概率论和数理统计考试题和答案解析

一、填空题(每小题3分,共30分)

1、“事件A,B,C中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 .

2、设P(A)0.7,P(AB)0.3,则P(AB)________________.

3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 .

a4、设随机变量X的分布律为P(Xk),(k1,2,8,8),则a_________.

5、设随机变量X在(2,8)内服从均匀分布,则P(2X4) . 6、设随机变量X的分布律为

X

pk21011811 515515则YX2的分布律是 . 7、设随机变量X服从参数为的泊松分布,且已知E[(X1)(X2)]1, 则

 . 8、设X1,X2,,X9是来自正态总体N(2,9)的样本,X是样本均植,则X服从的分布是

. 9、设总体X~b10,p,X1,X2,量为 .

ˆ10、设X1,X2,X3是来自总体X的样本,11X1X2X3是E(X)的无偏23,Xn是来自总体X的样本,则参数p的矩估计

估计,则

 .

二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12

件是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率;

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(2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率.

三、(本题12分)设随机变量X的概率密度为

0x3kx,xf(x)2,3x4 (1)确定常数k; (2)求X的分布函数F(x);

2其它0,7(3)求P1X.

2

四、(本题12分)设二维随机向量(X,Y)的联合分布律为

Y\\X012 10.10.20.1

2a0.10.2试求: (1) a的值; (2)X与Y的边缘分布律; (3)X与Y是否独立?为什么?

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五、(本题12分) 设随机变量X的概率密度为

x,0x1,fx2x,1x2, 求EX,DX.

0,其他.

六、(本题12分)设离散型随机变量X的分布律为

xeP(Xx),x0,1,2, , 0

x!其中为未知参数,x1,x2,,xn为一组样本观察值,求的极大似然估计值. 七、(本题10分)某种零件的尺寸方差为21.21,对一批这类零件检查6件得尺寸数据(毫米):

32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03

设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米(0.05)? (附:

t0.02552.5706,t0.02562.4469,t0.02572.3646,z0.051.65,z0.0251.96,62.45

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一、填空题(每小题3分,共30分) 1、ABC或A0.3636 4、1

BC

2、0.6

1C52C643、或或311C1115、

38、N(2,1)

X26、

01513541 5pkX 107、1 9、

110、

6二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12

件是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率;

(2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率.

解 设A1,A2分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,B表示取出的零件为

次品,则由已知有

606505121101 P(A1)2分 ,P(A2),P(B|A1),P(B|A2).......

1101111011605505 (1)由全概率公式得

61511 P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2) .................. 7分

1151155 (2)由贝叶斯公式得

51P(A2)P(BA2)1155 P(A2B)12分  ..................................

1P(B)115三、(本题12分)设随机变量X的概率密度为

0x3kx,xf(x)2,3x4

2其它0,优质.参考.资料

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7(1)确定常数k; (2)求X的分布函数F(x); (3)求P1X.

2解 (1)由概率密度的性质知

34x91 f(x)dxkxdx2dxk1

032241故k. ................................................................ 3分

6 (2)当x0时,F(x)xf(t)dt0;

x11tdtx2;

0612x31xt1 当3x4时, F(x)f(t)dttdt2dtx22x3;

06324x314t 当x4时, F(x)f(t)dttdt2dt1;

0632故X的分布函数为

,x001x2,0x312 F(x) ...................................... 9分

1x22x3,3x441,x47151417 (3) P1XFF(1) ............................. 12分

22161248四、(本题12分)设二维随机向量(X,Y)的联合分布律为

Y\\X012 10.10.20.1 当0x3时, F(x)f(t)dtx2a0.10.2试求:

(1) a的值; (2)X和Y的边缘分布律; (3)X与Y是否独立?为什么? 解 (1)由分布律的性质知

01.0.20.1a0.10.21

故a0.3 ................................................................ 4分 (2)(X,Y)分别关于X和Y的边缘分布律为

X012 ................................................... 6分

p0.40.30.3Y12 ........................................................ 8分

p0.40.6 (3)由于PX0,Y10.1,PX0PY10.40.40.16,故 PX0,Y1PX0PY1

所以X与Y不相互独立. ................................................... 12分

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五、(本题12分) 设随机变量X的概率密度为

x,0x1,fx2x,1x2,

0,其他.求EX,DX.

x1解 E(X)xf(x)dxx2dxx(2x)dxx3x21. ............. 6分

0133011279分 E(X2)x2f(x)dxx3dxx2(2x)dx ............................

0161............................................. 12分 D(X)E(X2)[E(X)]2. 6六、(本题12分)设离散型随机变量X的分布律为

xeP(Xx),x0,1,2,,0

x!其中为未知参数,x1,x2,,xn为一组样本观察值,求的极大似然估计值.

12132解 似然函数

Li1nexixi!enxii1n1 ..................................... 4分 x!i1inn对数似然函数

lnLnlnxilni1i1n1 ................................... 6分 xi!xidlnLni1 .................................................. 8分 d1ndlnLˆ解似然方程....................................... 10分 0得xix. ni1dˆx. ........................................... 所以的极大似然估计值为12分

n七、(本题10分)某种零件的尺寸方差为21.21,对一批这类零件检查6件得尺

寸数据(毫米):

32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03

设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米(0.05)?

(附:t0.02552.5706,t0.02562.4469,t0.02572.3646,z0.051.65,z0.0251.96) 解 总体X~N,2,总体方差已知,检验总体期望值是否等于32.50.

(1) 提出待检假设H0:032.50;H1:032.50. .................... 1分

X0,在H0成立的条件下Z~N(0,1) ................. 2分

/n(3) 对于给定的检验水平0.05,查表确定临界值

z/2z0.0251.96

(2) 选取统计量Z优质.参考.资料

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于是拒绝域为W(,1.96)(1.96,). ..................................... 5分 (4) 根据样本观察值计算统计量Z的观察值:

1x32.5629.6631.6430.0021.8731.0329.445,1.1

6x029.44532.50z02.456.804 ........................... 8分

1.1/n(5)判断: 由于z0W,故拒绝H0,即不能认为这批零件的平均尺寸是32.50毫米..................................................................... 10分

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