1} ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 解：（ ）显然函数 y f ( x) 的值域为 ； ⋯⋯⋯⋯⋯ 分
[2 2, ) 18. 1 3 （ 2）若函数 y 成立，
f ( x ) 在定义域上是减函数，则任取
x )(2
2
a ) 0
x1 x2
x1 , x2 ( 0.1] 且 x1 x2 都有 f ( x1 ) f ( x2 )
即 ( x
1
只要 a 由 x1, x2
3
a
2x1x2 即可，
( 0.1] ，故
0
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5 分
2 x1x2 ( 2,0) ，所以 a
2 ，
故 a 的取值范围是 （ ）当
( , 2] ；
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7 分
时，函数 y f ( x ) 在 ( 0.1] 上单调增，无最小值，
当 x 1 时取得最大值 2 a ；
由（ 2）得当 a
当 x 当 2 a
2a 2
2 时，函数 y
f ( x ) 在 ( 0.1] 上单调减，无最大值，
1时取得最小值 2 a ；
0 时，函数 y
f ( x ) 在 ( 0.
2a .
2a
] 上单调减，在 [
2
2 a , 1] 上单调增，无最大值， 2
当 x
时取得最小值 2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
19. 解：（1）设 f ( x) 图象上任一点坐标为
的对称点 ( x,2
( x, y) ，点 (x, y) 关于点 A （ 0， 1）
x
y) 在 h( x) 的图象上⋯⋯⋯⋯
1 x
2 y
x
2, y x
1
, 即 f ( x)
1
x
3 分
⋯⋯ 6分
x
（ 2）由题意
g( x) x
a 1
，且 g( x)
x
x
a xx
2
1
6
∵ x
x
（ 0， 2] ∴ a
0
2]
1 x( 6 x) ，即 a
q( x) max
6x
1
，⋯⋯⋯⋯
9 分
12
令 q(x) ∴
x2 6x 1， x
时，
（ 0， 2] ， q( x)
7
11
x2 6x 1＝－ ( x
7
3) 2 8 ，
（ ，
⋯ ′∴
a
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
分
方法二： q (x) 2x 6 ， 0
x （0， 2] 时， q (x)
即 q(x) 在（ 0， 2 ] 上递增，∴ x （0， 2 ] 时， q( x) max 7 ∴ a 7
20. 解（ 1）由于 C（ n）在各段上都是单调增函数，因此在每一段上不存在买多于 书所花钱少的问题，一定是在各段分界点附近因单价的差别造成买多于 的现象 .
N 本书比恰好买
n 本
n 本书比恰好买 n 本书所花钱少
C（ 25）＝ 11 25＝ 275，C（ 23）＝ 12 23＝ 276，∴ C（ 25） C（ 24）＝ 12 24＝ 288，∴ C（ 25）C（ 45）＝ 11 45＝ 495，∴ C（ 49） （ 2）设甲买 n 本书，则乙买 60－ n 本，且 n 30， n N * （不妨设甲买的书少于或等于乙买的书）①当 1 n 11 时， 49 60－n 59
出版公司赚得钱数 ②当 12
f (n) 12n 10(60
n) 5 60
2n 300 ⋯⋯..⋯7分
n 24 时， 36 60－ n 48，
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出版公司赚得钱数 ③当 25
f (n) 12n 11(60 n) 5 60 n 360
35，
n
30 时， 30 60－ n
出版公司赚得钱数 f (n) 11 60 5 11
60 360 ⋯⋯ ..⋯⋯⋯ .. ⋯⋯⋯ 9 分
2n n
300,1 n 360,12 n
∴ f (n)
24 ⋯⋯ ..⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..10 分
360, 25 n 30
∴当 1
n 11 时， 302 f ( n) 322
当 12 n 24 时， 372 f ( n) 384 当 25 n 30 时， f (n) 360 ⋯⋯ .⋯⋯⋯ . .⋯⋯⋯ . .⋯⋯⋯ . .⋯⋯⋯ ...⋯⋯ ..12 分
故出版公司至少能赚
302 元，最多能赚
384 元 ⋯⋯ .. .⋯⋯⋯ . .⋯⋯⋯ .⋯⋯⋯ ..13 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
21. 解： (1)在②中令 x=1,有 1≤ f(1) ≤ 1,故 f(1)=1
(2)由①知二次函数的关于直线 x=-1 对称 ,且开口向上 故设此二次函数为 f(x)=a(x+1) 2,(a>0),∵ f(1)=1, ∴ a=
2
3 分
∴ f(x)=
1
1 4
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
(x+1)
4
(3) 假设存在 t∈R,只需 x∈ [1,m], 就有 f(x+t) ≤x. f(x+t) ≤ x
7 分
1
(x+t+1) 2≤x x2+(2t-2)x+t 2+2t+1 ≤ 0.
4
令 g(x)=x 2+(2t-2)x+t 2+2t+1,g(x) ≤ 0,x∈ [1,m].
g(1) 0 g(m) 0
∴ m≤ 1－ t+2
4 t 0 1 t 2 t m
t ≤ 1－ ( －4)+2
1 t 2 t
( 4)=9
t=-4 时 ,对任意的 x∈ [1,9]
恒有 g(x) ≤0, ∴ m 的最大值为 9.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分
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