高二数学《圆的一般方程》教学设计

高二数学《圆的一般方程》教学设计

教材版本：人教版（必修） 学科：数学 年级：高二年级 册别：第二册（上） 课题：第七章第二节圆的方程第二课时教学设计 一、教材分析

圆的方程这节内容是学习圆锥曲线的基础，由于圆的方程应用及其广泛，所以对圆的一般方程的要求层次是“掌握”，又由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F,对它的理解带来一定的困难。因而本节的难点是对圆的一般方程的认识，掌握和应用。突破难点的关键是抓住一般方程的特点。 二、学情分析

圆的一般方程是学生在学习了圆的标准方程后，又掌握了利用待定系数法求圆的标准方程的基础上进行研究的。 但由于学生基础差、学习程度较浅，且对圆的标准方程运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。 三、教法分析

为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“合作探究与启发式教学法”，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，教师组织学生分析讨论、合作探究。 四、学法分析

通过展开圆的标准方程，归纳总结得出圆的一般方程，通过求圆的方程，加深对数形结合思想和待定系数法的理解，通过应用圆的一般方程，熟悉用待定系数法求解的过程。 五、设计思想

本节课的设计思想是：以多媒体网络教学平台为依托，为学生营造一个探究学习的环境，让他们参与到多媒体教学中来，探究新知，发现规律，解决问题。 六、教学策略

结合本节内容的特点，可以向学生渗透多种数学思想方法：:配方法、待定系数法、数形结合的思想、转化的思想、 分类讨论的思想、方程的思想，同时对学生的观察类比，创新等多种能力的培养有利，通过求圆的一般方程使学生又进一步熟悉待定系数法的应用。 七、教学目标 （一）知识与技能

使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。

（二）过程与方法

通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探讨，让学生经历知识形成的过程，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力，并使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程的方法。 （三）情感态度价值观

渗透数形结合、转化、分类讨论与方程等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。 八、教学重点、难点

1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。

(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练。)

2．难点：圆的一般方程的探讨过程。

(解决办法：通过对方程配方分三种讨论得条件。) 九、教具：多媒体、黑板、圆规、三角板 十、【教学过程与设计】(课堂实录) 环 节 意图 一、复习引入： 师：同学们！上节课我们研究了学生活动：回答问题，复习巩并填写学案： 固圆的圆的标准方程，请同学们回忆 一问题1：圆的标准方程的形式是标准方怎样的？其中圆心的坐标和半下圆的标准方程，并填写学案， 程，进径各是什么？ 一步明 确其结 构特教师：提出问题，并对学生的回 征，为若圆心在坐标原点，半径为r答加以肯定。 新知识 的圆的方程怎么表示？ 作铺 垫。 学生带教师活动：让学生先思考，学生活动：动笔展开问题2：若把标准方程着疑222方程(x-a)+(y-b)=r展开后，会得自主探究， 问，亲(x-a)2+(y-b)2=r2. 出怎样的形式？ 引导学生得出方程形式：自动笔x2+y2+Dx+Ey+F=0，提出课题 实践，教学内容 教师活动 学生活动 设计旧 知 回 顾 、 新 知 铺 垫

发现新问题，引入课题。 引 二、新课讲解 入 新 课 、 课题：圆的一般方程 提 出 课 题 师：这就是我们今天要学习的内容：圆的一般方程． 教师板书：圆的一般方程 使学生明确本节课的学习内容。 合 作 探 讨 问题3：是不是每个形如教师活动：提出问题. 引导学生22x+y+Dx+Ey+F=0的方程表示的思考圆的方程的要求，想到利用曲线都是圆呢？ 配方法将展开式化成圆的标准方 程的形式，并引导学生总结在什么情况下，它的轨迹是圆、点或无轨迹。 组织学生分析讨论，给学生充足的时间讨论，并作适当的引导。 学生活动：先思考，自主探究后，再与前后同学合作交流。 生生互动：在教师引导下，合作交流，共同探讨方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形。 让学生经历知识形成的过程，体会数形结合思想，加深对知识的理解。 共同探讨后，达成共【师生互动】：教师巡视指导，识：先将方程配方，再与圆的标准方程比参与学生的讨论。 较。

1、探讨形成：将方程、 22x+y+Dx+Ey+F=0左边配方 合 作 交 流 教师预设：先将方程配方，再与学生活动：在教师的让学生圆的标准方程比较。教师板书： 引导下通过观察、分积极主析后发现： D2E2D2E24F(x)(y) 224① 动地参与到讨论中来，成为学习的主人， 当D+E-4F＞0时 22(1)当D2+E2-4F＞0时，方程①表示 一个圆； 师：请同学们观察方程①，可以看出什么？ 教师提示学生：先把方程①与标准方程比较，再分类讨论。 当D2+E2-4F＞0时，方程①表示什么？ 方程①表示一个以(DE,)为圆心，让学生22经历知1D2E24F2为识形成的过程，体会知识半径的圆； 的来龙 （2）当D2+E2-4F = 0时，方程教师继续引导：当D2+E2-4F = 0 学生回答：当去脉， ①表示一个点； 时，又表示什么？ 22加深对D+E-4F = 0时，方程 教师预设：当学生回答不明确时， 知识的22①表示一个点 教师作适当的提示：当D+E-4F 理解。 = 0时，方程① DE (,) 22 DE 只有实数解x,y 22 教师设问：方程 (3)当D2+E2-4F＜0时，方程①学生回答：没有，因x2+y2+Dx+Ey+F=0有没有实数而它不表示任何图形 不表示任何图形。 解？． 教师活动：教师在学生基础上梳学生活动：归纳总结：使学生2.归纳总结： 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0理思路，板书：方程学会归22表示的图形分别是 方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的图22x+y+Dx+Ey+F=0表示的图形分圆、点或不表示任何纳总结 形分别是圆、点或不表示任何别是圆、点或不表示任何图形。 图形。 图形． 师：根据以上结论，请同学们给 .归 出圆的一般方程的定义。 纳 学生口答： 【教师活动】板书： 使学生总 22当D+E-4F＞0时，方明确圆结 圆的一般方程的定义 3.提出概念：（圆的一般程x2+y2+Dx+Ey+F=0称的一般、 方程的定义） 为圆的一般方程．圆

获 得 新 知 DE当D2+E2-4F＞0时，方程(,)，方程的心坐标为：22x+y+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方22定义。 122程。 半径为：DE4F 2 DE 圆心坐标为：(,)，半径为：22 122DE4F 2 教师强调：不要死记结果，要熟 记通过配方求圆心和半径的方法。 学生活动：完成， 4.巩固练习： 1、下列方程各表示什么图形？ (1)x2y20 22 (2)xy2x4y60 (3)x2y22axb20 2、求下列各圆的圆心和半径 直 (1)x2y26x0 接 (2)x2y22by0 应 (3)x2y22ax23y3a20 用 、 教师活动：巡视学生完成情况，对学生的回答作点评，给出正确答案，同时强调：方程中隐含条件以及分类讨论的情况。 并回答问题。 加强巩固会通过配方法判断方程所表示的图形和求圆的半径及圆心坐圆的一般方程有什么特内 问题4：点？ 教师活动：引导学生比较二元二化 次方程的一般形式新 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，与圆的22知 一般方程x+y+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)。 教师强调：1.条件(1)、(2)是二深 元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件； 入 探 究 、 自 2.只要确定了D、E、F即可写出圆的一般方程。 教师设问：圆的一般方程有什么特点？ 学生活动：归纳结论： 标。 22(1)x和y的系数相同，不等于零，即A=C让学生≠0； 通过归纳得出(2)没有xy项，即圆的一B=0； 般方程的形式 特点，体会圆 的标准 方程和 圆的一般方程 各自的 优点。 【学生活动】： 完成，认真作答，

主 学 习 三、例题精讲 举 例 分析 、 应用新知 教师活动：巡视学生完成情况，并请一位学生上黑板展示，教师点评学生的回答。 题型一：利用圆的标准方教师预设： 学生自愿到黑板上展示各自解法： 学生活动：在老师的引导下，认真完成，并体会如何根据题目条件,恰当选择圆方程形式。 学生活动：完成. 进一步巩固学生能够利用圆的标准方程求解圆的方程，并加强圆的标准方程与一般方程的转化。 通过利用圆的方程的两种形式求解圆的方程，进一步体会各自的优点，并掌握待定系数法求解圆的方程的方法。 程求圆的方程，并化为一般方程。 例1 求过点A(5，-1)，圆心在点C(8，-3)的圆的一般方程，并化为一般方程 解：（利用待定系数法） 设圆的方程为： (x8)(y3)r ∵圆经过点A（5，-1） ∴(58)2(13)2r2 r13 2222∴(x8)2(y3)213 教师活动：引导学生尝试利用圆的方程的两种形式求解圆的方 程，并引导学生小结例1、例2：题型二:求利用圆的一般方程一般说来，如果由已知条件容易求圆的方程： 求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，例2 求过三点O(0，0)、M1(1，往往设圆的标准方程；如果已知1)、M2(4，2)的圆的方程。 条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程。 教师预设： 解：（利用待定系数法） 设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0， 由题意得， F=0 D+E+F+2=0 4D+2E+F+20=0 解之得，D=-8，E=6 ∴圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0， 教师活动：让学生先思考，四、反馈练习：求过三点A(-1，自主完成，教师纠错，并给予适当的点评，出示正确答案. 5)、B(-2，-2)、C(5，5)的圆的方程。

反 馈 训 练 、 形 成 方 法 让学生进一步体会如何根据题目条件,恰当选择圆方程形式，并加强待定系数法求解圆的方程的方法. 课 堂 小 结 、 升 华 课 题 教师活动：引导学生回顾本节课学生活动：回顾本节通过学生的小所学知识要点，点评学生小结，课的知识要点与方结，加问题5：通过这节课的学习并加以归纳补充： 法，认真总结，并认深对新你获得了哪些知识？ 真听取老师的补充。 知识的1.本节课的主要知识点： 记忆， 通过老（1）圆的一般方程及其形式特 师的补点； 充升华 本节课（2）圆的一般方程与圆的标准方的课程的转化； 题。 （1）知识性小结：

（2）方法性小结： （3）用待定系数法求圆的方程。 简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆。 问题6：通过这节课的学习2.本节课用的数学方法和数学思你掌握了哪些数学思想和方想: 法？ ⑴数学方法: 配方法、待定系数法。 ⑵数学思想: ① 数形结合的思想； ② 转化的思想； ③ 分类讨论的思想； ④ 方程的思想。 1、分层作业 ○1巩固型作业：（必做题） 课 P90 习题7.6 5，6 后 作 业 ○2思维拓展型作业：（选作题） 针对学生实际，对课后书面作业分两个层次留作业，实施分层设置。 第一层次要求所有学生都要完成，第二层次要求学有余力的同学完成。 巩固所学新知识，加深对新知识的理解。能在作业中发现和弥补教学中的不足。 十一、板书设计 一、复习引入：把圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2展开： 二、新课讲解 课题：圆的一般方程 22提出概念：圆的一般方程的定义 三、例题精讲 例1、 例2 四、反馈练习 五、课堂小结 （1）知识性小结 （2）方法性小结 六、课后作业 x+y+Dx+Ey+F=0左边配方：DEDE4F(x)2(y)2 22422归纳总结：当D2+E2-4F＞0时， 当D2+E2-4F = 0时， 当D2+E2-4F＜0时，