(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件 (B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件 (C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 【 】
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[Key] (12)B
(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有 (A)24种 (B)60种 (C)90种 (D)120种 【 】
[Key] (13)B
(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 (A)70个 (B)个 (C)58个 (D)52个 【 】
[Key] (14)C
(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是 (A)y=-arctg(x-2) (B)y=arctg(x-2) (C)y=-arctg(x+2) (D)y=arctg(x+2) 【 】
[Key] (15)D
二、填空题:把答案填在题中横线上.
(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于 .
(18)已知{an}是公差不为零的等差数列,如果Sn是{an}的前n项的和,那
(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 .
(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC
的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2＝ .
[Key] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.
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三、解答题.7
(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.
[Key] 三、解答题.
(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.
解法一:
①
由②式得 d=12-2a.
③
整理得 a2-13a+36=0 解得 a1=4,a2=9. 代入③式得 d1=4,d2=-6.
从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x ①
由①式得 x=3y-12. ③
将③式代入②式得 y(16-3y+12)=(12-y)2, 整理得 y2-13y+36=0. 解得 y1=4,y2=9. 代入③式得 x1=0,x2=15.
从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
[Key] (22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.
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解法一:由已知得
解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,
sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结
连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有
解法三:由题设得 4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).
将②式代入①式,可得 sin(α-)=sin(-β).
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于是 α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z), 或 α-=2kπ+(-β)(k∈Z).
若 α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z). 于是 sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.
由此可知 α-=2kπ+(-β)(k∈Z), 即 α＋β＝2+2kπ(k∈Z).
所以
(23)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.
[Key] (23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.
解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.
又已知 SC⊥DE,BE∩DE＝E, ∴SC⊥面BDE, ∴SC⊥BD.
又 ∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上, ∴SA⊥BD.
而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.
∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC, ∴BD⊥DE,BD⊥DC.
∴∠EDC是所求的二面角的平面角. ∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC. 设SA＝a,
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又因为AB⊥BC,
∴∠ACS＝30°.
又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.
解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.
又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE, ∴SC⊥BD.
由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面 ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE. ∵DE面BDE,DC面BDC,
∴∠EDC是所求的二面角的平面角. 以下同解法一.
(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.
[Key] (24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.
解法一:设z＝x+yi,代入原方程得
于是原方程等价于方程组
由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.
情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为 x2+2│x│=a. ③
(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2＋2x=a. ④
.
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由此可知:当a=0时,方程④无正根;
(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a. ⑤
.
由此可知:当a=0时,方程⑤无负根; 当a>0时,方程⑤有负根
x=1-.
(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.
由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0; 当a>0时,方程⑥无零解. 所以,原方程的实数解是: 当a=0时,z=0;
.
情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为 -y2+2│y│=a. ⑦
(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a. ⑧ 由此可知:当a>1时,方程⑧无实根. 当a≤1时解方程⑧得
y=1±
,
从而, 当a=0时,方程⑧有正根 y=2;
当0.(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即 (y+1)2=1-a. ⑨ 由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.
当a≤1时解方程⑨得
y=-1±
,
从而,当a=0时,方程⑨有负根 y=-2; 当0z=±(1+)i,z=±(1-)i.
而当a>1时,原方程无纯虚数解.
解法二:设z=x+yi代入原方程得
于是原方程等价于方程组
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由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.
情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为 x2+2│x│=a.
即 | x |2+2│x│=a. ③ 解方程③得
,
所以,原方程的实数解是
.
情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为 -y2+2│y│=a.
即 -│y│2 +2│y│=a. ④
当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2, 即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i. 当0,即当0.而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.
解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其 解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0). 情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.
情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.
解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得 r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a. 于是原方程等价于方程组
情形1.若r=0.①式变成 0=a. ③
由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解. 当a>0时,方程③无解.
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所以, 当a=0时,原方程有解z=0; 当a>0时,原方程无零解.
考查r>0的情形.
(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为 r2+2r=a. ④
.
由此可知:当a=0时,方程④无正根; 当a>0时,方程④有正根 所以,当a>0时,原方程有解
.
.
(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为 -r2+2r=a,即(r-1)2=1-a, ⑤
由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;
.
从而, 当a=0时,方程⑤有正根 r=2;
所以, 当a=0时,原方程有解z=±2i; 当0.当a>1时,原方程无纯虚数解.
[Key] (25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.
解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是
其中a>b>0待定,0≤θ<2π.
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设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则
大值,由题设得
,
因此必有
, 由此可得 b=1,a=2. 所求椭圆的参数方程是
.
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解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是
其中a>b>0待定.
,
设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则
其中
-byb.
由此得
,
由此可得 b=1,a=2.
所求椭圆的直角坐标方程是
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n≥2.
(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围; (Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)[Key] (26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是 1+2x+…(n-1)x+nxa>0 x∈(-∞,1],n≥2,
上都是增函数,
在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值
也就是a的取值范围为
(Ⅱ)证法一:2f(x)[1+2x+…+(n-1)x+nxa]2现用数学归纳法证明②式.（A）先证明当n=2时②式成立. 假如0(1+2xa)2=1+2·2xa+22xa2≤2(1+22x)<2(1+22xa). 假如a=1,x≠0,因为1≠2x,所以第 14 页 共 15 页
因而当n=2时②式成立.
（B）假如当n=k(k≥2)时②式成立,即有
[1+2x+…+(k-1)x+kxa]2=(1+2x+…+kx)2+2(1+2x+…+kx)(k+1)xa+(k+1)2xa2 +k2x)+{[1+(k+1)2xa2]+[22x+(k+1)2xa2]+…+[k2x+(k+1)2xa2]}+(k+1)2xa2]
=(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2xa2] ≤(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2xa], 这就是说,当n=k+1时②式也成立.
根据(A),(B)可知,②式对任何n≥2(n∈N)都成立.即有 2f(x)因为其中等号当且仅当a1=a2=…=an时成立.
利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有 [1+2x+…+(n-1)x+nx]2≤n[1+22x+…+(n-1)2x+n2xa2]第 15 页 共 15 页
