2019-2020学年安徽省合肥市包河区八年级下学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1.
式子√
𝑥−2𝑥−3
在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. 𝑥>3
2.
B. 𝑥≥2 且𝑥≠3 C. 𝑥<2 且𝑥≠3 D. 𝑥≤2
下列属于最简二次根式的是( )
A. √21
3.
B. 2√12 C. √18
；(2)
D. √20
小飞做了以下四道题：(1)
(3) (4)，其中错误的有( )
A. 1道 B. 2道 C. 3道 D. 4道
4. 关于x的方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=3的解与(𝑥−1)(𝑥−4)=0的解相同，则𝑎+𝑏+𝑐的值为( )
A. 2
B. 3
C. 1
D. 4
5. 下列语句中不是命题的是( )
A. 两点之间线段最短 C. 两直线平行内错角相等
B. 联结A、B两点 D. 对顶角相等
6. 在平面直角坐标系xOy中，点𝐴(0,2)，𝐵(𝑎,0)，𝐶(𝑚,𝑛)，其中𝑚>𝑎，𝑎<1，𝑛>0，若△𝐴𝐵𝐶是
等腰直角三角形，且𝐴𝐵=𝐵𝐶，则m的取值范围是( )
A. 0<𝑚<2 B. 2<𝑚<3 C. 𝑚<3 D. 𝑚>3
7. 为了调查某种果苗的长势，从中抽取了6株果苗，测得苗高(单位：𝑐𝑚)为：16，9，10，16，8，
19，则这组数据的中位数和极差分别是( )
A. 11，11 B. 12，11 C. 13，11 D. 13，16
8. 如图，一块长和宽分别为30cm和20cm的矩形铁皮，要在它的四角截
去四个边长相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的侧面积为272𝑐𝑚2，则截去的正方形的边长是( )
A. 4cm B. 8.5𝑐𝑚
C. 4cm或8.5𝑐𝑚 D. 5cm或7.5𝑐𝑚
9. 关于x的一元二次方程𝑘𝑥2+2𝑥+1=0有两个实根，则实数k的取值范围是( )
A. 𝑘≤1
B. 𝑘<1
C. 𝑘≤1且𝑘≠0
D. 𝑘<1且𝑘≠0
10. 如图，在正方形ABCD外作等腰直角△𝐶𝐷𝐸，𝐷𝐸=𝐶𝐸，连接BE，
则tan∠𝐸𝐵𝐶=( )
A. 3 B. 2√5
55C. √
5
2
D. 3
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
1
11. 计算：√3𝑎×√12𝑎(𝑎≥0)=______．
12. 已知方程𝑥2+𝑘𝑥+1=0的一个根为√2−1，则另一个根为______，𝑘=______．
13. 如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，已知如下数据：𝐴𝑀=4米，𝐵𝑀=6√3米，
∠𝑀𝐴𝐷=45°，∠𝑀𝐵𝐶=30°，则警示牌的高CD为______米．
14. 若𝑥1、𝑥2、𝑥3、𝑥4、𝑥5的方差为4，则2𝑥1、2𝑥2、2𝑥3、2𝑥4、2𝑥5的方差为______． 15. 直角三角形两条直角边长分别是5和12，则第三边上的中线长是______ ． 16. 等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，则腰上的高为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）
17. 计算：(𝑥2−3)(𝑥2+9)(𝑥2+3)．
18. 解答下列各题：
(1)−𝑎⋅𝑎5−(𝑎2)3−(−2𝑎3)2；
(2)(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)−(−2)−2+(𝜋−3.14)0；
1
(3)先化简，再求值：(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)+𝑎(2𝑏−𝑏)，其中𝑎=1.5，𝑏=2； 3(𝑥+𝑦)−4(𝑥−𝑦)=4(4){𝑥+𝑦𝑥−𝑦；
+=126
(5)已知(𝑥+1)(𝑥2+𝑚𝑥+𝑛)的计算结果不含𝑥2项和x项，求m、n．
19. 如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且𝐵𝐸=𝐷𝐹连AE、AF、
CE、CF，请你判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
20. 一方有难，八方支援．2010年4月14日青海玉树发生7.1级强烈地震，给玉树人民造成了巨大
的损失．灾难发生后，实验中学举行了爱心捐款活动，全校同学纷纷拿出自己的零花钱，踊跃捐款支援灾区人民﹒小慧对捐款情况进行了抽样调查，抽取了40名同学的捐款数据，把数据进行分组、列频数分布表后，绘制了频数分布直方图．图中从左到右各长方形高度之比为3：4：5：7：1(如图)．
(1)捐款20元这一组的频数是______； (2)40名同学捐款数据的中位数是______；
(3)若该校捐款金额不少于34500元，请估算该校捐款同学的人数至少有多少名？
21. 某玩具商店以成本为每件60元购进一批新型玩具，以每件100元的价格销售则每天可卖出20
件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价5元，则每天可多卖10件．
(1)若商店平均每天盈利1200元，每件玩具的售价应定为多少元？
(2)若商店为增加效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店平均每天盈利最多？最多盈利多
少元？
G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且𝐴𝐺=𝐶𝐸，22. 如图，
𝐴𝐸⊥𝐸𝐹，𝐴𝐸=𝐸𝐹，求∠𝐹𝐶𝐷的度数．
【答案与解析】
1.答案：B
解析：[分析]
根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件和分式有意义的条件． [详解] 解：由题意得
𝑥−2≥0，且𝑥−3≠0， 解得𝑥≥2且𝑥≠3， 故选B．
2.答案：A
解析：解：A、无法化简，故是最简二次根式，故本选项正确；
B、2√12=4√3，所以本二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数，故本选项错误； C、√18=3√2，所以本二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数，故本选项错误； D、√20=2√5，所以本二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数，故本选项错误； 故选A．
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意： (1)在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数)，如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
3.答案：C
解析：根据二次根式的乘法法则，二次根式的减法法则对每个小题进行计算，然后作出判断。
，故正确；
(1)
(2)
，故错误；
(3)
，故正确；
(4)与
不能合并，故错误。
其中错误的有3道，故选C。
4.答案：B
解析：
本题主要考查了一元二次方程的知识，解答本题的关键是求出方程(𝑥−1)(𝑥−4)=0的两根，此题难度不大．
首先利用因式分解法求出方程(𝑥−1)(𝑥−4)=0的解，再把x的值代入方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=3即可求出𝑎+𝑏+𝑐的值．
解：∵方程(𝑥−1)(𝑥−4)=0， 可得解为𝑥1=1，𝑥2=4，
∵关于x的方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=3与方程(𝑥−1)(𝑥−4)=0的解相同， ∴把𝑥1=1代入方程得：𝑎+𝑏+𝑐=3， 故选B．
5.答案：B
解析：解：两点之间线段最短、两直线平行内错角相等和对顶角相等都是命题，而联结A、B两点为描叙性语言，它不是命题． 故选：B．
根据命题的定义对各选项进行判断．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，
6.答案：B
解析：解：如图，过点C作𝐶𝐷⊥𝑥轴于D，
∵点𝐴(0,2)， ∴𝐴𝑂=2，
∵△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，且𝐴𝐵=𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐶=90°=∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐵𝐷𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝑂+∠𝐶𝐵𝐷=90°=∠𝐴𝐵𝑂+∠𝐵𝐴𝑂， ∴∠𝐵𝐴𝑂=∠𝐶𝐵𝐷， 在△𝐴𝑂𝐵和△𝐵𝐷𝐶中， ∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐵𝐷𝐶{∠𝐵𝐴𝑂=∠𝐶𝐵𝐷， 𝐴𝐵=𝐵𝐶
∴△𝐴𝑂𝐵≌△𝐵𝐷𝐶(𝐴𝐴𝑆)，
∴𝐴𝑂=𝐵𝐷=2，𝐵𝑂=𝐶𝐷=𝑛=𝑎， ∴0<𝑎<1，
∵𝑂𝐷=𝑂𝐵+𝐵𝐷=2+𝑎=𝑚， ∴2<𝑚<3， 故选：B．
过点C作𝐶𝐷⊥𝑥轴于D，由“AAS”可证△𝐴𝑂𝐵≌△𝐵𝐷𝐶，可得𝐴𝑂=𝐵𝐷=2，𝐵𝑂=𝐶𝐷=𝑛=𝑎，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
7.答案：C
解析：解：将数据从小到大排列为：8，9，10，16，16，19， 中位数为：(10+16)÷2=13； 极差为：19−8=11，
故选：C．
根据中位数及极差的定义，结合所给数据即可作出判断．
本题考查了极差及中位数的定义，在求中位数的时候，注意将所给数据从新排列．
8.答案：C
解析：
此题考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找出等量关系：侧面积为272𝑐𝑚2，列出方程求解即可．可设截去正方形的边长为xcm，对于该长方形铁皮，四个角各截去一个边长为x厘米的小正方形，长方体底面的长和宽分别是(30−2𝑥)厘米和(20−2𝑥)厘米，侧面积为2𝑥[(30−2𝑥)+(20−2𝑥)]𝑐𝑚2，现在要求长方体的侧面积为272𝑐𝑚2，令二者相等求出x的值即可． 解：设截去正方形的边长为xcm，依题意有 2𝑥[(30−2𝑥)+(20−2𝑥)]=272， 解得𝑥1=4，𝑥2=8.5．
答：截去正方形的边长是4cm或8.5𝑐𝑚． 故选C．
9.答案：C
解析：解：∵关于x的一元二次方程𝑘𝑥2+2𝑥+1=0有两个实根， ∴{
𝑘≠0
，
△=22−4𝑘≥0
解得：𝑘≤1且𝑘≠0． 故选：C．
由二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 本题考查了根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
10.答案：D
解析：解：作𝐸𝐹⊥𝐵𝐶于F，如图，设𝐷𝐸=𝐶𝐸=𝑎，
∵△𝐶𝐷𝐸为等腰直角三角形，
∴𝐶𝐷=√2𝐶𝐸=√2𝑎，∠𝐷𝐶𝐸=45°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴𝐶𝐵=𝐶𝐷=𝑎，∠𝐵𝐶𝐷=90°， ∴∠𝐸𝐶𝐹=45°，
∴△𝐶𝐸𝐹为等腰直角三角形， ∴𝐶𝐹=𝐸𝐹=
√2𝐶𝐸2
=
√2𝑎， 2
𝐸𝐹
√2𝑎2√2√2𝑎+2𝑎在𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐹中，tan∠𝐸𝐵𝐹=𝐵𝐹=即tan∠𝐸𝐵𝐶=3． 故选：D．
1
=， 3
1
∠𝐷𝐶𝐸=作𝐸𝐹⊥𝐵𝐶于F，如图，设𝐷𝐸=𝐶𝐸=𝑎，根据等腰直角三角形的性质得𝐶𝐷=√2𝐶𝐸=√2𝑎，45°，再利用正方形的性质得𝐶𝐵=𝐶𝐷=√2𝑎，∠𝐵𝐶𝐷=90°，接着判断△𝐶𝐸𝐹为等腰直角三角形得到𝐶𝐹=𝐸𝐹=√𝐶𝐸=√𝑎，然后在𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐹中根据正切的定义求解．
22
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
2211.答案：6a
解析：解：∵𝑎≥0，
∴原式=√3𝑎⋅12𝑎=√36𝑎2=|6𝑎|=6𝑎． 故答案为：6a
原式利用二次根式乘法法则计算，化简即可得到结果．
此题考查了二次根式的乘除法，以及二次根式性质，熟练掌握二次根式乘法法则是解本题的关键．
12.答案：√2+1 −2√2
解析：解：设方程的另一根为𝑥1，又∵𝑥2=√2−1 ∴{
𝑥1+√2−1=−𝑘
，
𝑥1⋅(√2−1)=1
解得𝑥1=√2+1，𝑘=−2√2．
可将该方程的已知根√2−1，代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出k值和方程的另一根．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，也可将𝑥=√2−1代入方程𝑥2+𝑘𝑥+1=0中求出k的值，再利用根与系数的关系求方程的另一个根．
13.答案：2
解析：
首先根据等腰直角三角形的性质可得𝐷𝑀=𝐴𝑀=4𝑚，再求出CM的长即可解决问题；
此题主要考查了解直角三角形，勾股定理得应用，关键是掌握锐角三角函数的应用，属于中考常考题型．
解：由题意可得：∵𝐴𝑀=4米，∠𝑀𝐴𝐷=45°， ∴𝐷𝑀=4米，
∵∠𝑀𝐵𝐶=30°，𝐵𝑀=6√3米 ∴𝐶𝑀=𝐵𝑀⋅𝑡𝑎𝑛30°=6(米)， ∴𝐶𝐷𝐶𝑀−𝐷𝑀=6−4=2(米)， 故答案为2．
14.答案：16
解析：解：∵𝑥1、𝑥2、𝑥3、𝑥4、𝑥5的方差为4， ∴2𝑥1、2𝑥2、2𝑥3、2𝑥4、2𝑥5的方差为22×4=16； 故答案为：16．
先𝑥1、𝑥2、𝑥3、𝑥4、𝑥5的方差为4，得出数据2𝑥1，2𝑥2，2𝑥3，2𝑥4，2𝑥5的方差是22×4，再进行计算即可．
本题考查了方差的定义．当数据都乘以一个数(或除以一个数)时，方差变为这个数的平方倍．
15.答案：6.5
解析：解：根据勾股定理√52+122=13， ∴第三边上的中线长=2×13=6.5．
先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形边上的中线等于斜边的一半即可求出． 本题主要利用勾股定理和直角三角形边上的中线等于斜边的一半的性质．
1
16.答案：a
解析：解：如图，𝐴𝐵=𝐴𝐶=2𝑎，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=15°，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 ∴∠𝐷𝐴𝐶=2∠𝐴𝐵𝐶=30° ∴𝐶𝐷=2×𝐴𝐶=𝑎． 故答案为：a．
由已知可知顶角是150°，则腰上的高是2a的一半为a．
1
本题主要考查了等腰三角形的性质以及外角的性质运用．直角三角形的性质．外角等于和它不相邻的两内角和．
17.答案：解：原式=(𝑥2+3)(𝑥2−3)(𝑥2+9)
=(𝑥4−9)(𝑥2+9) =𝑥6+9𝑥4−9𝑥2−81．
解析：先根据平方差公式进行计算，再根据多项式乘以多项式法则展开即可．
本题考查了平方差公式和多项式乘以多项式法则的应用，注意：平方差公式是(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2．
18.答案：解：(1)原式=−𝑎6−𝑎6−4𝑎6
=−6𝑎6；
(2)原式=𝑎2−𝑏2−4+4 =𝑎2−𝑏2；
(3)(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)+𝑎(2𝑏−𝑏) =𝑎2−𝑏2+2𝑎𝑏−𝑎𝑏 =𝑎2−𝑏2+𝑎𝑏，
当𝑎=1.5，𝑏=2时，原式=1.52−22+1.5×2=1.25； (4)设𝑥+𝑦=𝑎，𝑥−𝑦=𝑏，则原方程组化为：{①−②得：−5𝑏=−2， 解得：𝑏=0.4，
把𝑏=0.4代入②得：3𝑎+0.4=6， 解得：𝑎=1.8， 𝑥+𝑦=1.8即{， 𝑥−𝑦=0.4𝑥=1.1
解得：{；
𝑦=0.7(5)(𝑥+1)(𝑥2+𝑚𝑥+𝑛) =𝑥3+𝑚𝑥2+𝑛𝑥+𝑥2+𝑚𝑥+𝑛 =𝑥3+(𝑚+1)𝑥2+(𝑚+𝑛)𝑥+𝑛， ∵式子的计算结果不含𝑥2项和x项， ∴𝑚+1=0，𝑚+𝑛=0， 解得：𝑚=−1，𝑛=1．
3𝑎−4𝑏=4①
3𝑎+𝑏=6②
解析：(1)先算乘方，再算乘法，最后合并即可； (2)先求出每一部分的值，再合并即可；
(3)先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可； (4)设𝑥+𝑦=𝑎，𝑥−𝑦=𝑏，则原方程组化为：{即可；
(5)先根据多项式乘以多项式进行计算，合并后得出方程，求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，整式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．
3𝑎−4𝑏=4①
，求出a、b的值，再代入求出x、y
3𝑎+𝑏=6②
19.答案：解：四边形AECF是平行四边形；
证明：如图，连AC，设AC、BD相交于点O． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴𝑂𝐴=𝑂𝐶，𝑂𝐵=𝑂𝐷， ∵𝐵𝐸=𝐹𝐷，
∴𝑂𝐵−𝐵𝐸=𝑂𝐷−𝐷𝐹，即 𝑂𝐸=𝑂𝐹． ∴四边形AECF是平行四边形；
解析：根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形； 考查了平行四边形的性质及判定，解题的关键是了解平行四边形的性质及判定定理，难度不大．
20.答案：(1)14；(2)15元
(3)抽出的40名同学的平均数=(6×5+8×10+10×15+14×20+2×30)÷40=15 设该校捐款的同学有x人，由题意得15𝑥≥34500 解得𝑥≥2300
答：该校捐款的同学至少有2300人．
解析：解：(1)40÷(3+4+5+7+1)×7=14． 故填：14；
(2)第一组有6人，第二组有8人，第三组有10人，第五组有2人．第20个和第21个数都落在捐15元的这组内，则中位数为15元； 故填：15． (3)见答案
(1)先根据长方形高度之比计算出每一组的人数，从左到右第四组的人数即是第四组的频数；
(2)第20位和第21位的平均数是中位数； (3)34500÷捐款的平均数=该校捐款同学的人数
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
21.答案：解：(1)设每件玩具的售价为x元，
(𝑥−60)[20+2(100−𝑥)]=1200， 解得：𝑥1=90，𝑥2=80，
∵扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， ∴𝑥=80，
答：每件玩具的售价为80元；
(2)设每件玩具的售价为a元时，利润为w元，
𝑤=(𝑎−60)[20+2(100−𝑎)]=−2(𝑎−85)2+1250， ∵−2<0 ∴𝑤有最大值
即当𝑎=85时，w有最大值为1250元，
答：当每件玩具的售价为85元时，商店平均每天盈利最多，每天最多盈利1250元． 解析：(1)根据题意，可以得到关于x的一元二次方程，从而可以解答本题；
(2)根据题意可以得到利润与售价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题． 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
22.答案：解：∵𝐴𝐸⊥𝐸𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐹=90°，
∴∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐹𝐸𝐶=180°−∠𝐴𝐸𝐹=180°−90°=90°． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠𝐵=90°，𝐴𝐵=𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐵𝐴𝐸=180°−90°=90°， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐹𝐸𝐶．
𝐴𝐺=𝐸𝐶
在△𝐴𝐺𝐸和△𝐸𝐶𝐹中，{∠𝐺𝐴𝐸=∠𝐶𝐸𝐹，
𝐴𝐸=𝐸𝐹∴△𝐴𝐺𝐸≌△𝐸𝐶𝐹(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐴𝐺𝐸=∠𝐸𝐶𝐹． ∵𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝐴𝐺=𝐶𝐸， ∴𝐵𝐺=𝐵𝐸， ∴∠𝐵𝐺𝐸=45°，
∴∠𝐴𝐺𝐸=180°−∠𝐵𝐺𝐸=180°−45°=135°， ∴∠𝐸𝐶𝐹=135°，
∴∠𝐹𝐶𝐷=∠𝐸𝐶𝐹−∠𝐸𝐶𝐷=135°−90°=45°．
解析：根据𝐴𝐸⊥𝐸𝐹即可得出∠𝐴𝐸𝐹=90°，从而可得出∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐹𝐸𝐶=90°，利用正方形的性质即可得出∠𝐵=90°，通过角的计算即可得出∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐹𝐸𝐶，结合𝐴𝐺=𝐶𝐸、𝐴𝐸=𝐸𝐹，即可证出△𝐴𝐺𝐸≌△𝐸𝐶𝐹(𝑆𝐴𝑆)，从而得出∠𝐴𝐺𝐸=∠𝐸𝐶𝐹，再通过等腰直角三角形的判定与性质结合角的计算即可得出结论．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是找出∠𝐸𝐶𝐹=∠𝐴𝐺𝐸=135°.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键．
