九年级数学相似三角形同步练习

4.2 相似三角形 同步练习

重点、难点：

1. 通过探索两个三角形相似的识别方法，加强合情推理能力的培养，感受发现的乐趣，逐步掌握说理的基本方法。

2. 通过相似三角形性质复习，丰富与角、面积等相关的知识方法，开阔研究角、面积等问题的视野。

【知识纵横】 1. 相似三角形

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形（similar triangles）。 议一议：

（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？

（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？ （3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？ 2. 相似比

相似三角形对应边的比叫做相似比。

说明：相似比要注意顺序：如△ABC∽△A'B'C'的相似比k1ABC的相似比k2A'B'ABABA'B'，而△A'B'C'∽△

，这时k11k2。

3. 相似三角形的识别

（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。

（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

【典型例题】

例1. 如图，∠1＝∠2＝∠3，图中相似三角形有（ ）对。

A 2 3 B C 1 D E

答：4对

例2. 如图，已知：△ABC、△DEF，其中∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°，∠D＝40°，∠E＝60°，∠F＝80°，能否分别将两个三角形分割成两个小三角形，使△ABC所分成的每个三角形与△DEF所分成的每个三角形分别对应相似？ 如果可能，请设计一种分割方案；若不能，说明理由。

B E A C D F

解：

B E M 60 N 60 50 70 40 80 oooooo

A C D F

例3. （2004·广东省）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连结CF交AD于点E。

（1）求证：△CDE∽△FAE；

（2）当E是AD的中点，且BC＝2CD时，求证：∠F＝∠BCF。

D C E F A B

命题意图：相似三角形的识别、特征在解题中的应用。 解析：由AB∥DC得：∠F＝∠DCE，∠EAF＝∠D ∴△CDE∽△FAE CDFADEAE，又E为AD中点

∴DE＝AE，从而CD＝FA，结合已知条件，易证 BF＝BC，∠F＝∠BCF

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD

∴∠F＝∠DCE，∠EAF＝∠D ∴△CDE∽△FAE

（2）∵E是AD中点，∴DE＝AE 由（1）得： ∴CD＝AF

∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB＝CD ∴AB＝CD＝AF

∴BF＝2CD，又BC＝2CD ∴BC＝BF ∴∠F＝∠BCF

思路探究：平行往往是证两个三角形相似的重要条件，利用比例线段也可证明两线段相等。

CDAFDEAE

例4. 在梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，点P在线段AB上从A向B运动， （1）是否存在一个时刻使△ADP∽△BCP；

（2）若AD＝4，BC＝6，AB＝10，使△ADP∽△BCP，则AP的长度为多少？

A D B C

解：（1）存在

A D P B C

（2）若△ADP∽△BCP，则 设APx  或 46x10xAPBCx6ADBCAPBP

，x4，AP4

ADBP4

，x4或x6

10x AP4或AP6 ∴AP长度为4或6

例5. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则SDEF：SEBF：SABF（ ）

A. 4：10：25 C. 2：3：5

B. 4：9：25 D. 2：5：25

（2001年黑龙江省中考题）

思路点拨：运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比。 ∴选A

例6. 如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长。

思路点拨：要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在△ABC的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出。 解：如图甲，设正方形EFGH边长为x，则AC＝4 而CD×AB＝AC×BC＝2SABC，得CD 又△CEH∽△CAB，得

12xCMCDEHAB125

于是5x5125，解得：x6037

如图乙，设正方形CFGH的边长为y cm 由GH∥AC，得：

GHACBHBCy3y12 即，解得：y

437

x6037，y1276035，yx

即应如图乙那样裁剪，这时正方形面积达最大，它的边长为

127cm

例7. 如图，已知直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，设ABa，ADb，

BC2b(ab)，作DE⊥DC，DE交AB于点E，连结EC。

（1）试判断△DCE与△ADE、△DCE与△BCE是否分别一定相似？若相似，请加以证明。 （2）如果不一定相似，请指出a、b满足什么关系时，它们就能相似？

解：（1）△DCE与△ADE一定相似，△DCE与△BCE不一定相似，分别延长BA、CD交于F点

由△FAD∽△FBC，得：

FDFCADBCb2b12

于是FD＝DC，从而可证△FED≌△CED 得∠AED＝∠DEC 所以△DEC∽△AED

（2）作CG⊥AD交AD延长线于G，CDa2b2

由△AED∽△GDC，有

AEADGDGC，得

AEb2a2DEAE2AD2b2b2abaa2b2

BEABAEab222ab

aaa2b2BE22DEabab22ba2b2aab

BCDC2b

a2b2 要使△DCE与△BCE相似，那么

BEBCDEDC一定成立

a2b2 即

b2b，得a23b2

也就是当a3b时，△DCE与△BCE一定相似。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

1. 如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若SDOE：SCOB9：____________。

，则AD：DB＝16

2. 如图，△ABC中，CE：EB＝1：2，DE∥AC，若△ABC的面积为S，则△ADE的面积为____________。

3. 若正方形的4个顶点分别在直角三角形的3条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为____________。

（2000年武汉市中考题）

4. 阅读下面的短文，并解答下列问题：

我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体。

如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比：a：b，设S甲：S乙分别表示这两个正方体的表面积，则

V甲V乙333S甲S乙6a6b22a，b2又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则

aba。 b

（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ） A. 两个球体 C. 两个圆柱体

B. 两个圆锥体 D. 两个长方体

（2）请归纳出相似体的3条主要性质：

①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于____________；

②相似体表面积的比等于____________； ③相似体体积的比等于____________。

（2001年江苏省泰州市中考题）

5. 如图，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高（ ）

A. 11.25 m

B. 6.6 m

C. 8 m

D. 10.5 m

2，△BCD与△ABC的

6. 如图，D为△ABC的边AC上的一点，∠DBC＝∠A，已知BC面积的比是2：3，则CD的长是（ ）

A.

43 B. 3 C.

233 D.

43ADAC3 13 7. 如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，则有（ ）

A. △AED∽△BED C. △AED∽△ABD

B. △AED∽△CBD D. △BAD∽△BCD

（2001年杭州市中考题）

8. 如图，已知△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：FD：FB＝1：2：3，则SADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG等于（ ）

A. 1：9：36 C. 1：8：27

B. 1：4：9 D. 1：8：36

ABCD22 9. 如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ACD＝∠B，求证：BCAD

10. 如图，△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F。

（1）求证：△ABC∽△FCD；

（2）若SFCD5，BC10，求DE的长。

（2000年河北省中考题）

11. 阅读并解答问题。

在给定的锐角△ABC中，求作一个正方形DEFG，使D、E落在BC上，F、G分别落在AC、AB边上，作法如下：

第一步：画一个有3个顶点落在△ABC两边上的正方形D'E'F'G'。 第二步：连结BF'，并延长交AC于点F； 第三步：过F点作FE⊥BC于E； 第四步：过F点作FG∥BC交AB于点G； 第五步：过G点作GD⊥BC于点D。

四边形DEFG即为所求作的四边形DEFG，为正方形。 问题：

（1）证明上述所求作的四边形DEFG为正方形； （2）在△ABC中，如果BC6DEFG的边长。

（江苏省扬州市中考题）

A G F G' F' B D' E' D E C 3，∠ABC45，∠BAC＝75°，求上述正方形

12. 如图，在△ABC中，ABAC5，BC2，在BC上有100个不同的点

P1、P2、P3„P100，过这100个点分别作△ABC的内接矩形P1E1F1G1，P2E2F2G2„

P100E100F100G100，设每个内接矩形的周长分别为L1、L2„L100，则L1L2„L100

____________。

（安徽省竞赛题）

A E2 F2 E1 F1 B P1 P2 G2 G1 C

13. 如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为20cm、45cm、80cm，则△ABC的面积为____________。

222

14. 如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是____________厘米2。

（第11届“希望杯”邀请赛试题）

15. 如图，将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比为（ ）

A E D B F C

D. 1：1

A. 2：1 B. 3：1 C. 2：1

16. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝3AB，EF∥CD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则AE：ED等于（ ）

A B E F D C

512 A. 2 B.

32 C.

512 D.

【试题答案】

1. 3：1 2. 3.

29S

127或

6037

4. （1）A；（2）相似比；相似比的平方；相似比的立方 5. C

6. C

ABCD227. B

SABCSADC



BCAD8. C

9. 由△ABC∽△DCA，得 10. （1）略

（2）过A作AM⊥BC于M 由△ABC∽△FCD，得：

SABCSFCDBCCD22CDCD24

SABC4SFCD20 又SABC12BC·AM，BC10，得MA4

∵DE∥AM，  DEAMBDBM，DM12DC8352，BMBDDM，BD12BC5

DE45552，得DE

11. （1）易证明四边形EFGD为矩形，由＝GF，故四边形EFGD为正方形。

E'F'EFBF'BFF'G'FG，而E'F'G'F'，得EF

（2）过A作AQ⊥BC于Q交GF于P，且AQ＝BQ，∠BCA＝60°，∠QAC＝30°，

33QCQA，又BC63

A G F P B D Q E C

即AQ33AQ63，解得AQ15332

由

GFBCAPAQ，得GFBC·AQBCAQ81332733

12. 400

提示：从内接一个矩形入手，探求内接△ABC中任一矩形的长与宽的关系。 13. 405cm2 提示：

162DEBCFGBCICBC1

14.

17

解：设BCa，则CE 由△BCE∽△EDF，得DE 又DEECDC，即 15. C 16. C

3416a2

34a 16a2aa

提示：延长DA、CB相交于G，

SGABSGDCABCD219

设SGABS，则

SGDC9S S梯形ABCD8SGA：GE：GD222

SGAB：SGEF：SGDC1：5：9AEED5135512 即GA：GE：GD1：5：3，