二项式定理教案

一、基本知识点

0n1n11rnrrnnaCnabCnabCnb(nN)1、二项式定理：(ab)nCn

二项式定理内包含的数学思想：乘法公式思想与排列组合中的组合思想。 2、几个基本概念

（1）二项展开式：右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式 （2）项数：二项展开式有n1项 如何理解这n+1项：

同样是从组合思想理解：首项：n个a相乘，即n个a组合在一起，记作an 中间项：an-1b an-2b2

.。。。。。。

abn-1

末项：n个b相乘，即n个b组合在一起，记作bn

所以共有：n-1+2（首末）=n+1项

r(r0,1,2,,n)叫做二项展开式中第r1项的二项式系数 （3）二项式系数：Cnrnrrab(r0,1,,n) （4）通项：展开式的第r1项，即Tr1Cn3、展开式的特点

2n（1）系数 都是组合数,依次为C1n,Cn,Cn,…,Cn

n(2)指数的特点①a的指数 由n 0( 降幂)。 ②b的指数由0 n（升幂）。 ③a和b的指数和为n。

(3)展开式是一个恒等式，a，b可取任意的复数，n为任意的自然数。 4、二项式系数的性质： （1）对称性:

在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即 （2）增减性与最值

二项式系数先增后减且在中间取得最大值

CnmCnnm当n是偶数时，中间一项取得最大值C

当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值Cn12nnn2n=Cn12n

012knCnCnCnCnCn2（3）二项式系数的和：

213n-1C0n+Cn+L=Cn+Cn+L=2奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即

二项式定理的常见题型

一、求二项展开式

1．“(ab)n”型的展开式 例1．求(3x

2． “(ab)n”型的展开式 例2．求(3x

3．二项式展开式的“逆用”

例3．计算13Cn9Cn27Cn....(1)n3ncn；

二、通项公式的应用 1．确定二项式中的有关元素

ax99)的展开式中x3的系数为，常数a的值为 例4．已知(x24123n15)的展开式；a x15)的展开式； x

2．确定二项展开式的常数项

例5．(x3

112)展开式中的常数项是 x3．求单一二项式指定幂的系数 例6． (x2

三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数

例7．(x1)(x1)2(x1)3(x1)4(x1)5的展开式中，x2的系数等于

（x21)(x2)7的展开式中，x5项的系数是 例8．

19)展开式中x9的系数是 2x

四、利用二项式定理的性质解题 1． 求中间项 例9．求（x3 。

2． 求有理项 例10．求(x3

3． 求系数最大或最小项

1x)10的展开式中有理项共有 项； 112)的展开式的中间项； x（1） 特殊的系数最大或最小问题

例11．在二项式(x1)的展开式中，系数最小的项的系数是 ； （2） 一般的系数最大或最小问题 例12．求(x

（3）系数绝对值最大的项

例13．在（xy)7的展开式中，系数绝对值最大项是 ________ ；

五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和 例14．若用赋值法计算二项式系数和的题目 已知(1-7x)7=a0+a1x+a2x2+……+a7x7 求：a0+a1x+a2x2+……+a7x7

例15．已知(1-7x)7=a0+a1x+a2x2+……+a7x7 求：a1+a3+a5+a7

9124x)8展开式中系数最大的项；

例16．已知(1-7x)7=a0+a1x+a2x2+……+a7x7 求：|a0|+|a1|+……+|a7|

课堂习题

1．已知（1+ax）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则a= （A）-4

（B）-3

（C）-2

（D）-1

2．若(23x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则：a0a1a2a3a4a5等于（ ）

A．55 B．-l C．25 D．25

3．若(x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2的值为 A．16 B．16 C．31 D．31 14．x的展开式中的第3项为常数项，则正整数n___________．

x5. (x2)8的展开式中含x7项的系数为 （用数字作答）

n1x

6．xyxy的展开式中x2y7的系数为________.（用数字填写答案） 7．(x-2)6的展开式中x3的系数为 .（用数字作答）

8．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋a3＋…＋a8＝________.

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