第3节 机械能守恒定律及其应用
一、重力做功与重力势能 1．重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关。 (2)重力做功不引起物体机械能的变化。 2．重力势能
(1)公式：Ep＝mgh。 (2)特性：
①标矢性：重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同。
②系统性：重力势能是物体和地球所组成的“系统”共有的。 ③相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关。重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关。
3．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加。
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量。即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
二、机械能守恒定律 1．机械能
动能和势能统称为机械能，其中势能包括重力势能和弹性势
能。
2．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
(2)守恒的条件：只有重力或系统内的弹力做功。 1212
(3)守恒表达式：mgh1＋mv1＝mgh2＋mv2。
221．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)重力势能的大小与零势能参考面的选取有关。 (√) (2)重力势能的变化与零势能参考面的选取有关。 (×) (3)克服重力做功，物体的重力势能一定增加。 (4)做曲线运动的物体机械能可能守恒。
(√) (√)
(5)物体初、末状态的机械能相等，则物体的机械能守恒。
(×)
(6)只有弹簧弹力对物体做功，则物体机械能守恒。 (×) 2．(粤教版必修2P70讨论与交流改编)在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出。不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小( )
A．一样大
B．水平抛出的最大 C．斜向上抛出的最大 D．斜向下抛出的最大 [答案] A
3.(人教版必修2P78T3改编)(多选)如图所示，在地面上以速度
v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。
若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A．重力对物体做的功为mgh B．物体在海平面上的势能为mgh 12
C．物体在海平面上的动能为mv0－mgh
212
D．物体在海平面上的机械能为mv0
2[答案] AD
4.(人教版必修2P80T2改编)一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为
m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过A处时对轨道的压力为( )
A．2mg C．4mg
B．3mg D．5mg
mv2BC [小球恰好能通过轨道2的最高点B时，有mg＝，小
1.8Rmv2A球在轨道1上经过A处时，有F＋mg＝，根据机械能守恒，有R1212
1.6mgR＝mvA－mvB，解得F＝4mg，C正确。]
22
机械能守恒定律的判断 [依题组训练]
1．(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
甲 乙 丙 丁
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A的机械能守恒
B．乙图中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
CD [甲图中重力和系统内弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A的机械能不守恒，A错误。 乙图中物体
B除受重力外，还受到弹力和摩擦力作用，弹力不做功，但摩擦力
做负功，物体B的机械能不守恒，B错误。丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，C正确。 丁图中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D正确。]
2.(多选)如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放，让小球自由摆下。不计空气阻力。在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球的机械能守恒 B．小球的机械能减少
C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变 D．小球和弹簧组成的系统机械能守恒
BD [小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了负功，所以小球的机械能减少，故选项A错误，B正确；在此过程中，由于有重力和弹簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的重力势能等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。]
3.(多选)质量分别为m和2m的两个小球A和B，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一水平固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B球顺时针转动到最低位置的过程中( )
A．B球的重力势能减少，动能增加，B球和地球组成的系统机械能守恒
B．A球的重力势能增加，动能也增加，A球和地球组成的 系统机械能不守恒
C．A球、B球和地球组成的系统机械能守恒 D．A球、B球和地球组成的系统机械能不守恒
BC [B球从水平位置转到最低点的过程中，重力势能减少，动能增加，A球重力势能增加，动能增加，A球和地球组成的系统机械能增加。由于A球、B球和地球组成的系统只有重力做功，故系统机械能守恒，A球和地球组成的系统机械能增加，则B球和地
球组成的系统机械能一定减少，选项B、C正确。]
机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用做功及守恒条件判断。
(2)利用机械能的定义判断：若物体或系统的动能、势能之和保持不变，则机械能守恒。
(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，内部也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒。
单物体机械能守恒问题 [讲典例示法]
1．表达式 2．一般步骤 3．选用技巧
在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。
11
[典例示法] 如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧
42
BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径
为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开24始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。 审题指导：
RR题干关键 光滑固定圆弧轨道 获取信息 小球在轨道内运动过程中不受摩擦力，弹力与速度方向垂直 小球能否运动到C点 由小球经C点的最小速度确定 [解析](1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒定律得
REkA＝mg 4
设小球在B点的动能为EkB，
R
同理有EkB＝mgR＋
4
EkB解得＝5。
EkA(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心力公式
v2C有N＋mg＝m
R2
应满足mg≤m2vC2
R R12
由机械能守恒定律有mg＝mvC
42
得出小球恰好可以沿轨道运动到C点。 [答案](1)5 (2)见解析 [跟进训练]
1.如图所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球
沿轨道做完整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，在最高点时对轨道的压力大小为N2。重力加速度大小为g，则N1－N2的值为( )
A．3mg C．5mg
B．4mg D．6mg
D [设小球在最低点时速度为v1，在最高点时速度为v2，根据
v2v212牛顿第二定律有，在最低点：N1－mg＝m，在最高点：N2＋mg＝m；RR1212
从最高点到最低点，根据机械能守恒有mg·2R＝mv1－mv2，联立
22可得：N1－N2＝6mg，故选项D正确。]
2.(2019·宁夏石嘴山三中月考)如图所示，P是水平面上的固定圆弧轨道，从高台边B点以速度v0水平飞出质量为m的小球，恰能从左端A点沿圆弧切线方向进入。O是圆弧的圆心，θ是OA与竖直方向的夹角。已知m＝0.5 kg，v0＝3 m/s，θ＝53°，圆弧轨道半径R＝0.5 m，g取10 m/s，不计空气阻力和所有摩擦，求：
(1)A、B两点的高度差；
(2)小球能否到达最高点C？如能到达，小球对C点的压力大小为多少？
[解析](1)小球从B到A做平抛运动，到达A点时，速度与水平方向的夹角为θ，则有
2
vA＝
＝5 m/s
cos θv0
根据机械能守恒定律，有 1212
mgh＝mvA－mv0
22
解得A、B两点的高度差h＝0.8 m。
(2)假设小球能到达C点，由机械能守恒定律得 1212
mvC＋mgR(1＋cos θ)＝mvA 22代入数据解得vC＝3 m/s
小球通过C点的最小速度为v，
v2
则mg＝m，v＝gR＝5 m/s
R因为vC>v，所以小球能到达最高点C 在C点，由牛顿第二定律得
v2Cmg＋F＝m
R代入数据解得F＝4 N
由牛顿第三定律知，小球对C点的压力大小为4 N。
[答案] 见解析
多物体机械能守恒问题 [讲典例示法]
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关
系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．几种实际情景的分析 (1)速率相等情景
用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 (2)角速度相等情景
杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
(3)关联速度情景
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
[典例示法] (2019·泰安二模)如图所示，可视为质点的小球1、2由不可伸长的细绳相连，小球1悬挂在定滑轮O的下方，小球2在半径为R的半球形固定容器内，定滑轮O与容器的边缘D及球心C在同一水平线上。系统静止时，小球1在定滑轮正下方R处的A点，小球2位于B点，BD间的细绳与水平方向的夹角θ＝60°。已知小球1的质量为m，重力加速度为g，不计一切摩擦，忽略滑轮的质量。(结果用根号表示)
(1)试求小球2的质量；
(2)现将小球2置于D处由静止释放(小球1未触及地面)，求小球1到达A点时的动能；
(3)在第(2)问中，小球2经过B点时，突然剪断细绳，求小球2经过容器最低点时对容器的压力。
思路点拨：解此题要注意以下关键信息
(1)静止时，细绳的拉力等于小球1的重力，小球2受重力、拉力、支持力作用。
(2)小球1到达A点时的速度等于小球2的速度沿绳子的分速度。
(3)绳断后小球2的初速度是B点时的切向速度。
[解析](1)设系统静止时细绳中的拉力大小为T。小球受到容器的支持力FB方向沿BC。由几何关系知△DBC为正三角形，所以
∠DBC＝θ ①
对小球1、小球2，根据共点力的平衡条件知
T＝mg Tcos θ＝FBcos θ Tsin θ＋FBsin θ＝m2g 解得：m2＝3m。
② ③ ④ ⑤
(2)设经过题中图示位置时小球1的速度为v1，小球2的速度为v2。v1沿绳竖直向上，v2沿圆弧切线斜向下。
由几何关系知，v2与DB延长线的夹角为90°－θ ⑥ 由运动关系可知，v1与v2应满足
v2sin θ＝v1
由几何关系知，BD＝R
⑦ ⑧
根据机械能守恒定律得
1212
m2gRsin θ－mgR＝mv1＋m2v2
2212
此时小球1的动能Ek＝mv1
2解得Ek＝
2
2v2＝4
⑨
⑩
3mgR43－3
＝mgR 263＋43
⑪
4gR3gR2，v1＝。 3＋343＋3
(3)细绳剪断后，小球2以v2为初速度，从B点沿圆弧运动到最低点，设经过最低点的速度为v3，
根据机械能守恒定律，得 1212
m2v2＋m2g(R－Rsin θ)＝m2v3 22
⑫
设小球2经过容器最低点时受到的支持力为N，根据牛顿第二定律得
v23N－m2g＝m2
R353－23
解得N＝mg 13
⑬
⑭
由牛顿第三定律知，小球2对容器的压力大小也为 353－23
mg，方向向下。 13
⑮
43－3353－23
[答案](1)3m (2)mgR (3)mg，方向向下
2613
[跟进训练]
轻绳连接的物体系统
1.如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，
B上升的最大高度是( )
A．2R 4RC. 3
5RB．
32RD．
3
C [设B球质量为m，A球刚落地时，两球速度大小都为v，1222
根据机械能守恒定律2mgR－mgR＝(2m＋m)v得v＝gR，B球继续
23
v2R4
上升的高度h＝＝，B球上升的最大高度为h＋R＝R，故选项C
2g33
正确。]
轻杆连接的物体系
2.(多选)如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则( )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功 B．a落地时速度大小为2gh
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为
mg
BD [由题意知，系统机械能守恒，设某时刻a、b的速度分别为va、vb，此时轻杆与竖直杆的夹角为θ，分别将va、vb分解，如图所示。
因为轻杆不可伸长，所以沿轻杆的分速度v∥与v′∥是相等的，即vacos θ＝vbsin θ。当a滑至地面时θ＝90°，此时vb＝0，12
由系统机械能守恒得mgh＝mva，解得va＝2gh，选项B正确；由
2于b初、末速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即轻杆对b先做正功后做负功，选项A错误；轻杆对b的作用先是推力后是拉力，对a则先是阻力后是动力，即a的加速度在受到轻杆的向下的拉力作用时大于g，选项C错误；b的动能最大时，轻杆对a、
b的作用力为零，此时a的机械能最小，b只受重力和支持力，所
以b对地面的压力大小为mg，选项D正确。]
轻弹簧连接的物体系
3.(多选)(2019·淄博模拟)如图所示，足够长的光滑斜面固定在水平面上，轻质弹簧与A、B物块相连，A、C物块由跨过光滑小滑轮的轻绳连接。初始时刻，C在外力作用下静止，绳中恰好无拉力，B放置在水平面上，A静止。现撤去外力，物块C沿斜面向下运动，当C运动到最低点时，B对地面的压力刚好为零。已知A、B的质量均为m，弹簧始终处于弹性限度内，则上述过程中( )
A．C的质量mC可能小于m
B．C的速度最大时，A的加速度为零 C．C的速度最大时，弹簧弹性势能最小 D．A、B、C系统的机械能先变大后变小
mgBCD [弹簧原来的压缩量x1＝，当C运动到最低点时，
kB对地面的压力刚好为零，弹簧的拉力等于B的重力，则弹簧此时mg的伸长量为x2＝，则x1＝x2，弹簧初、末状态的弹性势能相等，
k2mg根据A、B、C和弹簧构成的系统机械能守恒，则有mCgsin α·
k2mg＝mg·，α是斜面的倾角，解得mCsin α＝m，sin α<1，所
k以mC>m，故A错误；C速度最大时，加速度为零，则有绳子拉力FT＝mCgsin α＝mg，因此A的加速度为零，此时弹簧的弹力为零，弹簧弹性势能最小，故B、C正确；由于A、B、C和弹簧构成的系统机械能守恒，而弹簧先由压缩恢复原长再拉伸，所以弹性势能先减小后增加，故A、B、C系统的机械能先变大后变小，故D正确。]
用机械能守恒定律解决非质点问题 [讲典例示法]
1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理。
2．物体虽然不能视为质点来处理，但因只有重力做功，物体
整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
[典例示法] 如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静置在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a。现自由释放链条，则：
(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由； (2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？
[解析](1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC和水平面AB均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件。
(2)设链条质量为m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由L－a段下降引起的，如图所示。
该部分高度减少量
L－aL＋aa＋h＝sin α＝sin α
22
m该部分的质量为m′＝(L－a)
L12
由机械能守恒定律可得m′gh＝mv
2解得v＝
g22
L－asin α。 L[答案](1)机械能守恒，理由见解析
(2)
g22
L－asin α L[跟进训练]
1.如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为( )
A.1
gh 81
gh 4
B．1gh 61gh 2
C.D．A [如图所示，当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为1112
管中所有液体的动能，根据功能关系有mg·h＝mv，解得：v＝
822
1
gh，A正确。] 8
2.如图所示，总长为l的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时底端对齐，当略有扰动时其一端下落，铁链开始滑动，当铁链脱离滑轮瞬间，铁链速度为( )
A.
gl2
B．gl2
C.gl D．2gl
B [铁链从开始到脱离滑轮的过程中，链条重心下降的高度为1l12
l，链条下落过程，由机械能守恒定律，得mg·＝mv，计算得442
出v＝
gl2
，故B正确，A、C、D错误。]
