概率论与数理统计试卷及参考答案

概率论与数理统计 试卷及其答案

ex2、设X服从参数为的指数分布，其概率密度函数为f(x)0求的极大似然估计。 解：由题知似然函数为：

x0x0，

一、填空题（每空4分，共20分）

ax21、设随机变量的密度函数为(x)x(0,1)L()e，则常数a=

i1inxienxii1in(xi0)

0其它3 。 2、设总体XN(,2)，其中与2

均未知，X1,X2,,Xn是来自总体X的

1in一个样本，2的矩估计为 (X2niX) 。 i13、已知随机变量X的概率分布为PXkk15,k1,2,3,4,5,则

P1X15E(X)___ 0.4___。

4、设随机变量X~U(0,4)，则P(3X4) 0.25 。 5、某厂产品中一等品的合格率为90%，二等品合格率80%，现将二者以1：2的比例混合，则混合后产品的合格率为 5/6 。 二、计算题（第1、2、3题每题8分，第4题16分，第5题16分，共

56分）

1、一批灯泡共20只，其中5只是次品，其余为正品。做不放回抽取，每次取一只，求第三次才取到次品的概率。

解：设Ai表示第i次取到次品，i=1,2,3，B表示第三次才取到次品， 则

P(B)P(A1A2A3)P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)1514535

201918228

对数似然函数为：

inlnL()nlnxii1

由

dlnL()nidnxi0，得： i1

*n1inxx ii1因为lnL()的二阶导数总是负值，故*1X 3、设随机变量X与Y相互独立,概率密度分别为:

fex,x0X(x)0,x0,f1,0y1Y(y), 0,其他求随机变量ZXY的概率密度

解：

fZzfXxfYzxdx

z0exdy,0z11ez,0z1z1zexdy,z1 e1zez,z1

0,z00,z0

4、 设随机变量X的密度函数为

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f(x)x,0x1,2x,1x2,0,其它.

求E(X),D(X)。

解：

E(X)122xf(x)dx0xdx1x(2x)dx1

3(483)(113)1E(X2)x2f(x)dx120x3dx1x2(2x)dx1

4(163164)(2314)76D(X)E(X2)[E(X)]276116

5、设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为

fx，y21x2yx2y140其它

（1）求E(XY)，

（2）求出X的边缘概率密度。 解：（1）

E(XY)xyf(x,y)dxdy10yyxy214x2ydxdy21410yyx3y2dxdy0（2）X的边缘概率密度为

ff(x,y)dy4ydy,1x1x,1x1X(x)12122120x0,else8

0,else

三、综合题（每题8分，共24分）

1、某城市在长度为t（单位：小时）的时间间隔发生火灾的次数X服从参数为

0.5t的泊松分布，且与时间间隔的起点无关，求该城市某天中午12时到下午16时至少发生两次火灾的概率。 解：由题知：0.5t2

P(X2)1P(X0)P(X1)

=1200!e2211!e213e2

2、某公司有400名员工参加一种资格证书考试。按往年经验该考试通过的概率

为0.8。 试计算这400名员工至少有304人考试通过的概率。 （注：(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.9987） 解：设

X1，第i人通过考试，i，第i人未通过考试，i=1,2，，400.由题知：

0PXi10.8,np4000.8320,np(1p)64。由中心极限定理得：

i400i400Xi320PXPi13043202i3041i16464(2)(2)0.9772

即这400名员工至少有304人考试通过的概率为0.9772。

3、某装置的平均工作温度据制造厂讲是 190。C ，今从一个由16 台 装置构成

的随机样本得出的工作温度平均值和标准差分别为 194。C 和 8。C 。 这些数据是否提供了充分证据，说明平均工作温度比制造厂讲的要高？取  = 0.05 ，可以假定工作温度服从正态分布 。 （注：t15 (0.05 )= 1.753，t15 (0.025 )=2.132）

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解: 这 问 题 即 是 在  = 0.05 下 ， 检 验 H0：  = 0 =190； H1：  > 0 =190 ( 2未知)

tx01941902s8n16

由 于 t = 2 > 1.753= t15 (0.05 )

故 拒 绝 H0， 即 认 为 该 装 置 的 平 均 工 作 温 度 高 于 190。 C。

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