人教版_第6章平方根教学设计(共8课时)

6.1平方根（1） （第一课时）

学习目标：了解数的算术平方根，并会用符号表示；

重点：了解数的算术平方根，会求某些非负数的算术平方根，会用根号表示一个数的算术平方根

难点：理解a是非负数以及被开方数a是非负数；

一 、 学习准备

1、什么样的运算是平方运算？ 2、你还记得1～20之间整数的平方吗？ 二 自主学习

1 、 学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25平方分米 的正 方形画布，画上自己的得意之作参比赛，这块正方形画布的边长应取多少 2、 填表： 正方形的面积（平方分米） 1 9 16 36 0.25 边长（分米） 上述1、2问题是已知_____ 求_____的问题. 一般地，如果一个 的平方等于a,即_____ =a,那么这个 叫做a的_____,

a的算术平方根记为_____,读作“根号a”，a叫做被开方数。 特殊：0的算术平方根是_____,记作：_____, 3．你能根据等式：122 =144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来。

4．下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗； 250.810

5．例1 求下列各数的算术平方根：

49（1）100 （2） （3）0.0001

例3：求下列各式的值，例2：求下列各数的算术平方根，

9 1　（1）1　（2）　（3）22　　2　(1)81(2）（25）　（3）225 41 2　（4）6282　（5）6　（6）（7） 4思考：1. －4有算术平方根吗？

2..下列各式哪些有意义，哪些没有意义？ (1）-4 （2）4 （3）

3 （4）232 小结：算术平方根具有非负双重性.

（1）任何非负实数的算术平方根都为______数

1

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（2） 被开方数都为_______数

三 课堂跟踪反馈 练习；1 ：P41练习 1、2

2： 判断：（1）5是25的算术平方根； （2）-6是 36 的算术平方根； （3）0的算术平方根是0； （4）0.01是0.1的算术平方根； （5）-5是-25的算术平方根。 3．填空

（1 ）非负数a的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____ （2） 81___,16121____,_____16的算术平方根是_____, 25810.的算术平方根____

（3） 若x是49的算术平方根，则x=_____,

4 。求下列各式的值:

(1)- (0.1)2； (2)25+36； (3) 0.09+

5、若x2 =2,求2x+5的算术平方根.

小结：本节课主要就平方根中的算术平方根进行讨论,求一个数的算术平方根与求一_________的平方正好是互逆的过程,因此,求一个非负数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的_________运算,只不过, ____________是没有算术平方根的.

四 课后作业 必做题:

(1)课本p47习题6.1第1，2题 选做题。1：要使代数式

210.36 5x2有意义，则x的取值范围是____________ 32.若x1y3xyz0，求x,y,z的值

3：已知2a1的算术平方根是3，3ab1的算术平方根是4，c是13的整数部分，求a2bc的算术平方根

4已知x、y都是有理数，且yx33x3，求yx1的算术平方根．

2

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6.1平方根（二） （第二课时）

学习目标：1、会用计算器求一个数的算术平方根；理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律.

2、能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值.

3、体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数。 教学重点：夹值法及估计一个（无理）数的大小。 教学难点：夹值法及估计一个（无理）数的大小的思想。 一 学习准备

我们已经知道：正数x满足x2=a,则称x是a的 ．当a恰是一个数的平方数时，我们已经能求出它的算术平方根了，例如，16= ；但当a不是一个数的平方数时，它的算术平方根又该怎祥求呢？例如课本第161页的大正方形的边长2等于多少呢？

二 自主学习p41~44

探究：1.怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形

2 . 讨论：2有多大呢？

3 .（提出问题）：你对正数a的算术平方根a的结果有怎样的认识呢？

a的结果有两种情：当a是完全平方数时，a是一个 ；当a不是一个完全平方数时，a是一个

4、 例2 用计算器求下列各式的值： （1）3136（2）2（精确到0.001）

例3 .估计大小：写出所有符合下列条件的数

(1) 大于17小于11的所有整数; (2) 绝对值小于18的所有整数.

例3 小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为

3

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300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.不知能否裁出来，正在发愁.小明见了说“别发愁，一定能用一块面积大的裁出一块面积小的纸片”，你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？

分析:要注意是否弄清了题意；然后分析解题思路：能否裁出符合要求的纸片，就是要比较两个图形的边长，而由题意，易知正方形的边长是20 cm，所以只需求出长方形的边长，设长方形的长和宽分别是3xcm和2xcm,求得长方形的长为350cm后，接下来的问题是比较350和20的大小.

探究：被开方数扩大（或缩小）与它的平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？ 若102.0110.1,则1.0201___________. 三、练习：

课本P44的练习 1、2

(3).已知a为170的整数部分,b-1是400的算术平方根,求ab.

(4)．某农场有一块长30米,宽20米的场地,要在这块场地上建一个鱼池为正方形,使它的面积为场地面积的一半,问能否建成?若能建成,鱼池的边长为多少?(精确到0.1米)

四、小结：

1、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值.

2、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？

3、怎样的数是无限不循环小数？ 五、作业课本：

P47-48习题13.1 第5、6、7、12题；

4

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6.1平方根（三） （第三课时）

学习目标 1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别. 2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系.

教学重点：平方根的概念和求数的平方根。 教学难点：平方根和算术平方根的联系与区别 一、学习准备：

1、什么数的平方是49？ 2、平方得81的数有几个？分别是什么？ 3、一对互为相反数的平方有什么关系？

总结：由问题出发，认识到平方得一个正数的数有 个，并且互为 二、合作交流，解读探究

自主探索：看书，自学教材p44~46

想一想：到底什么是平方根，它和我们已经认识的算术平方根有何关系？ ⑴什么叫一个数的平方根？如何用符号表示？

⑵根据平方根的定义，只有什么数才有平方根？ ⑶什么叫开方？ [⑴如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，用符号表示为：若x2a,则xa；⑵只有非负数才有平方根；⑶求一个数a的平

方根的运算叫做开平方运算。] 练一练：求下列数的平方根

9⑴100 ⑵ ⑶0.25 ⑷16 ⑸ 0

16三、总结归纳：

1、正数有 平方根，它们互为 0的平方根是 负数 讨论：平方根与算术平方根之间有什么关系？ 总结：1、平方根与算术平方根之间的区别

⑴定义不同：如果x2a，那么x叫做a的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。如果x2a，并且x0，那么x叫做a的算术平方根。一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数

⑵表示方法不同：正数a的平方根表示为a；正数a的算术平方根为a ⑶平方根等于本身的数是0；算术平方根等于本身的数是0或1 2、平方根与算术平方根之间的联系

3、 ⑴二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个

⑵存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根 ⑶0的平方根和0的算术平方根都是0

5

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四 、 应用迁移，巩固提高 例1 说出下列各数的平方根 ⑴0.04 ⑵

81 ⑶121256

1⑷6

4例2 说出下列各数的平方根各是什么？

⑴ ⑵0 ⑶0.4⑹4 例3 计算

322 ⑷1 ⑸16

32741⑴1 ⑵2 ⑶412402 9五、课堂跟踪反馈 练习课本P46 练习1、2、3 补充：1、⑴121____,⑵1.69____,⑶49____,⑷1000.32____

2、若x7，则x_____，x的平方根是_____ 3、993381的平方根是（ ） A.  B. C.  D.

442216242 4、给出下列各数：49, , 0, 4, 3, 3, 5，其中有平方

3根的数共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 5、若一个数a的平方根等于它本身，数b的算术平方根也等于它本身，试求ab的平方根。

选作题：（1）如果一个正数的两个平方根为a1和2a7，请你求出这个正数 （2） 已知

1a3ab72ab30，求：ba的平方根 52（3）请你试着求等式16x2810中的x值．

(4)．要使1xx有意义，x的取值范围是______________ 作业 P47-48习题6.1第3、4、8、11、12题。

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13.1 平方根训练题

（第四课时）：

一．选择题：

1、下列命题中,正确的个数有( )

①1的算术平方根是1;②(-1)2的算术平方根是-1;③一个数的算术平方根等于它本身,这个数只能是零；④-4没有算术平方根. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2、一个自然数的算术平方根是x,则下一个自然数的算术平方根是( ) A.x+1 B.x1 C. x21 D.x+1 3、设x=(-3)2,y=(3)2 ,那么xy等于( ) A.3 B.-3 C.9 D.-9 4、(-3)2的平方根是( )

A.3 B.-3 C.±3 D.±9

5、x是16的算术平方根,那么x的算术平方根是( ) A.4 B.2 C.2 D.±4

二、填空：

6、36的算术平方根是______,36的平方根是_____. 7、如果a3=3,那么a=______. 如果a=3,那么a=_______. 8、一个正方体的表面积是78,则这个正方体的棱长是_______. 9、算术平方根等于它本身的数是_______.

10(6)2=_______, -(7)2=_______.±52=______,a2=________. 11、 25的算术平方根是________.

三、解答题：

12、求满足下列各式的x的值:

(1)169x2=121 (2)x2-3=0

13 求下列各式的值

（1）144， （2）－0.81， （3）

14 、 3a22和2a3都是m的平方根，求a和m的值．

7

121196 （4）562，56

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15．已知2a1的平方根为3，3ab1的平方根为4，求a2b的平方根．

16 已知a，b满足a1b3a10，求b25a的平方根

17 一个开口的长方体盒子，是从一块正方形的马口铁的每个角剪掉一个36cm2的正方形后，再把它的边折起来做成的，如图，量得这个盒子的容积是150cm2，求原正方形的边长是多少？

1．由题意可知剪掉正方形的边长为______________cm．

2．设原正方形的边长为xcm，请你用x表示盒子的容积．

________________________________．

3．由1，2的分析，请你列出方程，并解答，求原正方形的

18 已知2009aa2010a，求a2009215的值．

1．由式子a2010可以得出a的取值范围是什么？

_________________________________________________________ 2．由1，你能将等式2009aa2010a中的绝对值去掉吗？ ___________________________________________________________ 3．由2，你能求出a20092的值吗？

___________________________________________________________ 4．讨论总结：求a2009215的值．

_______________________________________________________________________．

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6.2 立方根 （第五课时）

学习目标：了解立方根的概念，会用符号表示一个数的立方根 教学重点：了解立方根的概念，用立方运算求某些数的立方根；

3a3a，会

用计算器求某些数的立方根

教学难点：明确平方根与立方根的区别，能熟练地求某些数的立方根 一 学习准备

1.问题：要制作一种容积为27 m的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？

2 在学习平方根的运算时,首先是找出一些数的平方值,然后才根据其逆运算过程确定某数的平方根,同样,我们先来算一算一些数的立方.

2323

23=____ ;(-2)3=_____0.53=___;(-0.5)3=____;()=_____;-()•=_____ ;

333

0=______.

(1)经计算发现正数,0,负数的立方值与平方值有何不同之处?

二 自主学习p49-51

1什么是立方根

2、探究： 根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点 因为238，所以8的立方根是（ ） 因为0.50.125，所以0.125的立方根是（ ） 因为00，所以0的立方根是（ ）因为28，所以

333828的立方根是（ ） 因为，所以8的立方根是（ ）

273【总结归纳】 一个正数有 立方根 ，一个负数有 立方根， 0的立方根是 ，任何数都有 立方根

一个数a的立方根，记作3a，读作：“三次根号a”，其中a叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。例如：327表示27的立方根，3273；327表示27的立方根，3273.

3、探究： 因为38____,38____,所以38 = 38

因为327____,327____，所以327 = 327 利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互

逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方

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3万店中心学校“二三三”高效课堂七年级数学导学案

根，再取其相反数，即3a3aa0。于是可归纳出其规律: 3a=-3a,而a,a的意义不同,其值也不同,若a>0时, -a表示a的算术平方根的相反数a无意义;若a<0,则-a无意义. 4、 例1:求下列各数的立方根。

①-27; ②

27; ③-0.216。 例2 求下列各式的值：

3； （2）27； （3）3210 （4）3271； （5）； （6）1000

探究：1 350有多大呢？ (2)比较-4、-5、-3100的大小.

事实上，很多有理数的立方根都是无限不循环小数．我们用有理数近似地表示它们．

2、、利用计算器来求一个数的立方根：

操作 用计算器求数的立方根的步骤及方法：用计算器求立方根和求平方根的步骤相同，只是根指数不同。

2、利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么吗？

„ 30.000216 30.216 3216 „ 3、、用计算器计算3100（结果个有效数字）。并利用你发现的规律说出30.0001，30.1，3100000的近似值。

三 .课堂跟踪反馈 练习：课本P79练习1、2、3 补充；1.当x 时，4x有意义；当x 时，34x有意义

2 . 的立方根是 ，38的平方根是 ，3512的立方根是 3. 一个自然数的算术平方根是a，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是 ，立方根是

4 .解下列⑴x3512 ⑵x31250 ⑶x1216 四、作业： P51习题6.2第1、2 ，3、5、6， 8题

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32万店中心学校“二三三”高效课堂七年级数学导学案

6.3实数(1) （第六课时）

学习目标:了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；

重点：实数的意义和实数的分类；

难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的； 一、学前准备

1、填空 有理数的分类

有理数 有理数

2、探究 使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？

3479115 3 ，  ， ， ， ，

581199二、探究新知

1、归纳： 任何一个有理数都可以写成_______小数或________小数的形式。反过来，任何______小数或____________小数也都是有理数

观察 通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的_____根和______根都是____________小数， ____________小数又叫无理数，3.14159265也是无理数

结论： _______和_______统称为实数 你能举出一些无理数吗？ 2、试一试 把实数分类

像有理数一样，无理数也有正负之分。例如2，

33，是____无理数，2，33，是____无理数。由于非0有理数和无

理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类： 实数

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万店中心学校“二三三”高效课堂七年级数学导学案

3、我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？

（1）如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？

从图中可以看出OO′的长时这个圆的周长______，点O′的坐标是_______ 这样，无理数可以用数轴上的点表示出来 （2）

总结 ①事实上，每一个无理数都可以用数轴上的__________表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示__________，有些表示__________ 当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是__________的，即每一个实数都可以用数轴上的__________来表示；反过来，数轴上的__________都是表示一个实数 ② 与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数______ 三、学以致用

例1、把下列各数分别填入相应的集合里：

227 38,3,3.141,,,,32,0.1010010001,1.414,0.020202,7 378正有理数{ 。。。 } 负有理数{ 。。。} 正无理数{ 。。。 } 负无理数{ 。。。} 2、下列实数中是无理数的为（ ）A. 0 B. 3.5 C.2 D.9 四、总结反思

1、什么叫做无理数？ 2、什么叫做有理数？

无理数的特征:

1．圆周率及一些含有的数 2．开不尽方的数

3．有一定的规律，但循环的无限小数 注意:带根号的数不一定是无理数 作业 P56 1 ，2，

6.3实数(2)

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（第7课时）

学习目标：能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算，会用计算器进行实数的运算 能估算无理数的大小；

重点：了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义实数的运算法则及运算律 难点了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义；准确地进行实数范围内的运算

一 、学前准备 1a2=

2 . 回顾相反数、倒数、绝对值的意义 二、探究新知 1．讨论 当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？

总结 数a的相反数是______，这里a表示任意____________。一个正实数的绝对值是______；一个负实数的绝对值是它的______；0的绝对值是______

3.14的相反数; 例1 (1)分别写出- , 6(2)指出 5,13各是什么数的相反数(3)求 3的绝对值(4)已知一个数的绝对值是 3求这个数

2.5,7,,32,0练习1.求下列各数的相反数和绝值:

2

2、 的相反数是 ，绝对值

3、绝对值等于 的数是 ， 的平方是 4

5、求绝对值

2 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。 例2 计算下列各式的值： ⑴

13

322 ⑵3323 万店中心学校“二三三”高效课堂七年级数学导学案

练习计算: (1)2232;(2)2322.例3.计算

（结果保留3个有效数字） 32.(1)5（ 精确到0.01）(2)

总结 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算 练习:P56 第3，4题 三、应用迁移，巩固提高

例1 a为何值时，下列各式有意义？

1a2 2a 3a2 43a1 5aa 632a1 a例2 计算

⑴求5的算术平方根与它的平方根之和（保留3位有效数字） ⑵2552（精确到0.01） ⑶a2a （2a）（精确到0.01）

例3 已知实数a、b、c在数轴上的位置如下，化简

c a b O

ababca22c2 四、课堂跟踪反馈

1、a、b是实数，下列命题正确的是（ ） A. ab，则a2b2 B. 若a2b2，则ab C. 若ab，则ab D. 若ab，则a2b2

2、32的相反数是 ， 39 的相反数是 3、已知a、b、c在数轴上如图，化简a2ab

b ca2bc

a O c 4 ，10在两个连续整数a和b之间，即a10b，那么a、b的值是

作业1 P57、3，4，5，6，8，9

实数复习

14

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【知识要点】

1．实数分类：

实数 无理数 有理数

整数（包括正整数，零，负整数） 分数（包括正分数，负整数） 正无理数 负无理数

2．相反数：a,b互为相反数 ab0

a

(a0)

3．绝对值： a 0 (a0) a (a0)

ab1;0没有倒数. 4．倒数：a,b互为倒数 5．平方根，立方根：若x2a,则数x叫做数a的平方根，记作x±a. 若x3a,则数x叫做数a的立方根，记作x3数轴比较实数大小的方法. 【课前热身】

1、36的平方根是 ；16的算术平方根是 ； 2、8的立方根是 ；327＝ ；

3、37的相反数是 ；绝对值等于3的数是 4、23的倒数的平方是 ，2的立方根的倒数的立方是 。 5、23的绝对值是 ，13111的绝对值是 。 6、9的平方根的绝对值的相反数是 。 7、23的相反数是 ，23的相反数的绝对值是 。 8、27的绝对值与726的相反数之和的倒数的平方为 。 【典型例题】

例1、把下列各数分别填入相应的集合里：

223212,0,,125,0.1010010001,10,0.3,

72a

6．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及

有理数集合：｛ „｝； 无理数集合：｛ „ ｝； 负实数集合：｛ „｝； 例2、比较数的大小 （1）23与32 例3．化简：

15

（2）65与76

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122332

例4．已知a,b是实数，且有a31(b2)20，求a,b的值.

例5 若|2x+1|与

总结：若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．

例6．已知a,b为有理数，且(323)2ab3，求ab的平方根

例7. 已知实数x、y、z在数轴上的对应点如图 试化简：xyyzxz

【课堂练习】

1．无限小数包括无限循环小数和 ，其中 是有理数， 是无理数.

2．如果x210，则x是一个 数，x的整数部分是 . 3．的平方根是 ，立方根是 . 4．15的相反数是 ，绝对值是 . 5．若x6则x 。

6．若一个正数的平方根是2a1和a2，则a____，这个正数是 ； 7．当0x1时，化简x2x1__________; 8．等式x1x1x21成立的条件是（ ）. A、x1B、x1

C、1x1

D、x1或1

xzxzx y 0 z 1y4x互为相反数，则－xy的平方根的值是多少？ 8。

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