【培优提高训练】第一章 一元二次方程 典型例题解析

【培优提高训练】苏科版九年级数学上册 第一章 一元二次方程 典型例题解析 一、解答题

1.解方程：

（1）2x2+x﹣3=0（用公式法） （2）（x﹣1）（x+3）=12．

【答案】解：（1）2x2+x﹣3=0（用公式法） ∵a=2，b=1，c=﹣3 b2﹣4ac=25＞0 x=−1±√25

4

∴x1=1,x2=-2； （2）化为一般形式， 得：x2+2x﹣15=0 （x+5）•（x﹣3）=0 （x+5）=0或（x﹣3）=0 ∴x1=﹣5，x2=3．

【考点】公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】第（1）小题不能因式分解，所以用公式法求解；

第（2）小题要化为方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0才可求解． , 𝛽 是关于x的一元二次方程 𝑥2+(2𝑚+3)𝑥+𝑚2=0 的两个不相等的实数根，且满足  + 2.已知 𝛼 𝛼

1𝛽

1

3

=−1 ，求m的值.

【答案】解：∵方程有两个不相等的实数根，

22

∴ Δ=(2m+3)−4m>0 ，

解得： m>−4 ，

依题意得： α+β=−(2m+3)，αβ=m2 ， ∴

 + β=α

1

1

α+βαβ

3

=

−(2m+3)m

2

=−1 .

解得： m1=−1，m2=3 ，

经检验： m1=−1，m2=3 是原方程的解， ∵ m>−4 ， ∴ m=3 .

【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系

3

第 1 页 共 14 页

【解析】【分析】先利用判别式求出方程有两个不相等的实数根时m的取值范围，然后再根据根与系数的关系求出m的取值范围，取舍即可

3.已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+4k2+1=0有两个实数根． （1）求k的取值范围；

（2）若方程的两实数根分别为x1、x2 ， 且满足|x1|+|x2|=4x1x2﹣5，求k的值． 【答案】解：（1）∵原方程有两个实数根， ∴△=（k+1）2﹣4（4k2+1）=2k﹣3≥0 解得：k≥2； （2）∵k≥2， ∴x1+x2=k+1＞0． 又∵x1•x2=4k2+1＞0， ∴x1＞0，x2＞0， ∴|x1|+|x2|=x1+x2=k+1． ∵|x1|+|x2|=4x1x2﹣5， ∴k+1=4（4k2+1）﹣5， ∴k2﹣k﹣2=0， ∴k1=﹣1，k2=2， 又∵k≥2， ∴k=2．

【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根可得△=（k﹣1）2﹣4（4k2+1）≥0，解不等式可得k的范围； （2）由韦达定理可得x1+x2=k+1＞0、x1•x2=4k2+1＞0，根据|x1|+|x2|=4x1x2﹣5可得k+1=4（4k2+1）﹣5，解方程结合k的取值范围可得k的值． 4.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0. （1）当m=3时，判断方程的根的情况； （2）当m=－3时，求方程的根. 【答案】解：（1）∵当m=3时， △=b2-4ac=22-4×3=-8＜0， ∴原方程无实数根； （2）当m=-3时， 原方程变为x2+2x-3=0， ∵（x-1）（x+3）=0，

1

1

1

3

1133

1

1

第 2 页 共 14 页

∴x-1=0，x+3=0， ∴x1=1，x2=-3．

【考点】解一元二次方程﹣配方法，解一元二次方程﹣公式法，解一元二次方程﹣因式分解法，根的判别式

【解析】【分析】

（1）判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以判断出根的情况； （2）把m的值代入方程，用因式分解法求解即可．

5.已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+2=0的两实数根x1、x2满足x1x2=x1+x2﹣2． （1）求a的值；

（2）求出该一元二次方程的两实数根． 【答案】解：（1）∵x1+x2=a，x1x2=2， 又x1x2=x1+x2﹣2， ∴a﹣2=2，a=4；

（2）方程可化为x2﹣4x+2=0， ∴（x﹣2）2=2，

解得：x﹣2=√2 或x﹣2=﹣√2， ∴x1=2+√2，x2=2﹣√2．

【考点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系的关系x1+x2=a，x1x2=2，如何根据x1x2=x1+x2﹣2得到关于a的方程，解方程即可得到结论； （2）解方程即可得到结果．

6.若x1、x2是关于x一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=-𝑎 ， x 1x2=𝑎 ， 把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两个实数根． （1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值．

（2）已知等腰△ABC的一腰长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】解：（1）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两个实数根， ∴x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，

∵（x1﹣1）（x2﹣1）=28，即x1x2﹣（x1+x2）+1=28， ∴m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：m=﹣4或m=6， 当m=﹣4时原方程无解， ∴m=6；

（2）当等腰三角形的腰长为7时，即方程的一个解为7， 将x=7代入原方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0， 解得：m=10或m=4，

当m=10时，方程为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或x=15， ∵7+7＜15，不能组成三角形；

𝑏

𝑐

第 3 页 共 14 页

当m=4时，方程为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或x=7， 此时三角形的周长为：7+7+3=17．

【考点】一元二次方程的根与系数的关系，三角形三边关系

【解析】【分析】（1）根据韦达定理得x1+x2、x1x2 ， 再代入到（x1﹣1）（x2﹣1）=28即x1x2﹣（x1+x2）+1=28中解方程可得m的值，两个值根据方程有解考虑取舍；

（2）将x=7代入方程求出m的值，将m的两个值分别代回原方程，分别解每一个方程求出x的值，根据三角形三边关系取舍，最后三边相加可得周长． 7.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为x1、x2 ， 且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值． 【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根， ∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0， ∴m≥﹣12；

（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2， ∵x12+x22=31+|x1x2|，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|， 即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2， 解得m=2，m=﹣14（舍去）， ∴m=2．

【考点】根的判别式，根与系数的关系

【解析】【分析】（1）根据根的判别式的意义得到△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，再变形已知条件得到（x1+x2）2﹣4x1x2=31+|x1x2|，代入即可得到结果．

8.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？ 【答案】解：设该玩具的销售单价应定为 𝑥 元 根据题意，得 (𝑥−30)[600−10(𝑥−40)]=10000 解得 𝑥1=50,𝑥2=80

当 𝑥=50 时， 600−10(𝑥−40)=500 件，当 𝑥=80 时， 600−10(𝑥−40)=200 件. 答：该玩具的销售单价定为 50 元时，售出500件；或售价定为 80 元时售出200件. 【考点】一元二次方程的应用

【解析】【分析】根据题意找出相等的关系量，购进时的单价是30元，销售单价定为 x 元时，一件的利润是( x − 30 )，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，得到销售的数量是600-10（x-40），得到等式，求出x的值，该玩具销售单价和数量. 9.已知a、b、c为三角形三个边， 【答案】是

+bx（x-1）=

-2b是关于x的一元二次方程吗？

1

第 4 页 共 14 页

【考点】一元二次方程的定义，三角形三边关系 【解析】解答：化简 条边，

∴a+b＞c，即a+b-c＞0， ∴

+bx（x-1）=

-2b是关于x的一元二次方程．

-2b化简整理成（a+b-c）

-bx+2b=0，然后根据一元二次方程的定义

+bx（x-1）=

-2b ， 得（a+b-c）

-bx+2b=0， ∵a、b、c为三角形的三

分析：首先将 解答．

+bx（x-1）=

10.如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞

AD）．

（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；

（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 【答案】（1）解：∵AD+BC-2+AB-2=40，AD=BC=x，∴AB=-2x+44； （2）解：由题意得，（-2x+44）•x=192，即2x2-44x+192=0， 解得x1=6，x2=16， ∵x2=16＞ ∴AD=6，

∴AB=-2×6+44=32．

答：AD长为6米，AB长为32米． 【考点】一元二次方程的应用

【解析】【分析】（1）根据图形可得AD+BC-2+AB-2=40，利用已知AD=BC=x，可得AB与x的代数式； （2）由（1）中的代数式和矩形场地的面积为192可得关于x的一元二次方程，解方程判断x的值是否满足条件即可.

11.某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元。为了迎接“六一”儿童节和扩大销售，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，并且尽快减少库存，那么每件童装应降价多少元？

【答案】解：设每件童装应降价x元，由题意得： （40-x）（20+2x）=1200， 解得：x1=20，x2=10， 当x=20时，20+2x=60（件）， 当x=10时，20+2x=40（件），

第 5 页 共 14 页

443

（舍去），

∵60>40， ∴x2=10舍去.

答：每件童装应降价20元. 【考点】一元二次方程的应用

【解析】【分析】设每件童装应降价x元，由题意得：（40-x）（20+2x）=1200，解一元二次方程，再由尽快减少库存得到答案.

12.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1cm，AB=3cm，BC=5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts（t＞0）

（1）求线段CD的长；

（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？ 【答案】（1）解：如图1，作DE⊥BC于E，则四边形ADEB是矩形．

∴BE=AD=1，DE=AB=3， ∴EC=BC﹣BE=4，

在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2 ， ∴DC= √𝐷𝐸2+𝐶𝐸2 =5厘米；

（2）解：∵点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒， ∴BP=t厘米，PC=（5﹣t）厘米，CQ=2t厘米，QD=（5﹣2t）厘米， 且0＜t≤2.5， 作QH⊥BC于点H，

∴DE∥QH，

第 6 页 共 14 页

∴∠DEC=∠QHC， ∵∠C=∠C， ∴△DEC∽△QHC，

∴ 𝑄𝐻 = 𝑄𝐶 ，即 𝑄𝐻 = 2𝑡 ， ∴QH= 5 t，

∴S△PQC= 2 PC•QH= 2 （5﹣t）• 5 t=﹣ 5 t2+3t， S四边形ABCD= 2 （AD+BC）•AB= 2 （1+5）×3=9， 分两种情况讨论：

①当S△PQC：S四边形ABCD=1：3时， ﹣ 5 t2+3t= 3 ×9，即t2﹣5t+5=0， 解得t1=

5−√52

3

11

1

1

1

6

3

6𝐷𝐸

𝐷𝐶

3

5

，t2= 5+√5 （舍去）；

2

②S△PQC：S四边形ABCD=2：3时， ﹣ 5 t2+3t= 3 ×9，即t2﹣5t+10=0， ∵△＜0， ∴方程无解，

∴当t为 5−√5 秒时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分．

2

3

2

【考点】一元二次方程的应用，勾股定理的应用，相似三角形的应用

【解析】【分析】（1）作DE⊥BC于E，根据勾股定理即可求解；（2）线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分，分两种情况进行求解．

二、综合题

13.解下列方程： （1）(2x-1)2=4

（2）𝑥2−4𝑥+1=0 （用配方法） （3）x2+2x=4．

（4）2(𝑥−3)2=𝑥(𝑥−3) 【答案】（1）解：∵(2x-1)2=4， ∴2x-1=2或2x-1=-2， ∴x1= 2 ，x2=- 2 ， （2）解：∵x2-4x+1=0， ∴x2-4x+4=-1+4， ∴（x-2）2=3，

∴x1= 2+√3 ， x2= 2−√3 ，

第 7 页 共 14 页

3

1

（3）解：∵x2+2x=4， ∴x2+2x+1=4+1， ∴（x+1）2=5，

∴x1=-1+ √5 ，x2=-1- √5 ， （4）解：∵2 ( x − 3 ) 2 = x ( x − 3 )， ∴（x-3）【2（x-3）-x】=0， ∴（x-3）（x-6）=0， ∴x1=3，x2=6，

【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法，解一元二次方程﹣配方法，解一元二次方程﹣公式法，解一元二次方程﹣因式分解法

【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的解法——直接开平方法解方程即可. （2）根据一元二次方程的解法——配方法和直接开平方法解方程即可. （3）根据一元二次方程的解法——配方法和直接开平方法解方程即可. （4）根据一元二次方程的解法——因式分解法解方程即可. 14.如图所示，在长和宽分别是

、

的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为

的正方形．

（1）用 （2）当

， ， 表示纸片剩余部分的面积；

＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求剪去的正方形的边长．

，

，∴

，

＝6，

【答案】（1）解：纸片剩余部分的面积为： （2）解：当a＝6，b＝4时，根据题意有： ∴

即

．

，

∴剪去的正方形的边长

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法

【解析】【分析】能根据实际问题列方程，利用平方差进行因式分解求方程解，会对解进行取舍． 15.已知关于x的一元二次方程x2+2x+a=0，

（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； （2）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围． 【答案】（1）解：将 𝑥=1 代入方程 𝑥2+2𝑥+𝑎=0. 得， 1+2×1+𝑎=0， 解得: 𝑎=−3.

方程为 𝑥2+2𝑥−3=0. 设另一根为 𝑥1, 则 1⋅𝑥1=−3,

𝑥1=−3.

（2）解： 𝛥＝4－4𝑎，

第 8 页 共 14 页

∵方程有两个不等的实根，

∴𝛥>0,

即 4－4𝑎>0， ∴𝑎<1.

【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】（1）将x=1代入方程求出a的值，再将a的值代入原方程，解方程就可求出方程的另一个根。

（2）利用方程有两个不相等的实数根即b2-4ac＞0，建立关于a的不等式，求解即可。

16.商场购进某种新商品的每件进价为120元，在试销期间发现，当每件商品的售价为130元时，每天可销售70件；当每件商品的售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答下列问题．

（1）当每件商品的售价为140元时，每天可销售________件商品，商场每天可盈利________元； （2）设销售价定为x元时，商品每天可销售________件，每件盈利________元； （3）在销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少时，商场每天盈利达到1500元． 【答案】（1）60；120 （2）200﹣x；x﹣120

（3）解：根据题意得：（200﹣x）（x﹣120）=1500， 整理得：x2﹣320x+25500=0， 解得：x1=150，x2=170．

答：每件商品的销售价定为150元或170元时，商场每天盈利达到1500元 【考点】一元二次方程的应用

【解析】【解答】解：（1.）70﹣（140﹣130）=60（件）， （140﹣120）×60=1200（元）． 故答案为：60；1200．

（2.）设销售价定为x元时（x≥130），商品每天可销售量为70﹣（x﹣130）=200﹣x（件）， 每件的利润为x﹣120（元）． 故答案为：200﹣x；x﹣120．

【分析】（1）根据“当每件商品的售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件”，即可算出售价为140元时的日销售量，再根据总盈利=单件盈利×销售数量即可求出商场每天的盈利；（2）根据“当每件商品的售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件”，即可列出售价为x元时的日销售量，再根据盈利=售价﹣进价即可求出单件盈利；（3）根据总盈利=单件盈利×销售数量结合商场每天盈利达到1500元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．

17.某服装批发商计划以每件500元的单价对外批发销售某种品牌的羽绒服，由于临近换季，为了尽快清仓，回收资金，对价格经过两次下调后，以每件320元的单价对外销售． （1）求平均每次下调的百分率；

（2）请按此调幅，预测第三次下调后的销售单价是多少元？ 【答案】（1）解：设平均每次下调的百分率为x． 由题意，得500（1﹣x）2=320．

解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8（不符合题意）， 符合题目要求的是x1=0.2=20%． 答：平均每次下调的百分率是20%．

第 9 页 共 14 页

（2）解：预计第三次下调后的销售单价为320（1﹣20%）=320×0.8=256， 答：平均每次下调的百分比为20%，预计第三次下调后的销售单价为256元 【考点】一元二次方程的应用

【解析】【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x．这是一道平均降低率的问题，利用公式a(1-x)n=p,(其中a是降低开始的量，n是降低次数，p是降低结束达到的量）列出方程求解检验即可； （2）第三次下调就是在320的基础上下调，根据320（1﹣20%）计算即可，

18.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】（1）解：（1）△ABC是等腰三角形； 理由：∵x=﹣1是方程的根，

∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0， ∴4b2﹣4a2+4c2=0， ∴a2=b2+c2 ， ∴△ABC是直角三角形；

（3）解：当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为： 2ax2+2ax=0， ∴x2+x=0，

解得：x1=0，x2=﹣1

【考点】一元二次方程的应用

【解析】【分析】（1）根据x=﹣1是一元二次方程的根，代入得到a=b，即△ABC是等腰三角形；（2）因为方程有两个相等的实数根，所以△=0，得到a2=b2+c2 ， 由勾股定理的逆定理，得到△ABC是直角三角形；（3）由△ABC是等边三角形，得到a=b=c，代入方程，求出x的值即可.

19.随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．

（1）该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个，求该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；

（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t．

第 10 页 共 14 页

①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；

②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？

【答案】（1）解：设该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程： 2（1+x）2=2.88，

解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）

（2）解：①设规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100﹣3t，

由题意得：t+4t+3（100﹣3t）=200， 解得：t=25． 答：t的值是25．

②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，

由题意得：y=t+4t+3（100﹣3t）=﹣4t+300（10≤t≤30）， ∵k=﹣4＜0，

∴y随t的增大而减小．

当t=10时，y的最大值为300﹣4×10=260（个）， 当t=30时，y的最小值为300﹣4×30=180（个）

【考点】一元二次方程的应用，一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用-和差倍分问题 【解析】【分析】（1）设该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据“2015年的床位数=2013年的床位数×（1+增长率）的平方”可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；（2）①设规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100﹣3t，根据“可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出关于t的一元一次方程，解方程即可得出结论；②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，根据“可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出y关于t的函数关系式，根据一次函数的性质结合t的取值范围，即可得出结论．

20.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点A出发，PF交CD于点F，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；过点P作直线PF∥AD，过点F作EF⊥BD，且与AD、BD分别交于点E、Q；连接PE，设点P的运动时间为t（s）（0＜t＜10）．

𝐷𝐺𝐺𝐸

=𝐴𝐻 解答下列问题：

𝐻𝐶

（1）填空：AB=________ cm； （2）当t为何值时，PE∥BD； （3）设四边形APFE的面积为y（cm2） ①求y与t之间的函数关系式；

②若用S表示图形的面积，则是否存在某一时刻t，使得S四边形APFE= 25 S菱形ABCD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）10

（2）解：∵在菱形ABCD中，∴AB∥CD，∠ADB=∠CDB，

8

第 11 页 共 14 页

又∵PF∥AD，

∴四边形APFD为平行四边形， ∴DF=AP=t，

又∵EF⊥BD于Q，且∠ADB=∠CDB， ∴∠DEF=∠DFE， ∴DE=DF=t， ∴AE=10﹣t，

当PE∥BD时，△APE∽△ABD， ∴ 𝐴𝑃

𝐴𝐸

𝐴𝐵=𝐴𝐷 ， ∴ 𝑡

10−𝑡10=10

，

∴t=5，

∴当t=5时，PE∥BD

（3）蛸：①∵∠FDQ=∠CDO，∠FQD=∠COD=90°，∴△DFQ∽△DCO． ∴ 𝑄𝐹

𝐷𝐹𝑂𝐶=𝐷𝐶 ， 即

𝑄𝐹6=

𝑡

10

， ∴ 𝑄𝐹=

3𝑡5

．

∴ 𝐸𝐹=2𝑄𝐹=6𝑡5

，

同理， 𝑄𝐷=

4𝑡5

，

如图，过点C作CG⊥AB于点G，

∵S1

菱形ABCD=AB•CG= 2 AC•BD， 即10•CG= 1

2 ×12×16， ∴CG= 1

2 ．

∴S平行四边形APFD=DF•CG=

48𝑡5

，

第 12 页 共 14 页

∴S△EFD= 2 EF•QD= ×

2∴ 𝑦=

48𝑡5

116𝑡5

×

4𝑡5

=

12𝑡225

−

12𝑡225

，

8

②当S四边形APFE= 25 S菱形ABCD 则

48𝑡5

−

12𝑡225

=

825

×(×12×16) ，

2

1

即t2﹣20t+=0，

解这个方程，得t1=4，t2=16＞10（不合，舍去） ∴存在t=4s，使得S四边形APFE= 25 S菱形ABCD ．

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：（1）∵在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm， ∴BO=DO=8cm，AO=CO=6cm， ∴AB= √82+62 =10（cm）， 故答案为：10；

【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直且平分得出BO=DO=8cm，AO=CO=6cm，AC⊥BD，然后利用勾股定理得出AB;

(2) 根据菱形的性质及PF∥AD，判断出四边形APFD为平行四边形，根据平行四边形的性质得出DF=AP=t，根据等腰三角形的内角和得出∠DEF=∠DFE，从而根据等角对等边得出DE=DF=t，进而得AE=10﹣t，由于△APE∽△ABD，当PE∥BD时，根据相似三角形对应边成比例列出关于t的方程，从而得出结论当t=5时，PE∥BD；

（3） 首先根据已知条件判断出△DFQ∽△DCO，然后根据相似三角形对应边成比例得出关于t的方程，从 Q D = 5, 过点C作CG⊥AB于点G，而表示出 Q F=5, E F = 2 Q F = 5，同理，根据菱形的面积公式得出CG=2，从而根据平行四边形的面积公式及三角形的面积公式表示出关于t的函数解析式：y=

APFE=

8

3𝑡6𝑡4𝑡1

48𝑡12𝑡2

-;②当525

S四边形

8

25

S菱形ABCD时，列出关于t的方程，t2﹣20t+=0，解这个方程，求出t的值检验并得出结论。

有两个非零实数根．

21.已知关于x的一元二次方程 （1）求m的取值范围；

（2）两个非零实数根能否同为正数或同为负数？若能，请求出相应的m的取值范围，若不能，请说明理由．

【答案】（1）解：关于x的一元二次方程 ∴ ∴

且

；

，

有两个非零实数根，

第 13 页 共 14 页

（2）解：假设两个非零的实数根同号，那么两根的积为正即 ∴ ∴

，又由（1）可知：

．

，

，

【考点】根的判别式，根与系数的关系 【解析】【解答】（1）解：关于x的一元二次方程 ∴ ∴

且

；

，

，

有两个非零实数根，

（2）解：假设两个非零的实数根同号，那么两根的积为正即 ∴ ∴

，又由（1）可知：

．

，

【分析】（1）的关键在于非零实数根即常数项不为0；（2）的关键在于务必结合（1）中的m的取值范围确定m的最终取值范围，因为只有这样才可以保证方程有两个实数根．

22.为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，我市积极落实节能减排，推行绿色建筑，据统计，我市2014年的绿色建筑面积约为950万平方米，2016年达到了1862万平方米．若2015年、2016年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题： （1）求这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率；

（2）2017年我市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米．如果2017年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2017年我市能否完成计划目标？

【答案】（1）解：设这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率为x，950（1+x）2=1862， 解得，x1=0.4，x2=﹣2.4（舍去），

即这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率为40% （2）解：由题意可得，1862（1+40%）=2606.8， ∵2606.8＞2400，

∴2017年我市能完成计划目标，

即如果2017年仍保持相同的年平均增长率，2017年我市能完成计划目标 【考点】一元二次方程的应用

【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程从而可以求得这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率；（2）根据（1）中的增长率可以求得实际到2017年绿色建筑的面积，然后与计划的作比较，即可解答本题．

第 14 页 共 14 页