计算机光盘软件与应用 ２０１１年第ｌ２期 Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ＣＤ Ｓｏｆｔｗａｒｅ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ 计算机教学与教育信息化 离散数学课程教改的研究与实践 赵雅靓，张延锋，姜保庆 （河南大学计算机与信息工程学院，河南开封４７５００４） 摘要：离散数学是计算机科学与技术各专业的核心、骨干课程，搞好本课程的教学，对学生后续课程的学习和今后 的科研工作均具有十分重要的意义。本文结合教学中的一些认识，就如何改革传统教学模式，采用现代教学手段提高教学 质量作了较为深入的分析与探讨。 关键词：离散数学；教学改革；教学方法 中图分类号：Ｇ４３４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７－９５９９（２０１１）１２－０２１７－０２ Ｓｔｕｄｙ ａｎｄ Ｐｒａｃｔｉｃｅ ｏｎ Ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｃｏｕｒｓｅ Ｔｅａｃｈｉｎｇ Ｒｅｆｏｒｍ Ｚｈａｎｇ Ｙａｌｉａｎｇ，Ｚｈａｎｇ Ｙａｎｆｅｎｇ，Ｊｉａｎｇ Ｂａｏｑｉｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｈｅｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｋａｉｆｅｎｇ ４７５００４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｉｓ ｉｎ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｔ ｈｅ ｃｏｒｅ ｔｏｆ ｈｅ ｐｒｏｆｅｓｓｉｏｎａｌｔ ｃｏｕｒｓｅ，ｗｅｌｌ，ｈｉｓｔ ｃｏｕｒｓｅ ｏｆ ｔｅａｃｈｉｎｇ，ｏｎ ｈｅｔ ｓｕｂｓｅｑｕｅｎｔ ｃｏｕｒｓｅ ｏｆ ｓｔｕ＠ｆｏｒ ｓｔｕｄｅｎｔｓ ａｎｄ ｆｕｔｕｒｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｗｏｒｋ ｒｅａ ｏｆ ｇｒｅａｔ ｓｉｇｎｉｉｆｃａｎｃｅ．Ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｃｏｍｂｉｎｅｓ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｓｏｍｅ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｏｎ ｈｏｗ ｔｏ ｒｅｆｏｒｍ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｍｏｄｅ，ｈｅ ｕｓｅ ｏｆ ｔｍｏｄｅｍ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｑｕａｌｉｔｙ ｏｆｔｅａｃｈｉｎｇ ｆｏｒ ａ ｍｏｒｅ ｉｎ－ｄｅｐｔｈ ｎａｌａｙｓｉｓ ａｎｄ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ；Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ ｒｅｆｏｒｍ；Ｔｅａｃｈｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ 离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术 神和学习能力、实践能力为重点，这也是由计算机科学知识发展 的理论基础，它以研究离散量的结构及相互间的关系为主要目标， 更新快、学科交叉程度高、应用面广的特点所决定的…。这就要 其研究对象一般是有限个元素或可数个元素，因此它充分描述了 求教师积极引导学生注重基础理论的学习，在上第一堂课时，就 要强调学习离散数学的重要性，告诉学生什么是离散数学，实际 计算机科学离散性的特点。 离散数学是计算机科学与技术各专业的核心、骨干课程，它 上它就是将计算机科学中所用到的数学知识抽象出来形成的一门 不仅为后续课，如数据结构、编译原理、操作系统、数据库原理 和人工智能等，提供必要的数学基础；也是组合数学、遗传算法、 数据挖掘等计算机硕士研究生阶段相关课程的重要基础。无论从 计算机学科发展的过去、现在和未来看， 《离散数学》都是计算 机科学与技术专业不可缺少的重要组成部分。这门课程有着其它 理论。要给学生强调它的每一章内容与相关的哪一门后继课程有 联系，如谓词逻辑在人工智能知识表示中的应用，关系数据库中 要用ＳＵ－元关系的相关理论，代数系统中的域在网络安全密钥加 密中的应用，以及在数据挖掘中用到的格的知识，还有图论的相 关理论在数据结构和计算机网络中的应用等。还可以举一些实际 课程不可替代的地位和作用，是一门承前启后的课程，既是基础， 的例子，比如学生熟悉的图灵机就用到离散数学中的知识。这样 又有发展。而且通过学习离散数学，可以培养和提高学生的抽象 可以使学生对离散数学首先有一个感性认识，引起他们思想上的 思维与逻辑推理能力，为学生今后继续学习和科研工作，打下必 重视，让他们认识到学好这门课是非常有用的。此外，在后续的 备的数学基础。但是，在长期教学实践中，学生普遍认为该课程 教学过程中，应穿插介绍一些在计算机科学中的应用的知识点， 是一门很难学的课程。主要的困难是概念多、理论性强、高度抽 将之与离散数学理论结合介绍给学生，使学生在后续的学习中逐 象、不易理解，学生更看不到本课程的应用前景，没有学习兴趣。 渐体会到这一课程的重要性，产生学习兴趣，主动地进行学习。 因此，本文结合笔者近年来从事离散数学课程教学的实践，从如 二、教学内容的整合与优化 目前，教学内容改革常见的形式为对课程教学内容删减、压 何提高离散数学课程的教学水平，激发学生对本课程的学习兴趣， 调动学生学习本课程的积极性出发，就教学观念、教学内容、教 学方法、教学手段等方面的改革进行了一些探讨。 一缩或整合，但要对传统的比较完善的离散数学教学内容进行合理 的改革“手术”，使之具有较强的可操作性，从而，达到理想的效 果有一定的困难。因此，保持离散数学的基本内容和特色，在概 转变教学观念，树立理论应用意识 在以往的教学中，离散数学总是按纯数学的形式来讲授，把 念描述、定理形式以及相互关系上进行提炼、凝结，既可以给常 个个概念、定理和证明很生硬的讲给学生，学生听起来觉得枯 规教学结构的改革提供一个可行的时间空间，又可以使学生以精 燥无味，更看不到它在计算机科学中的具体应用，总有学生问学 炼而有用的工具去进行创造性学习活动 。 、一习离散数学有什么用处。因此，有些学生不重视本课程的学习， 传统的离散数学包括四个知识模块：数理逻辑、集合论、代 只注重实际编程能力的训练，认为只要有较强的编程能力，以后 数系统和图论。有个别书加上一章或每一章加上一节离散数学在 就可以找到好的工作。这主要是教师没有起到很好的引导作用， 计算机科学中的应用，也有个别书加上一些组合数学和形式语言 不能与计算机学科很好地结合起来，使学生对离散数学这门课没 与自动机的内容，但核心内容还是四大块。这四大块实际上可以 有一个真正的认识，不能充分调动学生学习积极性。因此，首要 分别对应一门的课程，但如果分开来讲，容易造成教学内容 任务是要求教师改变教学观念。 在教学中，要注重应用型人才的培养，注重理论和实际相结 繁多与教学课时数偏少相矛盾的问题，使教学过程具有很大的难 度，同时为兼顾计算机科学和计算机应用所涉及的两个方面的离 合，遵循“以教师为主导、以学生为主体”的原则，以提高学生 散结构数学模型，对传统教学内容进行筛选、组合是必要的。可 素质为根本宗旨，把握学科教育本质和目的，以培养学生创新精 适当增加组合论和计算理论的基础知识，适度部分传统内容 计算机光盘软件与应用 计算机教学与教育信息化 Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ＣＤ Ｓｏｆｔｗａｒｅ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ２０１１年第１２期 的深度，精简数理逻辑和集合论的部分内容，较大幅度地改革教 为了更好地检验学生的学习效果，课程组通过长期对考试方 学内容。同时对教学内容编排进行优化，把教学过程设计为精讲、 式的探索和研究，采用理论知识考核、实践项目考核和创新能力 略讲、讨论和自学四个层次。 考核相结合的方式，不断地引导学生改进学习方法。为避免学生 此外，在讲每一部分时，可以先介绍相关的背景和历史发展， 考前临时突击，放松平时的学习的情形出现，我们采用闭卷考试、 讲一些轻松的故事，提高学生的学习兴趣，比如著名的苏哥拉底 平时成绩和实验成绩相结合的方式进行考核，卷面成绩占总成绩 三段论、哥尼斯堡七桥问题、周游世界问题、一笔画问题等等， ７０％，平时作业成绩占１０％，实践和学生创新能力考核占２０％。上 但对于这些问题的介绍不能停留在故事的趣味性上，应当从故事 述考核评价方式使学生成绩考核遍布整个教学过程，促使学生重 入手，提出有思考性的问题，再促进和启发学生思维的积极性， 视每一个教学环节，使学生的学习过程变成循序渐进的过程避免 这样就能达到较好的效果 。另外，在每一章后面还应增加一些 了学生突击应付考试的现象，同时提高了学生平时学习的自觉性 编程的练习，比如上机实现通过求真值表判断公式的类型，利用 和主动性。并且在学完每一部分后还增加了课堂小竞赛，采用分 矩阵判断关系的对称性、根据输入的代数系统运算表，求出幺元 组抢答的形式，既能使学生对所学知识及时复习，又培养了团队 和零元，指出是否满足交换律等等，不仅能使学生提高动手能力， 合作精神，学生兴趣很高。 还能使学生对相关的知识有更好的理解。 三、教学方法与教学手段的改革 本课程教学致力于培养理论基础扎实、学习研究兴趣浓厚、具 备计算机知识背景和研究能力的创新型人才。为此，在教学方法与 教学手段上非常重视以多样化的教学方式提升学生的学习研究兴 趣、鼓励学生开放式、自主学习，注重经典理论与计算机科学中具 体应用的有机融合，真正使教师的引导、传授与学生的自主学习和 研究紧密结合，使受教育者的知识学习与能力提高互动发展。 在课程设计上，结合课程特点突出离散数学的理论应用特色， 将抽象的理论与相应层面上具体的、感性的问题结合起来，既可 加深学生对理论的认识，又通过对具体问题的处理，培养学生应 用理论分析解决具体问题的能力，有益于学生创造思维能力的训 练和培养 。 在具体操作上，主要从以下几方面着手实施： （一）基础理论与学科应用相结合 在离散数学课程的教学过程中，应该在讲解分析理论基础上 结合学科应用，这无论从学科的本质特点，还是利于学生的学习 掌握考虑，是均必须注意到的一点 。为此，我们结合当今计算 机技术的最新发展动态，适当增加离散数学在计算机科学中的应 用的内容，如谓词逻辑在人工智能知识表示中的应用，代数系统 中的域在网络安全密钥加密中的应用等。并且在课堂上还引入了 近年来在国内刚刚兴起的，备受大学生关注和欢迎的大学生程序 设计大赛以及数学建模竞赛中的经典题目分析与实际案例，使得 算法理论的证明和演算能和大学生程序设计大赛、数学建模竞赛 相结合，使学生能较好地理解和掌握各种离散结构和离散数学模 型，更好地解决实际问题。 （二）采用多媒体教学和网络辅助教学系统 我们自主开发的高水平多媒体课件和电子教案为课堂教学起 到了很好的辅助作用。根据课程特点，采用行之有效的多媒体教 学，通过文字、图像、动画、视频，激发学生的学习兴趣，不仅 增加课堂信息量，还提高学生的形象思维及创新思维能力。当然， 对于推理证明以及演算的部分，还是应该用板书的形式，只有将 传统与现代手段有机的结合，才能更好地为教学服务。此外，已 经建立的以教师为主导、学生为主体的自主学习的交互式网络教 学环境，通过网络提供的大量资源，如教学大纲、电子教案、习 题库、试卷库、实践指导、多媒体课件、教学录像、参考文献目 录等，有效地拓展了理论课的教学空间，使离散数学教学内容更 丰富，教学方式更灵活，教学手段更先进，更有利于调动学生学 习兴趣及学生个性化发展。另外，网站设有师生论坛，可以促进 学生通过网络环节交流学习心得，上传资料共享，并与老师进行 网上讨论。提高了学生学习的主动性及学习的实效性。 （三）改革考试方式，增强学生学习的自觉性和主动性 （四）增加实践环节 １９９７年之前，我们开设了离散数学实验课，设计了数理逻辑 推演系统，辅助数理逻辑部分的学习。简单结合离散数学与其他 计算机学科，通过学生的课程实践，能够培养学生对离散数学课 程的兴趣和动手能力，经过一段时间的观察，我们发现这类传统 实验并没有很好地锻炼学生的抽象思维能力，而主要是锻炼了学 生的动手编程能力，为此我们对离散数学的实验内容不断建设、 完善和更新，精心设计实践环节，将创新性综合实验、研究性大 作业纳入该课程考核之中，这是离散数学教学中的创新性工作， 是将枯燥的数学学习转化为兴趣学习的创造性工作。 近年来，我们注重培养学生的实际动手能力，在课堂上引入 ＡＣＭ、ＩＴＡＴ和大学生数学建模等样例，比如最短路径算法：ｄｉｊｓｔｒａ 实现及应用习题，ｆｌｏｙｄ实现及应用，最小生成树算法：ｐｒｉｍ实 现及应用习题，ｋｒｕｓｃａｌ实现及应用习题（朴素实现及堆优化） 等。根据学生自己的兴趣、爱好，知识结构的等自由结合为３人 为一个小组，根据具体问题，利用相关理论知识建立数学模型， 构思可求解问题的算法流程，再将算法编写成相应的可执行的程 序，再编写一定的测试用例中来精确地评价程序的可运行性。教 师主要引导学生发现问题，注重综合知识的灵活运用和边界条件 的发掘，以及实践项目过程中引导学生能够对自己建立的模型质 疑、解答和优化问题。通过这些实践项目的开设，让学生了解了 离散数学在实际生活中的具体应用和重要性，充分体会到离散数 学这门课程的无限魅力和应用价值，帮助学生提高了学习兴趣和 研究兴趣。 （五）开设离散数学系列专题讲座 根据离散数学课程内容及在今后学科中的应用，可以邀请专 家开设离散数学后续课程的应用领域系列讲座——计算模型与形 式语言自动机理论、知识发现与数据挖掘的发展动向、神经网络 应用领域等。通过这些课程讲座，使学生充分领略离散数学在后 续课程和科学研究中的重要作用。 四、结束语 离散数学是计算机科学的一门重要的基础课程，要想教好这 门课，就要及时转变教学观念，不断丰富教学内容，运用新的教 学方法，并借助于现代化教学手段，不断提高自身的教学水平， 充分调动学生的学习积极性，从而达到良好的教学效果。 参考文献： 『１１９，！青杉，孟国艳．关于离散数学教学改革的思考ＬＩ］．忻州师范 学院学报，２００５，２１：５ 【２】李锐．”离散数学”教学中学生创造思维能力的培养Ⅱ】．韩山 师范学院学报，２００９，６（３０）：３ 【３】廖辉传．浅谈”离散数学”教学方法与实践Ⅱ】．华东交通大学 学报，２００６，Ｓｌ 一２１８—
