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一、数和数的运算

㈠数的意义

⒈整数

⑴我们在数物体的时候，用来表示物体个数的数，像1、2、3„„叫做自然数。 一个自然数有两方面的意义：1.表示事物的多少，称为基数；2.表示事物的次序，称为序数。

⑵自然数分为：1）奇数、偶数。 2）质数、合数、1

⑶一个物体也没有，用0表示。0是最小的自然数。自然数都是整数。 ⒉分数 ⑴意义

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。在分数里表示把单位“1”平均分成多少份的数叫做分数的分母，表示取了多少份的数叫做分数的分子，表示其中一份的数叫做这个分数的分数单位。

两个整数相除，它们的商可以用分数、比表示。即：a÷b=a/b=a∶b（b≠0）

⑵真分数、假分数、带分数：

①分子比分母小的分数叫做真分数。（真分数小于1）

②分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。（假分数大于或者等于1）

③一个自然数和②一个真分数合成的数，叫做带分数。（带分数大于1）

④把整数（0除外）化成假分数的方法：用指定的分母（0除外）作分母，用分母和整数（0除外）的乘积作分子。

把假分数化成整数或带分数的方法：用分母去除分子。能整除的，所得的商就是整数；不能整除的，商就是带分数的整数部分，余数就是分数部分的分子，分母不变。 把带分数化成假分数，用整数部分乘分母再加上分子所得的数作分子，分母不变。 ⑶约分和通分：

①约分：把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。 约分的方法：一般用分子和分母的公约数（1除外）去除分数的分子和分母；通常要除到得出最简分数为止。约分时，如果能很快看出分子和分母的最大公约数，直接用它们的最大公约数去除比较简便。

②通分：把异分母分别分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 通分的方法：先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各数分别化成用这个最小公倍数作分母的分数。

最简分数：分子、分母是互质的分数，叫做最简分数。 ⒊小数 ⑴小数的意义：

把整数“1”平均分成10份、100份、1000份„这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几„可以用小数表示。

一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几„„ 一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。

在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。 ⑵小数的分类：

①a有限小数（如：0.3、6.029等） b无限小数

b1无限循环小数：1）纯循环小数（如：0.333„） 2）混循环小数（如：3.14242„等） b2无限不循环小数（如π的值）

②循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这个数叫做循环小数。循环节从第一位开始的叫纯循环小数，循环节不从第一位开始的叫混循环小数。

纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。 带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。

有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。

无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。

无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。

循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。

一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。

纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。 混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。 写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。

循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断地重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。

⑶整数和小数数位顺序表：

计数单位：整数和小数都是按照十进制计数法写出的数，其中个、十、百、千„„以及十分之一、百分之一„„都是计数单位。 数位顺序表：

整数部分：数位：„„千亿位、百亿位、十亿位、亿位（亿级）；千万位、百万位、十万位、万位（万级）；千位、百位、十位、个位（个级）

相对应的计数单位：„„千亿、百亿、十亿、亿（亿级）；千万、百万、十万、万（万级）；千、百、十、个（个级）

小数部分：十分位、百分位、千分位、万分位„„

相对应的计数单位：十分之一、百分之一、千分之一、万分之一„„ 数位：各个计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置，叫做数位。 位数：一个自然数含有单位的个数叫做位数。 ⒋百分数：

表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫百分率或百分比。百分数通常用“%”来表示。 ⒌基数、序数：

用来表示物体个数的数称为基数。 用来表示物体排列顺序的数称为序数。 ⒍正数和负数：

像1，+2，3，„„这样的数叫做正数。 像-1，-3，-2，„„这样的数叫做负数。

㈡数的读法与写法

⒈整数的读、写法：

读法：从高位到低位，一级一级地往下读。读亿级、万级数时，按个级的读法去读，只要在后面加上一个“亿”或“万”字就可以了。每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续有几个0都只读一个零。

写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在哪个数位上写0。

⒉小数的读、写法：

读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法来读（整数部分是0的读作“零”），小数点读作“点”，小数部分从左到右顺次读出每个数位上的数字。

写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写（整数部分是零的写作“0”），小数点写在个位的右下角，小数部分顺次写出每个数位上的数字。 ⒊分数的读、写法：

读法：读分数的时候，要先读分母，再读“分之”，最后读分子。读作几（分母）分之几（分子）。如“3/4”读作四分之三。 写法：如“八分之五”写作5/8。 ⒋百分数的读、写法：

百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。如“85%”读作百分之八十五。

百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。如“百分之二十”写作20%。 ⒌正负数的读写方法：

①写正数时，加“+”号或省略“+”号两种形式都可以，但是读正数时，加“+”号的，一定要读出“正”字；省略“+”号的，这个“正” 字也要省略不读。②写负数时，一定要写出“－”号，读负数时，也一定要读出 “负” 字。 0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界点。

㈢数的改写

把一个较大的多位数，改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时，还可以根据需要，省略这个数某一位后面的尾数，写成近似数。 ⒈求近似数的方法：

⑴准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。

⑵近似数：在实际生活中，对于一些数，根据需要，可以省略某一位后面的尾数，用一个近似值来表示它。

⑶四舍五入法：把保留指定的数位，取它的近似值；在舍去部分中头一个数字是4或者比4小，就把这一部分舍去；如果舍去的部分中头一个数字是5或者比5大，就把这一部分去掉，同时向前一位进“1”。

⑷进一法：在取近似值时，根据实际情况把一个数某位后面的数字（不管这个数字比5大还是比5小）舍去，并把保留部分最后一位数字加上1，这种取近似值的方法叫做进一法。

⑸去尾法：在取近似值时，根据实际情况把一个数某位后面的数字（不管这个数字比4小还是比4大）舍去，这种取近似值的方法叫做进一法。 ⒉假分数与带分数或整数之间的改写：

假分数-带分数：分子除以分母所得的商作带分数的整数部分，余数作带分数的分子，分母不变。能整除的商作整数。

带分数-假分数：整数部分乘分母的积加上分子作假分数的分子，分母不变。 ⒊分数、小数与百分数之间的互化：

一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。

⑴小数——分数：先改写成分母是10、100、1000„的分数，再约分。 ⑵分数——小数：用分子去除以分母。

⑶小数——百分数：小数点向右移动两位，再填上%。 ⑷百分数——小数：去掉%，小数点向左移动两位。

⑸分数——百分数：先写成小数或整数（除不尽时，通常保留三位小数），再写成百分数。

⑹百分数——分数：写成分数形式并约分。

㈣数的大小的比较

⒈整数的大小比较：

比较两个整数的大小，如果位数不同，那么位数多的数就大；如果位数相同，左起第一位上的数大的那个数就大；如果左起第一位上的数相同，就比较左起第二位上的数„„直到比较出数的大小。 ⒉小数的大小比较：

比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大„„如果两个数所有的数位上的数字都相同，那么，这两个数就相等。 ⒊分数的大小比较：

⑴分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的分数，分母小的分数大； ⑵分子和分母都不同的分数，先通分，再按照分母相同的分数比较大小，或者可以把分子变成相同的分子，再按照分子相同的分数比较大小。化成同分母分数，再进行比较。

⑶带分数大小的比较：整数部分大的分数值大；整数部分相同的，要看带分数的真分数部分，真分数部分大的带分数值较大。

⑷负数大小的比较：可以先比较与其对应的两个正数的大小，对应的正数大的那个负数反而小。

所有的负数都在0的左边，即负数＜0；所有的正数都在0的右边，即正数＞0.因此，负数＜正数。

㈤数的整除

⒈整除的意义：

整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，也可以数b能整除a。 ⒉约数和倍数：

如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。（约数和倍数是两个自然数在具有整除关系的情况下相互依存的两个数，不能孤立地说）

一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 ⒊能被2、3、5整除的数的特征：

⑴能被2整除的数：个位上是0、2、4、6、8的数能被2整除；

（偶数：能被2整除的数叫偶数。 奇数：不能被2整除的数叫奇数。）

⑵能被3整除的数：一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除； ⑶能被5整除的数：个位上是0或5的数都能被5整除。 ⒋质数、合数、分解质因数：

⑴质数：一个数如果只有1和它本身两个约数，这个数叫做质数。

（100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97）

⑵合数：一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。

⑶分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 分解质因数的方法：把一个合数分解质因数，先用一个能除这个合数的质数（通常从最小的开始）去除；得到的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得到的商如果是合数，就照上面的方法继续除下去，直到得到的商是质数为止，然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。

⒌最大公约数和最小公倍数：

⑴几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

求两个数的最大公约数的方法：一般先用这两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来（乘半边），这个积就是这几个数的最大公因数。

最大公约数的几种情况：①如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。②如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。 ⑵几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

求两个数的最小公倍数的方法：一般先用这两个数公有的质因数连续去除（一般从最小的开始），一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和商连乘起来，这个积就是这几个数的最小公倍数。

最小公倍数的几种情况： ①如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。②如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。

⑶公约数只有1的两个数，叫做互质数。

成互质关系的两个数，有下列几种情况：①1和任何自然数互质。 ②相邻的两个自然数互质。③两个不同的质数互质。④当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。⑤ 两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。

㈥性质和规律

⒈分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。（运用分数的基本性质可以进行约分和通分）

⒉小数的基本性质：小数的末尾添上“0”或取掉“0”，小数的大小不变。 ⒊小数点的位置移动引起小数大小变化：

小数点向右移动一位、两位、三位„„，原来的数就相应扩大10倍、100倍、1000倍„„。

小数点向左移动一位、两位、三位„„，原来的数就相应缩小10倍、100倍、1000倍„„。（小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0”补足位。）

⒋商不变的性质：被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变。 （运用商不变的性质可以把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法进行计算） ⒌分数与除法的关系： 被除数÷除数= 被除数/除数

因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。 被除数 相当于分子，除数相当于分母。 ⒍分数乘除法的规律：

在分数乘法中：一个因数大于1，则积大于另一个因数；一个因数小于1，则积小于另一个因数；一个因数是1，则积等于另一个因数。

在分数除法中：如果除数大于1，则商小于被除数；如果除数小于1，则商大于被除数；如果除数是1，则被除数等于商。

㈦四则运算的意义和法则

⒈四则运算的意义：

⑴整数加法的意义：把两个数合并成一个数的运算。

在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。 （小数、分数加法的意义与整数加法的意义相同）

⑵整数减法的意义：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。 在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。

（小数、分数减法的意义与整数减法的意义相同） ⑶整数乘法的意义：求几个相同加数的和的简便计算。

在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。 ①小数乘法的意义：

（小数乘整数与整数乘法的意义相同）

一个数乘小数，就是求这个数的十分之几、百分之几„„是多少。 ②分数乘法的意义：

（分数乘整数与整数乘法的意义相同）

一个数乘分数，就是求这个数的几分之几是多少。

⑷整数除法的意义：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。

在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。

乘法和除法互为逆运算。

（小数、分数除法的意义与整数除法的意义相同） ⒉四则运算的法则： ⑴整数：

①整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。

②整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。

③整数乘法的计算法则：从第二个因数末尾起，先用第二个因数个位上的数去乘第一个因数，得数的末位和第二个因数的个位对齐；再用第二个因数十位上的数去乘第一个因数，得数的末位和第二个因数的十位对齐；然后把两次乘得的积加起来。 ④整数除法的计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。 ⑵分数：

①同分母分数加减法计算方法:同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。 ②异分母分数加减法计算方法:先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。

③带分数加减法的计算方法:整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。

④分数乘法的计算法则：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的要约分。

⑤分数除法的计算法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。 ⑶小数：

①小数加、减法时，把小数点对齐。

②小数乘法的计算法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看两个因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。如果小数的位数不够，要在前面用“0”补足。

③小数除法的计算法则：除数是整数时，按照整数除法的计算法则计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐。除数是小数时，先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够时，末尾用“0”补足），然后按照除数是整数的小数除法法则进行计算。

⒊四则运算的关系式：

和=加数+加数 一个加数=和-另一个加数 差=被减数-减数 减数=被减数-差 差=被减数+减数 积=因数×因数

一个因数=积÷另一个因数商=被除数÷除数 除数=被除数÷商 被除数=商×除数

⒋四则运算顺序：

⑴小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。 ⑵分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。

⑶没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算 先算乘、除法，后算加减法。

⑷有括号的混合运算:先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

⑸第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。

⑹第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。加减法叫第一级运算，乘除法叫第二级运算。

⒌四则运算中的一些特殊情况： a+0=a a－0=a a×0=0 0÷a= 0 a÷a=1 a×1=a a÷1=a a÷a=1 1÷a=1/a

㈧运算定律与简便算法

⒈运算定律：

⑴加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变。 a+b=b+a

⑵加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。 （ a+b）+c=a+（b+c） ⑶乘法交换律：两个因数相乘，交换因数的位置，积不变。 a×b=b×a

⑷乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数乘加，它们的积不变。 （ a×b）×c=a×（b×c） ⑸乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。 （ a+b）×c=a×c+b×c ⒉积商的变化规律： ⑴积的变化规律：

如果一个 因数扩大（或缩小）几倍，另一个因数不变，它们的积也扩大（或缩小）相同的倍数。

如果一个 因数扩大（或缩小）几倍，另一个因数反而缩小（或扩大）相同的倍数，它们的积不变。 ⑵商的变化规律：

如果被除数扩大（或缩小）几倍，除数不变，它们的商也扩大（或缩小）相同的倍数。

如果除数扩大（或缩小）几倍，被除数不变，它们的商反而缩小（或扩大）相同的倍数。

⒊减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。

㈠用字母表示数

⒈ 用字母表示数的意义和作用：

用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。

⒉用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式 ⑴常见的数量关系

路程用s表示，速度v用表示，时间用t表示，三者之间的关系：s=vt v=s/t t=s/v

总价用a表示，单价用b表示，数量用c表示，三者之间的关系: a=bc b=a/c c=a/b ⑵运算定律和性质 （见一㈧）

⑶用字母表示几何形体的公式 （见五㈨㈩[十一]） ⒊用字母表示数的写法

数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。

当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。

在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示。 用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。

⒋将数值代入式子求值

把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。

同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同。

㈡简易方程

⒈等式与方程：

⑴表示相等关系的式子，叫做等式。 ⑵含有未知数的等式，叫做方程。

⑶等式与方程的区别：方程一定是等式，但等式不一定是方程，只有当等式中含有未知数时，才是方程。

⑷方程和算术式的不同：算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时 ，方程才成立 。 ⒉方程的解和解方程：

⑴使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 ⑵求方程的解的过程，叫做解方程。

㈢比和比例

⒈比的意义和性质：

⑴比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。“：”是比号，读作“比”，比号前面的数叫做“比的前项”，比号后面的数叫做“比的后项”。比的前项除以后项所得的商叫做“比值”。

⑵比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。

⑶同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。 比的后项不能是零。 根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。 ⒉求比值和化简比：

⑴求比值：用前项除以后项。结果是一个整数、小数或分数。

⑵化简比：把比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外）。结果是一个比，比的前项和后项都是整数。

⑶最简比：前项和后项是互质数的比叫做最简比。

⑷“化简比”与“求比值”的区别：两者意义不同。“化简比”的最后结果必须是最简整数比；而“求比值”的最后结果是一个数，不表示两者的关系，可以是整数、小数或分数。

⒊比例尺：

⑴图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 图上距离=比例尺×实际距离 实际距离=图上距离/比例尺 比例尺=图上距离/实际距离

⑵线段比例尺：是用一条注有数目的线段来表示和地面上相对应的实际距离。 ⑶数值比例尺：用数字表示的比例尺。例：1：1000000。

⑷注意：①求比例尺时，要将图上距离与实际距离化成相同的单位，才能进行计算。 ②为了计算简便，通常把比例尺写成前项是1的比。

③比例尺不是度量工具，而是一个比值（或比），它表示图上距离与实际距离之间的倍数关系，因此比例尺不带任何计量单位。

⒋按比例分配：

在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。

方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。 ⒌比例的意义和性质：

⑴比例的意义：表示两个比相同的式子叫做比例。（组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。） ⑵比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 （利用比的基本性质可以化简比、求最简整数比） ⒍解比例：

根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。 ⒎正比例和反比例：

①相关联的量：相关联的量是指相互有联系的量。一般情况下，一种量变化，另一种量也会随着变化。

②正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。 y/x=k（一定）

③反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系。 xy=k（一定） ④正比例与反比例的相同点与不同点：

相同点：它们都有相关联的两种量，由这两种相关联的量产生第三种不变的量。 不同点：正比例是两种量中相对应的两个数的比值一定，变化方向相同，字母式为： y/x=k（一定）；反比例是两种量中相对应的两个数的乘积一定，变化方向相反，字母式为： xy=k（一定）。

三、应用题

㈠解题步骤

⒈用算术法解应用题的一般步骤

⑴理解题意，弄清应用题里的已知条件和所求的问题；

⑵分析数量关系，明确已知数量和已知数量、已知数量和未知数量之间的关系，找出解题的途径，确定先算什么，再算什么；

⑶列式计算，即根据分析，作出解题计划，确定每一步应该怎样算，列出算式，并计算出来；

⑷验算作答，就是检验列式过程是否合理，结果是否正确，与原题的条件是否相符合，最后写出答案。

⒉列方程解应用题的一般步骤 ⑴分析题意，明确题中的数量关系；

⑵用字母（x或y）表示题中所要求的未知数； ⑶建立等量关系，并根据等量关系列出方程； ⑷解方程，求出未知数的值； ⑸检验并写出答案。

⒊用比例知识解应用题的一般步骤

⑴明确题中的已知量和待求量，找到两种相关联的量和不变的量； ⑵分析两种相关联的量所对应的两个数的比值或乘积是否一定； ⑶设未知量为x，列出比例，解比例； ⑷检验并写出答案。

㈡简单应用题

⒈结构

⑴只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应用题。

⑵解题步骤： a 审题理解题意； b选择算法和列式计算； c检验； d答案。

⒉数量关系： ①基本数量关系：

部分数+部分数=总数 总数-一个部分数=另一个部分数 ②相差关系：

大数-小数=相差数 小数+差=大数 大数-差=小数 ③份、总关系：

每份数×份数=总数 总数÷份数=每份数 总数÷每份数=份数

㈢复合应用题：

⒈结构：

有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题。

⒉类型： ⑴加法应用题：

a求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。 b求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少。

⑵减法应用题：

a求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。

b求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数比甲数少多少。

c求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，，乙数比甲数少多少，求乙数是多少。

⑶乘法应用题：

a求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数。 b求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求另一个数是多少。

⑷除法应用题：

a把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份的，求每一份是多少。

b求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少，求可以分成几份。

c 求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍。

d已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。 ⒊常见的数量关系：

总价=单价×数量 数量=总价÷单价 单价=总价÷数量 路程＝速度×时间 速度＝路程÷时间 时间＝路程÷速度

总产量＝单产量×数量 单产量＝总产量÷数量 数量＝总产量÷单产量 工作总量＝工效×时间 工效＝工作总量÷时间 时间＝工作总量÷工效

㈣典型应用题：

⒈结构：

具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。 ⒉类型：

⑴求平均数应用题的特点：是把各“部分量”合并成“总量”，然后按“总份数”平均，求其中一份是多少。

解题规律：根据问题中的语句确定“总数量”和总数量相对应的“总份数”。然后用总数量÷总份数=平均数。

⑵归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。

根据求单一量的步骤的多少，归一问题可以分为：

a一次归一问题：用一步运算就能求出“单一量”的归一问题，又叫单归一。 b两次归一问题：用两步运算才能求出“单一量”的归一问题，又叫双归一或二次归一。

根据求出“单一量”之后，解题时采用乘法还是除法。归一问题分为： a正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。

b反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。

解题关键：从已知的一组对应量中，用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。

单一量×份数=总数量（正归一） 总数量÷单一量=份数（反归一） ⑶归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。

特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。

⑷和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。

⑸和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。

⑹差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。

⑺行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。

路程＝速度×时间 速度＝路程÷时间 时间＝路程÷速度 甲速度+乙速度=速度和 速度和-甲速度=乙速度

路程÷速度和=相遇时间速度和×相遇时间=路程 路程÷相遇时间=速度和

⑻流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。

⑼还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。

⑽植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。

⑾盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。 他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。

⑿年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”。

⒀鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题

⒁工程问题：

基本结构：工程问题是分数应用题中具有一定的解题规律的典型应用题。这类题一般不直接给出具体的数量，工作总量看作单位“1”。

解题思路：

①工程问题的解题思路，同整数应用题中已知工作总量和工作效率，求工作时间的应用题思路基本相同。

②解答工程问题的关键是：把工作总量看作单位“1”，几天完成，就是把工作总量平均分成了几份，工作效率就是工作时间的倒数，它表示单位时间内能完成工作总量的几分之几。

解答规律：

工作总量=工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间

工作时间=工作总量÷工作效率 工作总量÷工作效率和=合作时间

㈤分数、百分数应用题

⒈分数应用题：

⑴分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、数量关系和解题方法基本相同，所不同的只是在已知数或未知数中含有分数。

⑵分数乘法应用题：

求一个数的几分之几是多少（一个数×分率=这个分率相对应的量） ⑶ 分数除法应用题：

求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）（一个数÷另一个数=分率） 已知一个数的几分之几是多少，求这个数（已知数量÷分率=单位“1”所对应的量）

⒉百分数应用题

⑴求一个数是另一个数的百分之几（一个数÷另一个数=分率） 求一个数的百分之几是多少（一个数×分率=这个分率相对应的量）

已知一个数的百分之几是多少，求这个数（已知数量÷分率=单位“1”所对应的量）

⑵发芽率=发芽种子数/实验种子数×100% 小麦的出粉率=面粉的重量/小麦的重量×100% 产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100% 职工出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100% 烘干率=烘干后的质量/烘干前的质量×100%

含水率=烘干前的质量-烘干后的质量/烘干前的质量×100%=100%-烘干率 税率=应纳税额/总收入×100%

农药的浓度=药液的质量/（药液的质量+水的质量）×100% ⒊纳税

纳税就是把根据国家各种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。缴纳的税款叫应纳税款。

应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额 „„）的比率叫做税率。

存入银行的钱叫做本金。 取款时银行多支付的钱叫做利息。 利息与本金的比值叫做利率。

利息=本金×利率×时间

利息税=本金×利率×时间×（1-20%）=利息×80%

⒋按比例分配应用题

在日常生活中，常常把一个数量按一定的比例来进行分配的问题叫做按比例分配。

方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。

四、量的计量

量：事物中可以比较它们的多少、大小、长短、轻重、快慢等，这些可以比较的都是量。

计量：把一个暂时未知的量同一个约定的已知量作比较，这个比较过程叫做计量。 计量单位：在计量过程中约定的标准量叫做计量单位。

㈠长度单位

（微米um、毫米mm、厘米cm、分米dm、米m、千米km） 1千米（公里）=1000米 1米=10分米=100厘米=1000毫米 1分米=10厘米=100毫米 1厘米=10毫米

㈡面积单位

（平方米m、平方分米dm、平方千米km、公顷ha.） 1平方千米=100公顷=1000000平方米 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米=10000平方厘米 1平方分米=100平方厘米

㈢体积单位（容积单位）

2

2

2

（立方米m、立方分米dm、立方厘米cm、毫升ml、升l） 1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米 1立方分米（升）=1000立方厘米（毫升）

㈣质量单位

（克g、千克kg、吨t） 1吨=1000千克 1千克=1000克

㈤时间单位

1年=12个月 （平年365天，闰年366天）

大月（31天）：一、三、五、七、八、十、腊（十二） 小月（30天）：四、六、九、十一 二月：28天（平年）、29天（闰年） 1世纪=100年 1季度=3个月 1月=3旬 1时=60分=3600秒 1分=60秒

㈥货币单位

（元、角、分）

1元=10角=100分 1角=10分

㈦名数的意义

333

在计量长度、面积、体积、质量、时间等的时候，得到的数都带有单位名称，通常把量得的数和单位名称合起来叫做名数。只带一个单位名称的，叫做单名数；带有两个或两个以上单位名称的，叫做复名数。

㈧不同单位的改写方法

在同一种类连续量的计量单位中，较大的单位叫做高级单位，较小的单位叫做低级单位。

进率：同一种类连续量的计量单位中，相邻的两个计量单位之间的倍数关系叫做进率。

高级单位——低级单位（化法）：进率×高级单位的数 低级单位——高级单位（聚法）：低级单位的数÷进率

五、几何初步知识

㈠线

⒈直线：

把线段的两端无限延长就得到一条直线。直线没有端点，不可以度量。过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。 ⒉线段：

直线上两点间的一段叫做线段。线段是直线的一部分，有两个端点，可以用直尺度量线段的长度。 两点的连线中，线段为最短。 ⒊射线：

把线段的一端无限延长，就得到一条射线。射线只有一个端点，它是无法度量的。

⒋平行线：

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 两条平行线之间的垂线长度都相等。

⒌垂线：

两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。

从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。

㈡角

⒈角的定义：

从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这一点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。（角的大小与两条射线叉开的大小有关）。 ⒉角的分类：

锐角：小于90°的角叫做锐角。

直角：等于90°的角叫做直角。直角的两条边互相垂直。 钝角：大于90°而小于等于180°的角叫做钝角。

平角：角的两条边成一条直线时所形成的角叫做平角。平角等于180°。 周角：一条射线绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角。周角是180°。 1周角=2平角=4直角 1平角=2直角

㈢平面图形

⒈三角形

⑴三角形的意义：由三条线段围成的图形叫做三角形。围成三角形的每条线段叫做三角形的边，每两条线段的交点叫做三角形的顶点。从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。这条边叫做三角形的底。

⑵三角形的特性：三角形具有稳定性。 ⑷三角形的分类：

①按角分：锐角三角形（三个角都是锐角）；直角三角形（有一个角是直角）；钝角三角形（有一个角是钝角）

②按边分：等腰三角形（有两条边相等，两个底角相等）；等边三角形（三条边都相等，3个角都是60°）；任意三角形（三条边都不相等）

等腰直角三角形：有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形。 三角形的内角和是180°。 ⒉平行四边形

四边形：由四条线段围成的图形叫做四边形。 ⑴长方形：四个角都是直角的平行四边形叫做长方形。 特征：对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。 ⑵正方形：四条边相等的长方形叫做正方形。

特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。 ⑶平行四边形的意义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，这个点的对边叫做平行四边形的底。、

特征：平行四边形的两组对边分别平行并且相等。平行四边形易改变形状，不稳定。

⑷平行四边形与长方形和正方形之间的关系： 长方形和正方形都是特殊的平行四边形。 ⒊梯形 ⑴梯形的意义：

只有一组对边平行的四边形叫做梯形。互相平行的一组对边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做下底，把较长的底叫做上底）；不平行的一组对边叫做梯形的腰。从上底的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。中位线等于上下底和的一半。

⑵梯形的分类：

①等腰梯形 ②直角梯形 ③任意梯形 ⑶等腰梯形的特征：

等腰梯形的两腰相等，两底角和两顶角分别相等，等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴。

⒋圆

⑴圆是平面上的一种曲线图形。圆中心的这一点叫做圆心（用○表示）。连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径（用r表示）。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径（用d表示）。

在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。

圆的大小由半径决定。 圆有无数条对称轴。

圆的大小取决与半径（或直径）的长短；圆的位置取决与圆心的位置。 ⑵圆的画法 ：

把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）； 把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。

⑶圆的周长：

围成圆的曲线的长叫做圆的周长。

圆的周长和直径的比值叫做圆周率（用π表示）。 ⑷圆的面积：

圆所占平面的大小叫做圆的面积

弧：圆上A、B两点之间的部分叫做“弧”，读做“弧AB”。 ⒌扇形：

⑴一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 扇形是圆的一部分。

⑵圆上AB两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。

⑶顶点在圆心的角叫做圆心角。（在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关）

⑹环形

特征：由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。 ⑺轴对称图形

如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形就能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。

正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴,等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴。菱形有4条对称轴，扇形有一条对称轴。

㈣平面图形的周长和面积

⒈面积：

物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。

S（长方形）=ab S（正方形）=a S（三角形）=ah÷2

S（梯形）=(a+b)h÷2 S（圆）=πr S（扇形）=nπr/360 S（环形）=π(R-r)=π(R+r)(R-r)

占地面积=边长×边长=长×宽铺地面积=砖的面积×砖的块数 ⒉周长：

围成一个图形的所有边长的总和叫做这个图形的周长。

2

2

2

2

2

C（长方形）=2(a+b) C（正方形）=4a C（圆）=2πr=πd C（半圆）=πr+2r

⒊棱长：

l（长方体）=4（abh） l（正方体）=12a

⒋面积的推导方法：

三角形：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，三角形的面积等于平行四边形面积的一半。

梯形：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底是梯形上下底的和，平行四边形的高是梯形的高，梯形的面积等于平行四边形面积的一半。

圆：把圆平均分成16等份，剪开后可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于圆的周长的一半，平行四边形的高是圆的半径。

㈤立体图形

⒈长方体：

⑴长方体有6个面（有时有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。 有8个顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。 把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。

⑵一个立体图形所有面的面积总和，叫做它的表面积。 长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。

S（长方体）=2（ab+ah+bh)

⑶物体所占空间的大小叫做物体的体积。 V（长方体）=abh ⑷容器所能容纳物体的体积，叫做容器的容积。

⒉正方体：

⑴长宽高都相等的长方体叫做正方体（也叫立方体）它的六个面都是正方形，且面积相等。12条棱的长度都相等。有8个顶点。

⑵S（正方体）=6a

⑶V（正方体）=a ⒊圆柱： ⑴圆柱的认识：

圆柱的上下两个面叫做底面，它们是完全相等的两个圆。圆柱两个底面之间的距离叫做高。

⑵圆柱的侧面积：

圆柱的侧面是一个曲面，把它展开是一个长方形（或正方形），长方形的长就是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高。圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘高，计算公式为：S侧=2πrh=ch。

⑶圆柱的表面积：

圆柱的表面积是圆柱的侧面积加上两个底面积的和。

3

2

⑷圆柱体积的意义及计算公式：

一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积。 圆柱体积的计算公式是：V=πrh=sh。 ⑸圆柱容积的意义及计算公式：

圆柱形容器所能容纳物体的体积叫做圆柱体的容积。

圆柱容积的计算方法和圆柱体积的计算方法相同，也是圆柱的底面积乘上高，但应从容器的里面量得有关部位的尺寸。

⒋圆锥： ⑴圆锥的认识：

圆锥只有一个底面，是一个圆，圆锥的侧面是一个曲面，是一个扇形。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。

⑵圆锥体积的计算公式：

圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一，即V=1/3sh 。 ⒌球： ⑴球的意义：

球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。 球和圆类似，也有一个中心，叫做球心，用○表示。 从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用r表示。

2

通过球心并且两端都在球面上的线段，叫做球的直径，用d表示。 ⑵球的特点：

球的每条半径都相等，每条直径都相等。 球的直径的长度是半径的两倍，即d=2r。 球的半径和直径都有无数条。

六、简单的统计

㈠统计表

⒈统计表的意义：

把生活、生产和科研中统计的数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况，说明某个问题。这种表格就叫做统计表。

⒉组成部分：

一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称，单位说明和制表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。

⒊ 统计表的种类：

⑴单式统计表：只统计一个项目的统计表叫做单式统计表。 ⑵复式统计表：统计两个或两个以上项目的统计表叫做复式统计表。 ⑶百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。

⒋怎样制作统计表：

①根据制表要求，先将原始数据加以分类整理，确定表的名称及制表日期（标在表的右上角）；

②按照统计要求分清类别，确定项目，设计表头，确定纵、横栏数； ③画表，写上项目和各栏名称；

④填写数据，并将计算出的总计、合计、平均数或百分数填入表格； ⑤核对统计材料和表中数据，检查后写上制表人姓名。

㈡统计图

⒈统计图的意义：

用点、线、面积等来表示相关的量之间数量关系的图形叫做统计图，统计图比统计表形象具体，能直观反映出事物在数量方面的发展变化和总体与部分之间的关系。

⒉统计图的种类：

统计图的种类很多，常用的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图。 a、单式统计图：只含有一个统计项目的统计图。

b、复式统计图：含有两个或两个以上统计项目的统计图。 ⑴条形统计图：

①条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按照一定的顺序排列起来。

②特点：用直条的长短表示数量的多少。容易看出各种数量的多少，便于相互比较。

③注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同；取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定；复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。

③制作条形统计图的一般步骤:

a根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。

b在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。

c在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。

d按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。 ⑵折线统计图：

①折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。

②特点：用折线起伏表示数量的增减变化。不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。

③注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。

④制作折线统计图的一般步骤:

a根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。

b在水平射线上，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔。

c在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。

d按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。 ⑶扇形统计图：

①扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示出各部分数量占总数的百分数。

②特点：用整个圆面积表示总数，用圆内的扇形面积表示各部分占总数的百分数。可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系。

③制扇形统计图的一般步骤：

a先算出各部分数量占总量的百分之几。 b再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。

c取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里画出各个扇形。

d在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。

㈢其他知识

⒈众数。

在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。众数能够反映一组数据的集中情况。

⒉平均数、中位数和众数的区别。

平均数能够最为充分地反映一组数据所包含的信息，它与这组数据中的每一个数据都有关系，在进行统计推断时有重要的作用，但容易受到极端数据的影响。

中位数在一组数据的数值排序中处于中间的位置，不受偏大或偏小数据的影响，能够反映一组数据的中等水平。

众数着眼于对一组数据中各数据出现的次数的考察，它的大小只与一组数据中的部分数据有关，可以用来表示一组数据多数的水平。

⒊位置

竖排的叫做列，横排的叫做行，确定第几列一般从左数，确定第几行一般从下数。

确定位置的方法：先横着数，看在第几列，这个数就是数据的第一个数；再竖着数，看在第几行，这个数就是数据的第二个数。

⒋税收

⑴纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。（税收是国家收入的主要来源之一）

⑵税收的税款分为：消费税、增值税、营业税、个人所得税等。

缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额与各种收入（消费税、营业税„„）的比率叫做税率。

⑶在银行存款的方式：活期、整存整取、零存整取等。

⑷存入银行的钱叫做本金；取款时银行多支付的钱叫做利息；利息与本金的比值叫做利率。（国家规定，存款的利息要按5%的税率纳税）

七、综合

⒈ ⒉

⒊总量÷（进水速度-排水速度）=注满水的时间

⒋在圆里半径（或直径）扩大的倍数与周长扩大的倍数相同，面积扩大的倍数是半径（或直径）的平方倍。

⒌如果长方形、正方形、圆的周长相等，则圆的面积最大。 ⒍去掉“%”此数扩大100倍；加上“%”此数缩小100倍。

⒎一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。

⒏最小的偶数是0，最小的奇数是1，最小的质数是2，最小的合数是4。一个合数至少有3个约数。

⒐1既不是约数，也不是质数。

⒑最小的能被2、3、5整除的偶数是30。

⒒互质的特例：任何两个偶数一定不互质，质数与质数一定互质；任何两个相邻的自然数（0除外）一定互质。

⒓分数与百分数的区别：分数是一种数，后面可以带单位；百分数表示两个数的比，后面不能带单位。

⒔注水时间=水的总量÷（进水速度-排水速度） 顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速

⒕车的速度=车轮周长×车的速度。 一、数和数的运算 ⒈数的意义 ⑴整数 ⑵分数 ⑶小数 ⑷百分数 ⑸基数、序数 ⑹正数和负数 ⒉数的读法与写法 ⑴整数的读、写法 ⑵小数的读、写法 ⑶分数的读、写法 ⑷百分数的读、写法 ⑸正数和负数的读写法 ⒊数的改写 ⑴求近似数的方法

⑵假分数与带分数或整数之间的改写 ⑶分数、小数与百分数之间的互化 ⒋数的大小的比较 ⑴整数的大小比较 ⑵小数的大小比较

⑶分数的大小比较 ⑷负数大小的比较 ⒌数的整除 ⑴整除的意义 ⑵约数和倍数

⑶能被2、3、5整除的数的特征 ⑷质数、合数、分解质因数 ⑸最大公约数和最小公倍数 ⒍性质和规律 ⑴分数的基本性质 ⑵小数的基本性质

⑶小数点位置移动引起的变化 ⑷商不变的性质 ⑸分数与除法的关系 ⑹分数乘除法的规律 ⒎四则运算的意义和法则 ⑴四则运算的意义 ⑵四则运算的法则 ⑶四则运算的关系式 ⑷四则运算顺序

⑸四则运算中的一些特殊情况 ⒏运算定律与简便算法

⑴运算定律 ⑵积商的变化规律 二、代数初步知识 ⒈用字母表示数

⑴用字母表示数的意义和作用 ⑵用字母表示常见的量 ⑶用字母表示数的写法 ⑷将数值代入式子求值 ⒉简易方程 ⑴等式与方程 ⑵方程的解和解方程 ⒊比和比例 ⑴比的意义和性质 ⑵求比值和化简比 ⑶比例尺 ⑷按比例分配 ⑸比例的意义和性质 ⑹解比例

⑺正比例和反比例 三、应用题 ⒈解题步骤

⑴用算术法解应用题的一般步骤

⑵列方程解应用题的一般步骤 ⑶用比例知识解应用题的一般步骤 ⒉简单应用题 ⑴结构 ⑵数量关系 ⒊复合应用题 ⑴结构 ⑵类型 ⑶数量关系 ⒋典型应用题 ⑴结构 ⑵类型

⒌分数、百分数应用题 ⑴分数应用题 ⑵百分数应用题 ⑶纳税 ⑷按比例分配 四、量的计量 ⒈长度单位 ⒉面积单位

⒊体积单位（容积单位） ⒋质量单位

⒌时间单位 ⒍货币单位 ⒎名数的意义

⒏不同单位的改写方法 五、几何初步知识 ⒈线 ⑴直线 ⑵线段 ⑶射线 ⑷平行线 ⑸垂线 ⒉角 ⑴角的定义 ⑵角的分类 ⒊平面图形 ⑴三角形 ⑵平行四边形 ⑶梯形 ⑷圆 ⑸扇形 ⑹环形 ⑺轴对称图形

⒋平面图形的周长和面积 ⑴面积 ⑵周长 ⑶棱长

⑷面积的推导方法 ⒌立体图形 ⑴长方体 ⑵正方体 ⑶圆柱体 ⑷圆锥体 ⑸球

六、简单的统计 ⒈统计表 ⑴统计表的意义 ⑵组成部分 ⑶统计表的种类 ⑷怎样制作统计表 ⒉统计图 ⑴统计图的意义 ⑵统计图的种类 ⒊概念 ⑴众数

⑵平均数、中位数和众数的区别 ⑶位置 ⑷税收