新课程下几何教学的感悟

数学包含两个最基本的组成部分：数与形。数是算术和代数的研究对象，形是几何学的研究对象。数和形的交响曲构成了数学发展的主旋律。数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。” 有人说： “代数繁，几何难，物理化学更不谈” ，新课程下如何解决这个问题，我围绕唱好几何教学“四部曲”，走好几何教学“四步棋”，落实几何课程目标 。 一、学情分析

平面几何的学习，内容由“数”转入“形”，由“运算”转入“推理”；思维由“直觉思维”转入“抽象思维”，由“形象思维”转入“逻辑思维”；方法由“记忆型”转入“理解型”。学生需要有熟悉、适应的过程，学生心理需要由“旧”到“新”转变。因此有“代数繁，几何难，物理化学更不谈”的感受。

平面几何入门需 “从特殊到特殊”的类比推理和“从特殊到一般”的归纳推理，思维活动从直觉思维、形象思维，到逻辑思维。 二、几何教学“四部曲”

教育家孔子说：“知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者。”宋朝程颐说：“教人未见其趣，必不乐学。” 1．“讲故事”，激起学生心中波澜

我编拟“最早的面积测量”，“徐光启与《几何原本》，”“祖冲之与π”，“勾股定理及其历史”，“黄金分割及其应用”小故事，介绍平面几何随生产、生活实际需要产生和发展，介绍北京博物馆文物图案，增强几何趣味性，激发学生爱国热情。 2．“搞活动”，叩开学生思维大门。

(1)折纸

用纸剪成一个角，再把这个角折成相等的两部分；用长方形的纸折成一个正方形；把一张正方形的纸折成完全相同的两部分，共有多少种不同的折法?每一种折法的折痕都经过哪一点?把两张相同的长方形纸拼成一个凸字形，并使其中的一张在另一张的正中。

利用折纸，渗透图形变换思想——翻折(对折)，隐含比较两条线段大小的方法——叠合法，在较长线段截取较小线段方法——截取法，活动简单，但它是较好的感性材料。

(2)拼图

A 用火柴梗拼三角形。拼一个三角形至少要几根火柴梗? 用4根能不能拼成一个三角形? 用5根能不能拼成一个三角形?其中两条边都用2根，第三条边至多要几根?要用5根拼成两个各边都相等的三角形，如何拼? 要拼成六个三边都相等的三角形，最少要几根火柴梗?

B 摆硬币，在一枚硬币周围摆一圈面值相同的硬币，使其相邻两枚靠在一起，周围可摆几枚?用不同面值的硬币按相同要求摆，得到的结论如何? 若在第一圈外面再摆一圈，又要硬币多少枚?

在A中，隐含三角形三边关系——任意两边之和大于第三边，渗透公共边概念和应用。

在B中，渗透圆和圆相切关系。

“学者无心”， “教者有意”，我给学生造成悬念，激发学生去探索、去追求、去学习。

3、“创联想”，诱发学生创新思维。

几何学起源于生活，又服务于生活。建筑工人在修房子安装门时，为什么都要钉一根木条 (三角形的稳定性)？有一块三角形的玻璃被打破成两块，需要再配一块，只需要A、B中的哪一块就行 (两角夹边确定一个三角形)？ 如果是打破成这样两块（图示），只拿其中一块能行吗?有一块水桶底，如何测得它所在圆的半径长?车轮为什么是圆形的？用同一种正五边形地砖可密铺地面吗？我把生产生活中的实际问题，交给学生，让他们联想、思考，目的让学生进行数学交流，留心观察生活中的几何现象，鼓励学生积极地创造问题。

4、“制模型”，激发学生形象思维。

学生思维水平有限，数学模型直观形象生动可激发学生学习兴趣。例如： “对顶角”教学，我用两根竹针和一根橡皮筋演示； “平行线”教学，我用三根竹针和两根橡皮筋演示，变换位置，找同位角； “叠合与全等”教学，我用两个相同的三角板演示叠合的程序和方法； “探索三角形全等的条件”教学，我让学生按要求和步骤画三角形，同学之间按叠合的方法进行对比，学生从实践中感受到“两边夹角”、“两角夹边”、“三边”对应相等的三角形能相互重合——全等，学生明白：三个定理不是“从天而降，神不可测”。

我用简易教具进行图形变换，增强学生识图能力。例如：用两个全等三角板绕一个对应顶点旋转，或沿一组对应边平移，或绕一条公共边翻转，使两个三角形呈现不同的位置关系，组成不同的图形，让学生从中体会变换的方法，降低推理教学难度。 三、几何教学“四步棋”

1、概念教学

几何概念是逻辑思维最简单最重要 “基石”，是组成几何知识的细胞。比如：

线段概念可通过直尺、钢笔、铁钉等实物引入，线段只有长短，没有粗细和形态，与实物线段不同。例如：“互为余角”概念，抓本质属性： “两个角”， “和为90°”，二者缺一不可，反映两角数量关系。 “互为邻补角”概念，用类比方法把握本质属性： “两个角”，“和为180°” ，“有公共顶点”，“公共边”，这些属性缺一不可，反映两角数量关系和位置关系。通过实践理解概念，例如：学习“点到直线的距离”联系体育课上怎样测量同学们的跳远成绩；我让学生动手折叠图片，理解全等形及其对应元素和轴对称图形；让学生画三种不同三角形的三条高，理解三角形高的定义。

2、图形教学

“几何学是研究‘空间’形体的形状、大小、位置关系的科学”；几何图形是几何学研究对象，图形教学是发展学生逻辑思维能力的重要手段，图形教学是培养学生空间想象能力的重要途径。

画图与识图训练。例如：过点A画直线；过A、B两点画直线AB；过A、B两点画射线AB；连结AB；延长线段AB到C，使BC＝AB；延长线段AB交CD的延长线于F；作线段AB的中点。例如：过直线AB外一点M画AB垂线，学生无从下手，原因是学生不理解直线向两方无限延伸。在教学中，直线、射线、线段、锐角、直角、补角、平角、对顶角、垂线、平行、同位角、全等三角形、直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形等图形和概念的特性，我们要让学生达到“看图形想特性，想特性知图形”。

3、语言教学

几何教学有三种语言：图形语言、文字语言与符号语言．因其特点不同，其作用也不同．图形语言形象、直观，能认识问题和理解问题；文字语言抽象、概

括，能精确描述、解释问题；符号语言简洁、抽象。符号语言最难掌握，是逻辑推理的基础．我在几何教学中重视培养学生几何语言能力及其相互转化．例如： 等腰三角形性质1----等腰三角形的两个底角相等，我及时引导学生画出图形，结合图形，将文字语言符号化。在 中∵AB=AC ∴∠C=∠B

等腰三角形的性质2----等腰三角形“三线合一”： 哪三线重合？学生易出错。我让学生画出图形，结合图形，将文字语言符号化

（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD ∴BD=CD，AD⊥BC （2）∵AB=AC，BD=CD ∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC （3）∵AB=AC，AD⊥BC ∴BD=CD ∠BAD=∠CAD

几何语言是逻辑推理的工具，几何语言是理解，阐述图形概念和性质必要条件。教学中，我认真示范，学生认真作图。例如： “线段的长度”，我教学生：(1)在XX上截取XX＝XX；(2)沿XX方向，用XX截取XX＝XX；(3)任画一XX，并在XX上取一点X；④在XX上顺次截取XX—XX—XX；(5)在XX上以XX为起点反向截取 XX—XX—XX。我在教线段的中点、角的平分线、垂线等概念时，我让学生掌握文字语言、图形语言、符号语言，学会其相互转化。

4、推理教学

新课程增加图形变换，平移、旋转和轴对称为学生解决几何证明问题打开了一扇窗户．平移、旋转和轴对称共同特点是改变图形位置，变换前后形状和大小不发生变化．这有利于培养学生空间观念、丰富学生解题方法．

例如： 已知： M是正方形ABCD的BC边上一点，K是∠DAM的平分线与CD的交点。求证：AM=DK+BM．分析：延长CB到点H，使BH=DK，则MH=DK+BM．这样问题转化为证明AM=HM，证△AHM为等腰三角形．故需添

加辅助线．如何添加辅助线是几何教学的难点，如果恰当地运用旋转变换，将△ADK绕着点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，使原

来分散的DK和MB集中成一条线段MH，与AM构成三角形，把问题转化为证等腰三角形．

几何变换是一种思维艺术，用它思考问题可使学生体会心灵的智巧，领悟理性的力量，是一曲优美的旋律，是一种美的欣赏．

“问渠那得清如许，为有源头活水来”。只要我们唱好几何教学“四部曲”，走好几何教学“四步棋”，就能落实几何课程目标，就能取得几何教学大丰收。

1、孔子说：“知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者。”的意思： “懂得它的人，不如爱好它的人；爱好它的人，又不如以它为乐的人。”

2、数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”的意思：数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．在

研究问题的过程中，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化．即代数问题几何化，几何问题代数化。

3、分析文章的结构特征：

“问渠那得清如许，为有源头活水来”这是一篇我的几何教学的感悟或一点体会，首先分析学情，文章分为两大块：第一部分：唱好几何教学“四部曲”，第二部分：走好几何教学“四步棋”。

一、学情分析

平面几何的学习，内容由“数”转入“形”，由“运算”转入“推理”；思维由“直觉思维”转入“抽象思维”，由“形象思维”转入“逻辑思维”；方法由“记忆型”转入“理解型”。学生需要有熟悉、适应的过程，学生心理需要由“旧”到“新”转变。因此有“代数繁，几何难，物理化学更不谈”的感受。

平面几何入门需 “从特殊到特殊”的类比推理和“从特殊到一般”的归纳推理，思维活动从直觉思维、形象思维，到逻辑思维。

二、几何教学“四部曲”

1．“讲故事”，激起学生心中波澜 2．“搞活动”，叩开学生思维大门。

(1)折纸。(2)拼图。 “学者无心”， “教者有意”。 3、“创联想”，诱发学生创新思维。

4、“制模型”，激发学生形象思维。 三、几何教学“四步棋”

1、概念教学

几何概念是逻辑思维最简单最重要 的“基石”，是组成几何知识的细胞。 2、图形教学

“几何学是研究空间形体的形状、大小、位置关系的科学”；几何图形是几何学研究对象，图形教学是发展学生逻辑思维能力的重要手段，图形教学是培养学生空间想象能力的重要途径。“看图形想特性，想特性知图形”。

3、语言教学

几何教学有三种语言：图形语言、文字语言与符号语言．因其特点不同，其作用也不同．图形语言形象、直观，能认识问题和理解问题；文字语言抽象、概括，能精确描述、解释问题；符号语言简洁、抽象。符号语言最难掌握，是逻辑推理的基础．

4、推理教学

新课程增加图形变换，平移、旋转和轴对称为学生解决几何证明问题打开了一扇窗户．平移、旋转和轴对称共同特点是改变图形位置，变换前后形状和大小不发生变化．这有利于培养学生空间观念、丰富学生解题方法．

几何变换是一种思维艺术，用它思考问题可使学生体会心灵的智巧，领悟理性的力量，是一曲优美的旋律，是一种美的欣赏．

“问渠那得清如许，为有源头活水来”。只要我们唱好几何教学“四部曲”，走好几何教学“四步棋”，就能落实几何课程目标，就能取得几何教学大丰收。