2021-2022学年浙江省台州市黄岩中学高二数学文下学期期末试题含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 已知命题，则（ ） A．

B．

C．

D．

参：

A

2. 已知实数满足不等式，且则的大小关系

为

A．

B． C． D．

参：

A

3. 设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，且a2=﹣2，则a7=（ ） A．16 B．32 C． D．128

参：

C

【考点】等差数列的前n项和．

【分析】由题意得Sn+2+Sn+1=2Sn，得an+2=﹣2an+1，从而得到{an}从第二项起是公比为﹣2的等比数列，由此能求出结果．

【解答】解：∵数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，且a2=﹣2， ∴由题意得Sn+2+Sn+1=2Sn，得an+2+an+1+an+1=0，即an+2=﹣2an+1， ∴{an}从第二项起是公比为﹣2的等比数列， ∴．

故选：C．

4. 过点（1，-1）且与直线垂直的直线方程为（ ）

A．

B．

C．

D．

参： D 略

5. 用数学归纳法证明：时，从

推证

时，左边增加的代数式

是（ ） A.

B.

C.

D.

参：

A 【分析】

根据题设中的等式，当

时，等式的左边为

，当

时，等式的左边为

，即可求解．

【详解】由题意，可得当时，等式的左边为

，

当时，等式的左边为，

当

时，等式的左边为

，

所以从到时，左边需增加的代数式是

，

故选A．

【点睛】本题主要考查了数学归纳法的应用，其中解答中熟记数学归纳法的基本形式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

6. 命题p：?x∈R，＜，命题q：若M为曲线y2=4x2上一点，A（，0），则|MA|的最小值为

，那么下列命题为真命题的是（ ） A．（￢p）∧（￢q） B．p∨（￢q）

C．p∧（￢q）

D．（￢p）∧q

参：

D

【考点】复合命题的真假．

【分析】利用指数函数与二次函数的单调性即可判断命题p的真假，利用点到直线的距离公式即可判

断出命题q的真假．再利用复合命题真假的判断方法，即可判断出真假． 【解答】解：命题p：∵2

＞

＞，∴命题p是假命题．

命题q：曲线y2=4x2，化为y=±2x，∴|MA|的最小值==，因此命题q为真命题． ∴下列命题为真命题的是D：（￢p）∧q， 故选：D．

7. 已知第I象限的点在直线

上，则

的最小值为

A.

B.

C.

D.

参： A

本题涉及不等式与直线等内容，具有较强的综合性，注重考查学生思维的灵活性与思辨性。

本题不难转化为“已知，求的最小值”，运用均值不等式求最值五个技巧中的“常数的活用”不难求解。其求解过程如下

(当且仅当时取等号)

8. 双曲线﹣=1（mn≠0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为

（ ） A．

B． C． D．

参：

A

【考点】圆锥曲线的共同特征；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．

【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点，进而可知双曲线的焦距，根据双曲线的离心率求得m，最后根据m+n=1求得n，则答案可得．

【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则双曲线的焦距为2，

则有解得m=，n=

∴mn=

故选A

9. 已知点A（1,-2），B（m,2），且线段AB的垂直平分线的方程是

，则实数m

的值是（ ）

A.-2 B.-7 C.3 D.1 参： C 略

10. 长方体一个定点上的三条棱长分别是，，，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表

面积是（ ）．

A．

B．

C．

D．

参：

B

由于长方体的体对角线是长方体外接球的直径， ∴

．

∴球的表面积

．故选

．

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 已知，则不等式的解集是

参：

12. 二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2

，三维测度（体积）V=πr3

；四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3

，则猜想其四维测度W= ．

参：

2πr4

【考点】类比推理．

【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到W′=V，从而求出所求．

【解答】解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2

，观察发现S′=l

三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S ∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3

，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr3

； ∴W=2πr4； 故答案为：2πr4

13. 命题“若

，则

或

”的逆否命题是_______.

参：

若

且

，则

.

【分析】

根据逆否命题的改写原则得出原命题的逆否命题。 【详解】由题意知，命题“若

，则

或

”的逆否命题是“若

且

，则

”，故答案为：若

且

，则

.

14. 如图1为某质点在3秒钟内作直线运动时，速度函数的图象，则该质点运动的总

路程 厘米．

参： 10 略

15. 孙悟空、猪八戒、沙和尚三人中有一个人在唐僧不在时偷吃了干粮，后来唐僧问谁偷吃了干粮，孙悟空说是猪八戒，猪八戒说不是他，沙和尚说也不是他。他们三人中只有一个说了真话，那么偷吃了干粮的是__________．

参：

沙和尚 【分析】

用假设法逐一假设偷吃干粮的人,再判断得到答案.

【详解】(1) 假设偷吃干粮的是孙悟空,则猪八戒和沙和尚都是真话,排除 (2) 假设偷吃干粮的是猪八戒,则孙悟空和沙和尚都是真话,排除

(3) 假设偷吃干粮的是沙和尚,则只有猪八戒说的真话,满足 答案是沙和尚

【点睛】本题考查了逻辑推理的知识,意在考查学生的逻辑推理能力,属于基础题.

16. 已知y=ax （a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，记a的所有可能取值构成集合A；P

（x，y）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+1对称，记的所有可

能取值构成集合B．若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是 ．

参：

【考点】几何概型．

【分析】根据指数函数的性质以及直线和圆锥曲线的位置关系求出集合A，B，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论．

【解答】解：∵y=ax （a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，∴0＜a＜1， ∴A={a|0＜a＜1}．

P1（x1，y1）关于直线y=x+1的对称点为P（y1﹣1，x1+1），

P是椭圆+=l上一动点，

∴﹣4≤y1﹣1≤4，

即﹣1≤≤1，

设b=，则﹣1≤b≤1，

∴B={b|﹣1≤b≤1}．

∴随机的从集合A，B中分别抽取一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2等价为，

则对应的图象如图： 则λ1＞λ2的概率是， 故答案为：

17. 设A，B是集合

的两个不同子集，若使得A不是B的子集，B也不是A的子集，

则不同的有序集合对(A，B)的组数为_________.

参：

570

分析：分类依次讨论有序集合对（A，B）的组数，根据子集元素个数分类讨论，最后根据加法原理求组数.

详解：不同的有序集合对（A，B）的组数为

点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：

(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”； （5） “在”与“不在”问题——“分类法”.

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. 下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 月份x 1 2 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5 由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a，

求a的值．

参：

5.25

【考点】线性回归方程．

【分析】首先求出x，y的平均数，根据所给的线性回归方程知道b的值，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程即可． 【解答】解： =（1+2+3+4）=2.5， =（4.5+4+3+2.5）=3.5， 将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是=﹣0.7x+a，可得3.5=﹣1.75+a， 故a=5.25．

19. [选修4-5：不等式选讲] 已知函数

的定义域为[－1,1].

（1）若

，解不等式；

（2）若

，求证：.

参：

解：（1），即，则，

∴

，

∴不等式化为，

①当时，不等式化为

，

∴；

②当时，不等式化为，

∴.

综上，原不等式的解集为.

（2）证明：由已知

，∴

.

又，则.

20. 已知向量=（1，0，1），=（0，1，1），向量﹣k与垂直，k为实数． （I）求实数k的值；

（II）记=k，求向量﹣与﹣的夹角．

参：

【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角． 【分析】（Ⅰ）根据

的坐标即可得出

，而由（

）

即可得到

，进而可求出k=2；

（Ⅱ）先得到

，进而得出

，可设向量

与

的夹角为θ，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出

，从而得出θ的值．

【解答】解：（Ⅰ）∵

；

∴；

∵与垂直；

∴

；

∴k=2；

（Ⅱ）由（Ⅰ），

；

∴

，

；

记向量

与

的夹角为θ，则：

；

∵0≤θ≤π；

∴．

21. 一本新出版的数学活动课教材在某书店销售，按事先拟定的价格进行5天试销，每种进价试销1天，得到如下数据：

单价x（元） 18 19 20 21 22 销量y（册） 61 56 50 48 45 （Ⅰ）若y与x线性相关，且回归直线方程为y=mx+132，求实数m的值；

（Ⅱ）预计以后的销售中，销量与单价服从（Ⅰ）中的回归直线方程，若每本数学活动课教材的成本是14元，为了获得最大利润，该教材的单价应为多少元？

参：

【考点】线性回归方程．

【分析】（Ⅰ）若y与x线性相关，求出样本中心点，利用回归直线方程为y=mx+132，求实数m的值；

（Ⅱ）确定函数解析式，利用配方法可得结论． 【解答】解：（Ⅰ） 因为=20， =52…

点（20，52）满足回归直线方程为y=mx+132，所以52=20m+132，∴m=﹣4 … （Ⅱ）设获得的利润为z，则z=（x﹣14）y=﹣4x2+188x﹣1848…

因为二次函数z=﹣4x2+188x﹣1848的开口向下，所以当x=23.5时，z取最大值． 即当单价应定为23.5元时，可获得最大利润．…

22. 求函数的最小正周期。

参：

解析：函数

要有意义且

的定义域要满足两个条件；

，且

时，

当原函数式变为

此时定义域为

显然作了这样的变换之后，定义域扩大了，两式并不等价 所以周期未必相同，那么怎么求其周期呢？首先作出

的图象：

而原函数的图象与

的图象大致相同

只是在上图中去掉所对应的点

从去掉的几个零值点看，原函数的周期应为

说明：此题极易由的周期是而得出原函数的周期也是，这是错误的，原因正如上所述。那么是不是说非等价变换周期就不同呢？也不一定，如1993年高考题：函数

的最小正周期是（ ）。A.

B.

C. D.

。此题就可以由

的周期为而得原函数的周期也是。但这个解法并不严密，最好是先求定义域，再画出图象，通过空点来观察，从而求得周期。