因式分解讲义

因式分解

一、提公因式法

如多项式ambmcmm(abc)，其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．

找公因式的三步：

1．公因式的系数——找各因式系数的最大公约数． 2．公因式的字母——各因式中相同的字母． 3．相同字母指数——取各字母指数的最低次幂． 二、公式法

1．平方差公式：

a2b2abab．即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积．

补充: a2-(b+c)2= (a+b+c)(a-b-c) 2．完全平方公式：

a22abb2ab其中，a22abb2叫做完全平方式．即两个数的平方和加上(或减去)这两个

2数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．

补充: a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2 三、十字相乘法

在二次三项式ax2bxc(a0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即aa1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即cc1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2a2c1，若它正好等于二次三项式ax2bxc

a1a2c1c2a1c2 + a2c1的一次项系数b，即a1c2a2c1b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1xc1与a2xc2之积，即ax2bxc(a1xc1)(a2xc2)． 四．分组分解法

分组分解方法比较灵活，其关键在于分组要适当，它的分组原则是：①分组后能直接提取公因式；②分组后能直接运用公式。 五．换元法

将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，从而简化运算过程，

2242xyy2y3y3y1，最x2x3分解后要注意将字母还原．例如，，设，则原式

1

后再换回来就是

y22y3x23x21．

六．拆、添项（选讲）

将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用分组分解法进行分解因式．例如：

x44x44x244x2x222xx222xx222x．

22

一．考点：因式分解；

二．重难点：十字相乘法；分组分解法；换元法；拆、添项． 三．易错点：

（1）正确的十字相乘必须满足以下条件：

a1c1ac2a1c2a2c1b，在上式中，竖向的两个数必须满足关系a1a2a，c1c22c；斜向的两个数必须满足关系分解思路为“看两端，凑中间．”

（2）因式分解要彻底，直到每一项不能再分解。

题型一：提取公因式

例1、 49a3bc314a2b2c221ab2c2在分解因式时，应提取的公因式是（ ） A． 7abc2

B． 7ab2c2

2

2

C． 7a2b2c2 D． 7a3bc3

例2、 若实数a、b满足a+b=5，ab+ab=-10，则ab的值是（ ） A． -2

变式1、分解因式：

3232（1）x4xy （2）4q(1p)2(p1)

B． 2 C． -50 D． 50

（3）

2

(5)(2x＋y)(2x－y)＋(2x＋y)

x2yxy2 （4）x2xy2

2

题型二：公式法

例1、若多项式x+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（ ） A． 4

变式1、分解因式：

（1）36b4x89c6y10 （2）(x2y)2(x2y)2

（3）81x8y8 （4）3a2b2a3b

（5）16x-1 （6）x+4x-9y+4

（7）x-4xy+4y+6xz-12yz+9z

题型三：十字相乘

例1、把下列多项式因式分解

（1）x212x32 （2）x210x9 （3）5x26x8 （4）6x25x25

变式1、

（1）5x23x2 （2）x23x10 （3）2x27xy3y2 （4）6x27xy5y2

题型四：分组分解法

3 2

2

2

4

2

2

2

B． -4 C． ±2 D． ±4

22

典型例题1、把下列多项式因式分解

（1）4x22x3x4 （2）4a22ab6a3b （3）a2b24a4b

122（4）94a24abb2 （5）16m29a230ab25b2 （6）m9nmn

4

变式1、把下列多项式因式分解

（1）a24b24a8b4ab （2）xyxzy22yzz2 （3）

题型三 换元法

典型例题1、分解因式：

(3p)25(p3)14（1） （2） x24x3x24x1256

题型四 拆项填项法

典型例题、分解因式：

x447x21x32x265x4x41

4

1、分解因式:

1m1aam1 16a4(mn)b4(mn) （1）（2）（3）a5bab 

2、下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ） A． x21

3、把下列多项式因式分解

（1）x25x6 （2）x25x6

（3）x2x2 （4）x24x12

4.因式分解

B． x22x1

C． x2x1

D． x24x4

1m29n2mn4

5．分解因式：

(1)18a3bc－45a2b2c2＋36a2b2； (2)－12x3＋12x2y－3xy2；

(3)14x(x－y)－21y(y－x)； (4)(x＋y)2＋mx＋my；

5

6．利用因式分解计算：

(1)2.39×91+156×2.39－2.39×47； (2)39×37－13×81．

7．如图，有足够多的边长为a的大正方形、长为a宽为b的长方形以及边长为b的小正方形．

(1)取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为(a＋b)(a＋2b)，画出图形，并根据图形回答(a＋b)(a＋2b)＝_______；

(2)取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为a2＋5ab＋4b2． ①需要A类卡片_______．张、B类卡片_______张、C类卡片_______张； ②可将多项式a2＋5ab＋4b2分解因式为______________．

22

1. 多项式4x﹣4与多项式x﹣2x+1的公因式是（ ） A． x﹣1

B． x+1

C． x﹣1

2

D． （x﹣1）

2

2. 如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式_________．

3. 分解因式：

2225a2y416b16

（1）4a9b （2）

6

4．分解因式：

(1)9x2－(2x－y)2； (2)(2x＋y)2－(x－2y)2；

(3) 9(a＋b)2－16(a－b)2； (4) 9(3a＋2b)2－25(a－2b)2． 5．分解因式：

(1)x4－16；

6．利用因式分解计算：

(1)492－512；

(2)(a＋b)4－(a－b)4．

(2)

2011．

2012220102

7、在计算（x＋y）（x－2y）－my（nx－y）（m、n均为常数）的值时，把x、y的值代入计算，粗心的小晨和小红把y的值看错了，但结果都等于9．细心的小敏把正确的x、y的值代入计算，结果恰好也是9．为了探个究竟，她又把y的值随机地换成了2006，结果竟然还是9．根据以上情况，请你求出m、n和x的值.

8观察：133523

244624

填空：3557___________ 4668___________ ...

用含有n的代数式表示你的猜想：___________________________ 请说明猜想的正确性：

7 22

作业1、如图，从边长为（a＋4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为a1cm的正方形(a0)，

剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ） A．(2a5a)cm；B．(3a15)cm；C．(6a9)cm ；D．(6a15)cm

作业2、下列运算正确的是 （ ） A. (mn)m2mn2n

22 C.aba2abb

222222222

B. (a1)a2a1 D.200520032004212

224

作业3、下列各式能用平方差公式计算的是 （ ）

2A. (x5)(x5) B. (a2b)(2ab) C. (1m)(1m) D. (x1)

作业4、分解因式

（1）ma24ma4m （2）a2a2a3 （3）a24b24abc2

作业5、把下列多项式因式分解

（1）2x25x2 （2）2x25x3

（2）2x23x20 （4）2x25x7

作业6、说明131m2nm32n(2n4)(42n)的值与n无关. 44

8

作业7、分解因式： (1)4x2－12xy＋9yx；

(3)a2b4－8ab2c＋16c2；

(5)(x－3)2＋8(x－3)＋16；

(4)(a－b)2＋4(a－b)＋4；

(3)

12

x＋5x＋25； 4(6)－x2－4y2＋4xy．

1211a＋2a－1，a2＋4a＋1，a2－2a．请选择两个你喜欢的多项式进222行相加，并把所得的结果因式分解．

作业8、．给出三个多项式：

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