欧阳语创编
细说如何证明圆的切线
1、 时间：2021.03.01 创作：欧阳语 2、证切线---------------90°（垂直） 3、有90°------------------证全等 4、有⊥------------------证∥，错过来 5、利用角+角=90° 关注：等腰（等边）三线合一；中位线；直角三角形 1（2011中考）.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E,(1)求证：PB为⊙O的切线； 2已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的EOBCPA切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于D，求证：CD是⊙O的切线。 3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.
D 4(2008年厦门市)已知：如图，直径的
交
于点，
中，于点．
，以为
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（1）求证：是的切线；
5已知：如图⊙O是△ABC的外接圆，P为圆外一点，PA∥BC，且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心，交⊙0于另一点D，连结CD．(1)试判断直线PA与⊙0的位置关系，并证明你的结论．(2)当AB=13，BC=24时，求⊙O的半径
及CD的长．
6如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)求弦BD的长；
(3)求图中阴影部分的面积．上一点，圆O过D、B、C三点， (2) 如果
7.（2010北京中考）已知：如图，在△ABC中，D是AB边
DOC=2ACD=90。
(1) 求证：直线AC是圆O的切线；
ACB=75，圆O的半径为2，求BD的长。
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8、（2011•北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
9已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。
10（2013年广东省9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.
（1）求证：∠BCA=∠BAD；（3）求证:BE是⊙O的切线。 11（7分）（2013•珠海）如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）求∠B的度数．
细说如何证明圆的切线
6、证切线---------------90°（垂直） 7、有90°------------------证全等 8、有⊥------------------证∥，错过来 9、利用角+角=90° B关注：等腰（等边）三线合一；中位线；直角三角形 OCP欧阳语创编 EA欧阳语创编
1（2011中考）.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E,(1)求证：PB为⊙O的切线；
2已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于D，求证：CD是⊙O的切线。
点悟：要证CD是⊙O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结OD。 证明：连结OD。 ∵AD∥OC，
∴∠COB＝∠A及∠COD＝∠ODA ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD ∴∠COB＝∠COD
∵CO为公用边，OD＝OB ∴△COB≌△COD，即∠B＝∠ODC ∵BC是切线，AB是直径， ∴∠B＝90°，∠ODC＝90°， ∴CD是⊙O的切线。
点拨：辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。 3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M
求证：DM与⊙O相切.
D 3(2008年厦门市)已知：如图，
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中，，以为
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直径的交于点，是
的切线；
，求， ， 于，
是
的切线
于点．
（1）求证：（2）若
的值．
（1）证明：
又又
，
4已知：如图⊙O是△ABC的外接圆，P为圆外一点，PA∥BC，且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心，交⊙0于另一点D，连结CD．(1)试判断直线PA与⊙0的位置关系，并证明你的结论．(2)当AB=13，BC=24时，求⊙O的半径
及CD的长．
如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)求弦BD的长；
(3)求图中阴影部分的面积．
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5.（2010北京中考）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点， (2) 如果
DOC=2ACD=90。
(1) 求证：直线AC是圆O的切线；
ACB=75，圆O的半径为2，求BD的长。
6、（2011•北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
例6. 已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。
点悟：要证PC＝CD，可证它们所对的角等，即证∠P＝∠CDP，又OA⊥OB，故可利用同角（或等角）的余角相等证题。
证明：连结OD，则OD⊥CE。 ∴∠EDA＋∠ODA＝90° ∵OA⊥OB
∴∠A＋∠P＝90°， 又∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A，∠P＝∠EDA ∵∠EDA＝∠CDP，
∴∠P＝∠CDP，∴PC＝CD
点拨：在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关系。
7（2013年广东省9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，
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∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.
（1）求证：∠BCA=∠BAD； （2）求DE的长；
（3）求证:BE是⊙O的切线。
【答案】解：（1）证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD。
∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理）， ∴∠BCA=∠BAD。
（2）∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），
∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，∴BDDE。
ACAB∵BD=BA =12，BC=5，∴根据勾股定理
得：AC=13。
∴12DE，解得：DE144。
131213（3）证明：连接OB，OD， 在△ABO和△DBO
ABDB中，∵BOBO，
OAOD∴△ABO≌△DBO（SSS）。 ∴∠DBO=∠ABO。 ∵∠ABO=∠OAB=∠BDC
∴∠DBO=∠BDC。∴OB∥ED。
∵BE⊥ED，∴EB⊥BO。∴OB⊥BE。
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，
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∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线。
8．（7分）（2013•珠海）如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）求∠B的度数．
考点： 切线的判定与性质；菱形的性质． 分析： （1）连结OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根据菱形的性质得BA=BC，然后根据“SSS”可判断△ABC≌△CBO，则∠BOC=∠OAC=90°，于是可根据切线的判定方法即可得到结论； （2）由△ABC≌△CBO得∠AOB=∠COB，则∠AOB=∠COB，由于菱形的对角线平分对角，所以点O在BD上，利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD，则∠BOC=2∠ODC， 由于CB=CD，则∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根据∠BOC+∠OBC=90°可计算出∠OBC=30°，然后利用∠ABC=2∠OBC计算即可． 解答： （1）证明：连结OA、OB、OC、BD，如图， ∵AB与⊙切于A点， ∴OA⊥AB，即∠OAB=90°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BA=BC， 在△ABC和△CBO中 ， ∴△ABC≌△CBO， ∴∠BOC=∠OAC=90°， ∴OC⊥BC， ∴BC为⊙O的切线； （2）解：∵△ABC≌△CBO， ∴∠AOB=∠COB， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD平分∠ABC，CB=CD， ∴点O在BD上， ∵∠BOC=∠ODC+∠OCD， 而OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， ∴∠BOC=2∠ODC， 而CB=CD， ∴∠OBC=∠ODC， ∴∠BOC=2∠OBC， 欧阳语创编
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∵∠BOC+∠OBC=90°， ∴∠OBC=30°， ∴∠ABC=2∠OBC=60°． 点评： 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了全等三角形相似的判定与性质以及菱形的性质． （19）(08长春中考试题)在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是（B）
A．D．
B．1 C．2
时间：2021.03.01 创作：欧阳语 欧阳语创编
