上海市各区2018届中考数学二模试卷精选汇编几何证明专题20190128192

几何证明专题

宝山区、嘉定区

23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）

如图6，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足MAN90，联结MN、AC，MN与边AD交于点E. （1）求证；AMAN；

（2）如果CAD2NAD，求证：AM2ACAE. C

23.证明：（1）∵四边形ABCD是正方形

∴ABAD，BADBADCBCD90……1分 ∴MABMAD90 ∵MAN90

∴NADMAD90 ∴MABNAD………1分 ∵ADNADC180 ∴ADN90……1分 ∴BADN……………………1分 ∴△ABM≌△ADN ………………………1分 ∴AMAN ……………………………1分

（2）∵四边形ABCD是正方形 ∴AC平分BCD和BAD ∴BCAD E N

M B A 图6

11BCD45 ，BACCADBAD45……1分 22C D E ∵CAD2NAD ∴NAD22.5

∵MABNAD ∴MAB22.5………1分 ∴MAC22.5 ∴MACNAE22.5 ∵AMAN,MAN90 ∴ANE45

∴ACMANE…………………1分 ∴△ACM∽△ANE…………1分

2

N

M B A 图6

1

∴

AMAC……1分 AEAN∵AMAN

∴AMACAE…………1分

长宁区

23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）

如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E在BC的延长线，联结AE分别交BD、CD于点

2G、F，且ADGF． BEAG（1）求证：AB//CD；

（2）若BC2GDBD，BG=GE，求证：四边形ABCD是菱形．

23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）

BAGFDCE第23题图

证明：（1）∵AD//BC ∴ADDG （2分）

BEBG∵

ADGF ∴DGGF （1分） BEAGBGAG∴ AB//CD （2分） （2）∵AD//BC，AB//CD

∴四边形ABCD是平行四边形 ∴BC=AD （1分）

∵ BC2GDBD∴ AD2GDBD即

ADGD BDAD 又 ∵ADGBDA ∴ADG∽BDA （1分） ∴DAGABD

∵AB//CD ∴ABDBDC ∵AD//BC ∴DAGE

∵BG=GE ∴DBCE ∴BDCDBC （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴平行四边形ABCD是菱形. （1分）

2

1

崇明区

23．（本题满分12分，第(1)、(2)小题满分各6分）

如图，AM是△ABC的中线，点D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交

E BC于点K，CE∥AM，联结AE．

A （1）求证：

ABCM； EKCK（2）求证：BDAE．

23．（本题满分12分，每小题6分） （1）证明：∵DE∥AB

∴ ∠ABC∠EKC ……………………………………………………1分

∵CE∥AM

∴ ∠AMB∠ECK ……………………………………………………1分

∴△ABM∽△EKC ……………………………………………………1分 ∴

B

K M

（第23题图）

D

C

ABBM ………………………………………………………1分 EKCK ∵ AM是△ABC的中线

∴BMCM ………………………………………………………1分

∴

ABCM ………………………………………………………1分 EKCK（2）证明：∵CE∥AM

DECM ………………………………………………………2分 EKCKABCM 又∵ EKCK ∴

∴DEAB ………………………………………………………2分 又∵DE∥AB

2

1

∴四边形ABDE是平行四边形 …………………………………………1分 ∴BDAE ………………………………………………………1分

奉贤区

23．（本题满分12分，每小题满分各6分）

已知：如图7，梯形ABCD，DC∥AB，对角线AC平分∠BCD， 点E在边CB的延长线上，EA⊥AC，垂足为点A． （1）求证：B是EC的中点；

（2）分别延长CD、EA相交于点F，若AC2DCEC，

图7

D C A B

求证：AD:AFAC:FC． E

黄浦区

23．（本题满分12分）

如图，点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点. （1）求证：BE=BF；

（2）当△BEF为等边三角形时，求证：∠D=2∠A.

23. 证：（1）∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=BC=AD=CD，∠A=∠C，——————————————————（2分）

2

1

又E、F是边的中点，

∴AE=CF，——————————————————————————（1分）

∴△ABE≌△CBF———————————————————————（2分） ∴BE=BF. ——————————————————————————（1分）

（2）联结AC、BD，AC交BE、BD于点G、O. ——————————（1分） ∵△BEF是等边三角形, ∴EB=EF，

又∵E、F是两边中点， ∴AO=

1AC=EF=BE.——————————————————————（1分） 2又△ABD中，BE、AO均为中线，则G为△ABD的重心， ∴OG11AOBEGE, 33∴AG=BG，——————————————————————————（1分） 又∠AGE=∠BGO，

∴△AGE≌△BGO，———— ——————————————————（1分）

∴AE=BO，则AD=BD，

∴△ABD是等边三角形，—— —————————————————（1分） 所以∠BAD=60°，则∠ADC=120°，

即∠ADC=2∠BAD. ——— ——————————————————（1分）

金山区

23．（本题满分12分，每小题6分）

如图7，已知AD是△ABC的中线， M是AD的中点， 过A点作AE∥BC，CM的延 长线与AE相交于点E，与AB相交于点F． （1）求证：四边形AEBD是平行四边形； （2）如果AC=3AF，求证四边形AEBD是矩形．

2

E F A

M B D 图7

C

1

23．证明：（1）∵AE//BC，∴∠AEM=∠DCM，∠EAM=∠CDM，……………………（1分）

又∵AM=DM，∴△AME≌△DMC，∴AE＝CD，…………………………（1分） ∵BD=CD，∴AE=BD．……………………………………………………（1分） ∵AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形．……………………………（2分）

AFAE．…………………………………………………（1分） FBBCAFAE1，∴AB=3AF．……………………………（1分） ∵AE=BD=CD，∴ FBBC2（2）∵AE//BC，∴

∵AC=3AF，∴AB=AC，…………………………………………………………（1分） 又∵AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，即∠ADB=90°．……………………（1分） ∴四边形AEBD是矩形．……………………………………………………（1分）

静安区

23.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分） 已知：如图，在平行四边形ABCD中， AC、DB交于点E， 点F在BC的延长线上，联结EF、DF，且∠DEF=∠ADC．

A D EFAB （1）求证：； BFDB（2）如果BD2ADDF，求证：平行四边形ABCD是矩形．

B

23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 证明：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD//BC ，AB//DC

∴∠BAD+∠ADC=180°，……………………………………（1分）

2E 第23题图

C F A D 2

E B C

F 1

又∵∠BEF+∠DEF =180°, ∴∠BAD+∠ADC=∠BEF+∠DEF……（1分） ∵∠DEF=∠ADC∴∠BAD=∠BEF， …………………………（1分） ∵AB//DC， ∴∠EBF=∠ADB …………………………（1分） EFAB ………………………（2分） BFDBADBE(2) ∵△ADB∽△EBF,∴, ………………………（1分） BDBF1在平行四边形ABCD中，BE=ED=BD

212∴ADBFBDBEBD

2∴△ADB∽△EBF ∴

∴BD2ADBF, ………………………………………（1分） 又∵BD2ADDF

∴BFDF,△DBF是等腰三角形 …………………………（1分） ∵BEDE∴FE⊥BD, 即∠DEF =90° …………………………（1分） ∴∠ADC =∠DEF =90° …………………………（1分） ∴平行四边形ABCD是矩形 …………………………（1分） 闵行区

23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）

如图，已知在△ABC中，∠BAC=2∠C，∠BAC的平分线AE与∠ABC的平分线BD相交于点F，FG∥AC，联结DG．

（1）求证：BFBCABBD； （2）求证：四边形ADGF是菱形．

23．证明：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAF=2∠EAC．

∵∠BAC=2∠C，∴∠BAF=∠C=∠EAC．…………………………（1分） 又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．……………………………（1分） ∵∠ABF=∠C，∠ABD=∠DBC，

∴ABF∽CBD．…………………………………………………（1分） ∴

B F E

G

C

A D

22（第23题图）

ABBF．………………………………………………………（1分） BCBD2

1

∴BFBCABBD．………………………………………………（1分） （2）∵FG∥AC，∴∠C=∠FGB，∴∠FGB=∠FAB．………………（1分）

∵∠BAF=∠BGF，∠ABD=∠GBD，BF=BF，

∴ABF≌GBF．∴AF=FG，BA=BG．…………………………（1分） ∵BA=BG，∠ABD=∠GBD，BD=BD，

∴ABD≌GBD．∴∠BAD=∠BGD．……………………………（1分） ∵∠BAD=2∠C，∴∠BGD=2∠C，∴∠GDC=∠C，

∴∠GDC=∠EAC，∴AF∥DG．……………………………………（1分） 又∵FG∥AC，∴四边形ADGF是平行四边形．……………………（1分） ∴AF=FG．……………………………………………………………（1分） ∴四边形ADGF是菱形．……………………………………………（1分）

普陀区

23．（本题满分12分）

已知：如图9，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE与对角线AC交于点F，

FG∥AD，且FGEF.

（1）求证：四边形ABED是菱形； （2）联结AE，又知AC⊥ED，求证：

B

F E 图9

C G

A

D

1AE2EFED. 2

23．证明：

（1）∵ AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形． ······ （2分）

∵FG∥AD，∴同理

FGCF． ···················· （1分） ADCAEFCF ． ························ （1分） ABCA2

1

得

FGEF＝ ADAB∵FGEF，∴ADAB． ···················· （1分） ∴四边形ABED是菱形． ····················· （1分） （2）联结BD，与AE交于点H．

∵四边形ABED是菱形，∴EH1AE，BD⊥AE． ········ （2分） 2得DHE90 ．同理AFE90．

∴DHE＝AFE． ······················· （1分） 又∵AED是公共角，∴△DHE∽△AFE． ············ （1分）

EHDE． ························· （1分） EFAE1∴AE2EFED． ······················· （1分） 2∴青浦区

23.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）

如图7，在梯形ABCD 中，AD∥BC，对角线AC、BD 交于点M，点E在边 BC上，且

DAEDCB，联结AE，AE与BD交于点F． （1）求证：DM2MFMB； （2）联结DE，如果BF3FM，

求证：四边形ABED是平行四边形.

BAMDFEC图7

23．证明：（1）∵AD//BC，∴DAEAEB，··············· （1分）

∵DCBDAE，∴DCBAEB， ·········· （1分） ∴AE//DC， ························ （1分）

FMAM． ····················· （1分） MDMCAMDM∵AD//BC，∴， ················ （1分） MCMBFMDM∴， ····················· （1分） MDMB∴

即MDMFMB．

（2）设FM=a，则BF=3a，BM=4a． ············· （1分）

2

21

2由MDMFMB，得MDa4a，

2∴MD2a， ······················· （1分） ∴DFBF3a． ····················· （1分） ∵AD//BC，∴

AFDF1， ················ （1分） EFBF∴AFEF， ······················· （1分） ∴四边形ABED是平行四边形. ················· （1分）

松江区

23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）

如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE平分∠ABC，交CD于点E，

F是AB的中点，联结AE、EF，且AE⊥BE．

求证：（1）四边形BCEF是菱形；

（2）BEAE2ADBC.

D E

C

A

23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分） 证明：

(1) ∵BE平分∠ABC,

∴∠ABE=∠CBE…………………………………………………1分 ∵AE⊥BE ∴∠AEB=90° ∵F是AB的中点 ∴EFBF1AB………………………………………………1分 2F

(第23题图)

B ∴∠FEB =∠FBE…………………………………………………1分 ∴∠FEB =∠CBE…………………………………………………1分 ∴EF∥BC…………………………………………………1分 ∵AB∥CD

∴四边形BCEF是平行四边形…………………………1分

2

D E C

A B 1

∵EFBF

∴四边形BCEF是菱形……………………………………1分 (2) ∵四边形BCEF是菱形, ∴BC=BF ∵BF1AB 2∴AB=2BC ………………………………………………1分 ∵ AB∥CD ∴ ∠DEA=∠EAB ∵ ∠D=∠AEB

∴ △EDA∽△AEB………………………………………2分

ADAEBEAB …………………………………………1分 ∴

∴ BE·AE=AD·AB

∴ BEAE2ADBC…………………………………1分 徐汇区

23. 在梯形ABCD中，AD∥BC，ABCD，BDBC，点E在对角线BD上，且

DCEDBC.

（1）求证：ADBE；

（2）延长CE交AB于点F，如果CFAB， 求证：4EFFCDEBD.

2

1

杨浦区

23、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）

已知：如图7，在□ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF分别交边AB、CD于点E、F，过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N， 且∠AGE=∠CGN。 （1） 求证：四边形ENFM为平行四边形。 （2） 当四边形ENFM为矩形时，求证：BE=BN.

2