高二数学《圆的一般方程》教学设计

高二数学《圆的一般方程》教学设计

教材版本：人教版（必修） 学科：数学 年级：高二年级 册别：第二册（上） 课题：第七章第二节圆的方程第二课时教学设计 一、教材分析

圆的方程这节内容是学习圆锥曲线的基础，由于圆的方程应用及其广泛，所以对圆的一般方程的要求层次是“掌握”，又由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F,对它的理解带来一定的困难。因而本节的难点是对圆的一般方程的认识，掌握和应用。突破难点的关键是抓住一般方程的特点。 二、学情分析

圆的一般方程是学生在学习了圆的标准方程后，又掌握了利用待定系数法求圆的标准方程的基础上进行研究的。 但由于学生基础差、学习程度较浅，且对圆的标准方程运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。 三、教法分析

为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“合作探究与启发式教学法”，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，教师组织学生分析讨论、合作探究。 四、学法分析

通过展开圆的标准方程，归纳总结得出圆的一般方程，通过求圆的方程，加深对数形结合思想和待定系数法的理解，通过应用圆的一般方程，熟悉用待定系数法求解的过程。 五、设计思想

本节课的设计思想是：以多媒体网络教学平台为依托，为学生营造一个探究学习的环境，让他们参与到多媒体教学中来，探究新知，发现规律，解决问题。 六、教学策略

结合本节内容的特点，可以向学生渗透多种数学思想方法：:配方法、待定系数法、数形结合的思想、转化的思想、 分类讨论的思想、方程的思想，同时对学生的观察类比，创新等多种能力的培养有利，通过求圆的一般方程使学生又进一步熟悉待定系数法的应用。

七、教学目标 （一）知识与技能

使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。 （二）过程与方法

通过对方程x＋y＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探讨，让学生经历知识形成的过程，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力，并使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程的方法。 （三）情感态度价值观

渗透数形结合、转化、分类讨论与方程等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。 八、教学重点、难点

1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。

(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练。)

2．难点：圆的一般方程的探讨过程。

(解决办法：通过对方程配方分三种讨论得条件。) 九、教具：多媒体、黑板、圆规、三角板 十、【教学过程与设计】(课堂实录) 环 节 意图 一、复习引入： 师：同学们！上节课我们研究了圆学生活动：回答问题，复习巩并填写学案： 固圆的的标准方程，请同学们回忆 一下问题1：圆的标准方程的形式是标准方圆的标准方程，并填写学案， 怎样的？其中圆心的坐标和半 程，进一径各是什么？ 步明确 其结构 特征，为教师：提出问题，并对学生的回答 新知识若圆心在坐标原点，半径为r的加以肯定。 作铺垫。 圆的方程怎么表示？ 学生带 着疑问， 教师活动：让学生先思考，自学生活动：动笔展开方2程(x-a)+(y-b)2=r2. 主探究， 引导学生得出方程形式： x2+y2+Dx+Ey+F=0，提出课题 亲自动笔实践，发现新问题，引入课题。 教学内容 教师活动 学生活动 设计22

旧 知 回 顾 、 新 知 铺 问题2：若把标准方程222(x-a)+(y-b)=r展开后，会得垫 出怎样的形式？

引 二、新课讲解 入 新 课 、 课题：圆的一般方程 提 出 课 题 问题3：是不是每个形如22x+y+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线都是圆呢？ 合 作 探 讨 师：这就是我们今天要学习的内容：圆的一般方程． 教师板书：圆的一般方程 使学生明确本节课的学习内容。 教师活动：提出问题. 引导学生思学生活动：先思考，自主探究后，再与考圆的方程的要求，想到利用配方前后同学合作交流。 法将展开式化成圆的标准方程的在教师引导形式，并引导学生总结在什么情况生生互动：下，合作交流，共同探下，它的轨迹是圆、点或无轨迹。 讨方程组织学生分析讨论，给学生充x2+y2+Dx+Ey+F=0表示足的时间讨论，并作适当的引导。 的图形。 【师生互动】：教师巡视指导，参与学生的讨论。 共同探讨后，达成共识：先将方程配方，再与圆的标准方程比较。 让学生经历知识形成的过程，体会数形结合思想，加深对知识的理解。

、 合 交 流 1、探讨形成：将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方 教师预设：先将方程配方，再与圆学生活动：在教师的引让学生的标准方程比较。教师板书： DEDE4F(x)2(y)2 224① 22导下通过观察、分析后积极主发现： 当D+E-4F＞0时 22作 动地参与到讨论中来， 成为学(1)当D2+E2-4F＞0时，方程①表示 一个圆； 师：请同学们观察方程①，可以看习的主方程①表示一个以出什么？ 人， 教师提示学生：先把方程①与标准方程比较，再分类讨论。 当D2+E2-4F＞0时，方程①表示什么？ 径的圆； 让学生(DE,)为圆心，经历知22识形成的过程，1D2E24F为半2体会知识的来龙去脉，加深对22 教师继续引导：当D+E-4F = 0（2）当D+E-4F = 0时，方程22 学生回答：当D+E-4F 知识的时，又表示什么？ ①表示一个点； 理解。 = 0时，方程①表示一教师预设：当学生回答不明确时， 教师作适当的提示：当D2+E2-4F = 个点 0时，方程① DE (,) 22 DE 只有实数解x,y 22 教师设问：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 (3)当D2+E2-4F＜0时，方程①不学生回答：没有，因而有没有实数解？． 它不表示任何图形 表示任何图形。 使学生 教师活动：教师在学生基础上梳理学会归 学生活动：归纳总结：纳总结 思路，板书：方程2.归纳总结： 方程x2+y2+Dx+Ey+F=022x+y+Dx+Ey+F=0表示的图形分 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图表示的图形分别是圆、 别是圆、点或不表示任何图形。 点或不表示任何图形。 形分别是圆、点或不表示任何图师：根据以上结论，请同学们给出 形． 圆的一般方程的定义。 使学生.归 学生口答： 【教师活动】板书： 明确圆纳 总 当D2+E2-4F＞0时，方的一般圆的一般方程的定义 程x2+y2+Dx+Ey+F=0称方程的结 3.提出概念：（圆的一般方为圆的一般方程．圆心定义。 当D2+E2-4F＞0时，方程、 程的定义） x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方坐标为：(D,E)，半 获 22程。 得 22

新 知 DE圆心坐标为：(,)，半径为：22径为：122DE4F 2 122DE4F 2 教师强调：不要死记结果，要熟记 通过配方求圆心和半径的方法。 教师活动：巡视学生完成情况，对加强巩学生的回答作点评，给出正确答学生活动：完成，固会通案，同时强调：方程中隐含条件以并回答问题。 及分类讨论的情况。 过配方 法判断方程所表示的图形和求圆的半径及圆心坐标。 4.巩固练习： 1、下列方程各表示什么图形？ (1)x2y20 (2)x2y22x4y60 222 (3)xy2axb0 直 2、求下列各圆的圆心和半径 22(1)xy6x0 接 22(2)xy2by0 应 222(3)xy2ax23y3a0 用 、 内 化 新 知 深 入 探 教师设问：圆的一般方程有什么特点？ 学生活动：归纳结论： 让学生通过归 教师活动：引导学生比较二元二次(1)x2和y2的系数相纳得出方程的一般形式同，不等于零，即A=C圆的一问题4：圆的一般方程有什么特Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，与圆的一≠0； 般方程22点？ 般方程x+y+Dx+Ey+F=0，的形式22(D+E-4F＞0)。 (2)没有xy项，即B=0； 特点，体 会圆的教师强调：1.条件(1)、(2)是二元 标准方 二次方程(2)表示圆的必要条件，程和圆 但不是充分条件； 的一般 方程各2.只要确定了D、E、F即可写出圆 自的优的一般方程。 点。 【学生活动】： 教师活动：巡视学生完成情况，并请一位学生上黑板展示，教师点评完成，认真作答，学生自愿到黑板上展学生的回答。 教师预设： 解：（利用待定系数法） 示各自解法： 进一步巩固学生能够利用圆究 、 自 主 学 习 三、例题精讲

举 例 分 题型一：利用圆的标准方程设圆的方程为： 求圆的方程，并化为一般方程。 例1 求过点A(5，-1)，圆心在点C(8，-3)的圆的一般方程，并化为一般方程 析 题型二:求利用圆的一般方程求、 圆的方程： 应例2 求过三点O(0，0)、M1(1，用1)、M(4，2)的圆的方程。 2新知 的标准方程求 (x8)2(y3)2r2 解圆的∵圆经过点A（5，-1） 方程，并加强圆∴(58)2(13)2r2 的标准2r13 方程与22 ∴(x8)(y3)13 一般方 程的转学生活动：在老师的引化。 导下，认真完成，并体教师活动：引导学生尝试利用圆的方程的两种形式求解圆的方程，并会如何根据题目条件, 引导学生小结例1、例2：一般说恰当选择圆方程形式。通过利来，如果由已知条件容易求圆心的用圆的坐标、半径或需要用圆心的坐标、 方程的半径列方程的问题，往往设圆的标 两种形准方程；如果已知条件和圆心坐标 式求解或半径都无直接关系，往往设圆的 圆的方一般方程。 程，进一 步体会教师预设： 各自的解：（利用待定系数法） 优点，并设圆的方程为： 掌握待 定系数x2+y2+Dx+Ey+F=0， 法求解由题意得， 圆的方F=0 程的方 D+E+F+2=0 法。 4D+2E+F+20=0 解之得，D=-8，E=6 ∴圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0， 教师活动：让学生先思考，自学生活动：完成. 主完成，教师纠错，并给予适当的 点评，出示正确答案. 四、反馈练习：求过三点A(-1， 让学生 进一步5)、B(-2，-2)、C(5，5)的圆的方 体会如 程。 何根据 题目条 件,恰当 选择圆反 方程形式，并加馈 强待定训

练 、 形 成 方 法 系数法求解圆的方程的方法. 课 堂 小 结 、 升 华 课 题 教师活动：引导学生回顾本节课所学生活动：回顾本节课通过学生的小学知识要点，点评学生小结，并加的知识要点与方法，认结，加深问题5：通过这节课的学习以归纳补充： 真总结，并认真听取老对新知你获得了哪些知识？ 识的记师的补充。 1.本节课的主要知识点： 忆，通过 老师的（1）圆的一般方程及其形式特点； 补充升华本节（2）圆的一般方程与圆的标准方 课的课程的转化； 题。 （3）用待定系数法求圆的方程。 （2）方法性小结： 2.本节课用的数学方法和数学思简洁明问题6：通过这节课的学习想: 了概括（1）知识性小结：

你掌握了哪些数学思想和方法？ ⑴数学方法: 配方法、待定系数法。 ⑵数学思想: ① 数形结合的思想； ② 转化的思想； ③ 分类讨论的思想； ④ 方程的思想。 本节课的重要知识，学生易于理解记忆。 针对学生实际，对课后书面作业实分两个层次留作业，第巩固所学新知○1巩固型作业：（必做题） 施分层设置。 一层次要求所有学生识，加深都要完成，第二层次要对新知课 P90 习题7.6 5，6 识的理求学有余力的同学完后 解。能在成。 ○2思维拓展型作业：（选作题） 作 作业中发现和业 弥补教学中的不足。 1、分层作业 十一、板书设计 一、复习引入：把圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2展开： 二、新课讲解 课题：圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方：D2E2D2E24F(x)(y) 224提出概念：圆的一般方程的定义 三、例题精讲 例1、 例2 四、反馈练习 五、课堂小结 （1）知识性小结 （2）方法性小结 六、课后作业 归纳总结：当D2+E2-4F＞0时， 当D2+E2-4F = 0时， 当D2+E2-4F＜0时，