斜梁-滚球系统模型的线性化与固有特性分析

.

斜梁-滚球系统模型的线性化与固有特性分析

摘要：

本系统是由斜梁和滚球组成的一个动态模型系统控制。它是由长梁〔平衡斜

梁〕，被固定在发动机的中心和一个滚球，沿光束的上得平面运动。光束的斜率触发与加速度成正比的角度的倾斜的平衡和重量的球滚动的球。系统在没有稳定的情况由于滚球的平衡器是不稳定的，它本质上是非线性的广角球。因此，作稳定系统的要求的根底上移动物体的当前坐标的信息的使用的控制算法。在两维的测量系统“斜梁和滚球〞被提出作为一个系统的“球和平台〞，其中的球的滚动的平台的外表上，其中的位置可以被调整倾斜向前，向后，向左或右。

一、问题重述

如图1所示斜梁滚球系统，假设要研究滚球在梁上的位置可控性，需首先建立其数学模型，力矩电机的输出转矩M与其电流i成正比，横梁为均匀可自平衡梁〔即当电机不通电且无滚球时，横梁可处于0的水平状态〕，是建立系统的数学模型，并给出简化后系统的动态构造图。

图1 所示斜梁滚球系统

二、系统分析 2.1建立动态数学模型

. .word.zl.

.

.

2.1斜坡与滚球线性化的分析

设球的质心到杆的距离为0，该系统为特殊情况下的球棒系统。另令I1,m,I2分别表示棒的惯量、球的质量和球的惯量。那么球质心的位置和速度为

xc(xcos,xsin)vc(vcosxsin,vsinxcos)

其中xv，。因而动能的移动局部为 因而动能的移动局部为Ktransmvc2m(v2x22) 球棒系统的旋转动能为KrotI12I2()2 因而，系统总的动能KKtransKrot等于

11K(I1mx2)2mv2

221212vr1212其中1I21为常数。 mr2此系统的拉格朗日方程组为

TdT()mgsindt•xx dTT()kimgcosdt•综合以上公式的系统的方程组为

mxmx2mgsin()0 2(Imx)2mxxmgxcos()ki1设系统在平衡点附近0，cos1，sin，那么系统方程可化为

mxmg0 2(Imx)mgxki1•综上所述得到系统的线性化数学模型

2.2斜坡与滚球固有特性的分析 2.2.1控制比例微分〔PD控制〕

设金属球32克，平衡梁20厘米采用了经典的方法 - 控制比例微分〔PD控

. .word.zl.

.

.

制〕。

控制法是由下面的等式描述：

其中Δφ - 校正信号; L1，L2 - 球之间的距离和传感器1和2，分别; v1的，v2的 - 球的速度; kP的 - 比例因子; kD的 - 微分增益;结果示于图2。在该点的线条的交点〔蓝色和红色〕是世界上的稳定化

图2 - 模拟的结果：稳定和外部干扰

Kp和Kd的选择是选择的方法。要启动，确定的比例系数的值，并假定为零的微分系数的值。作为选择标准，选择的平台上找到球1D下稳定的最大时间

. .word.zl.

.

.

〔Tmax〕。

图3 - 在该平台上的1D根据“京都议定书〞时，球的最大长度 根据研究结果，我们可以得出这样的结论：最大长度的时间，对应于球上的斜梁KP = 0.00015。模拟得到的结果示于图4。

图4 仿真结果〔KP = 0,00015; KD = 0〕：A〕的最大长度时，球平台上的1D b〕

. .word.zl.

.

.

外部扰动

另外，我们发现kD的系数，对应于最正确值kP的= 0,00015。选择标准 - 最大时间〔TSTAB〕，稳定球。其结果示于图5。

图5 - 最大的时间〔TSTAB〕稳定的球，根据kD的

图5中，可以看到相应的当地最正确TSTAB的KD = 0.015 = 1.23 KD = 0006和全球最正确的相应TSTAB = 2,2。对于一个本地的最正确稳定性的行为不如全局最优值〔参照图6和图7进展比拟〕。

. .word.zl.

.

.

图6- 结果的模拟局部最优的〔kD的= 0006; KP = 0,00015〕：一个〕稳定和b〕该位置的球〔分升〕相对于中心的平衡，和的最大时间〔TSTAB〕稳定球

图7 - 的全球最正确〔kD的= 0015; KP = 0,00015〕：一〕稳定和B〕的位置的球〔DL〕相对的平衡中心，和最大时间〔TSTAB〕稳定性球的模拟结果

. .word.zl.

.

.

第二次迭代算法的选择系数PD控制器：KD = 0.015和改变的系数KP值。

图8 - 调试系数KP〔KD = 0.015〕

在调试的因素也可以观看的最正确局部最优 - TSTAB在KP = 2,15 = 0.0004和全球最正确 - TSTAB的的= 2,27在KP = 0.0001。

图9球〔DL〕 - 位移相对于中心发现球在稳定的平衡和最大时间〔TSTAB〕

. .word.zl.

.

.

的最正确系数Kp和Kd〔KP = 0.0001，KD = 0.015〕

要验证“斜梁和滚球〞，建模Webots的正确性，模型系统在Simulink中使用的方程一样的系统。

2.2.2 Simulink模型的“斜坡与滚球模型〞

图10 - Simulink模型的“斜坡与滚球模型〞

2.2.3 斜坡与滚球模型Simulink仿真

图11 - 位移的滚球相对于中心的平衡

三、总结

本系统主要研究的是对斜梁-滚球系统模型的线性化与固有特性分析。在2.1中对斜坡与滚球线性化的进展了分析，在2.2中对斜坡与滚球固有特性的进展了

. .word.zl.

.

.

分析。在研究固有特性时，我一个人查阅了大量资料，最终在外文文献上寻找到了两份资料，一份英文的，一份法文的，由于是外文文献可能在最终的翻译和理解上不太深刻。在对对斜梁-滚球系统模型的线性化过程中我参照了倒立摆系统的研究。

四、参考文献

【1】X德丰.MATLAB自动控制系统设计【M】.：机械工业，2021. 【2】X晓华.控制系统数字仿真与CAD 【M】.3版.：机械工业，2021. 【3】黄忠霖.控制系统MATLAB计算及仿真实训【M】.：国防工业，2006. 【4】赵景波.MATLAB控制系统设计与仿真【M】.：机械工业，2021. 【5】 Hauser, S. Sestry, and P. Kokotovic. “Nonlinear control via approximate input-output

linearization〞.

IEEE

Trans.

on

Automatic

Control,

vol.37:pp.392-398,1992.

【6】R. Sepulchre. “Slow peaking and low-gain designs for global stabilization of nonlinear systems〞.submitted for IEEE TAC 1999.

. .word.zl.