第２４卷第３期 广东石油化工学院学报 Ｖｏ１．２４ Ｎｏ．３ ２０１４年６月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｐｅｔｒｏｃｈｅｍｉｃａｌ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｊｕｎｅ ２０１４ 双力矩作用下薄壁梁变形的数值分析 张年文 （广东石油化工学院建筑工程学院，广东茂名２５０００） 摘要：采用有限元实体单元，分析了薄壁截面悬臂梁在双力矩作用下的截面内变形。数值分析表明：开口截面在双力矩的 作用下，截面以旋转变形为主，截面内的相对变形很小，与符拉索夫薄壁梁理论的“刚周边假定”吻合，符拉索夫的理论结果 与实验结果符合很好；闭口截面在双力矩的作用下，以截面内的相对变形为主，截面的旋转较小，薄壁梁理论的“刚周边”假 定与数值分析结果有出入。 关键词：双力矩；薄壁梁；闭口薄壁截面；开口薄壁截面 中图分类号：ＴＵ３１１．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：２０９５—２５６２（２０１４）０３一ＯＯ６６—０４ ０ 引言 薄壁梁通常分为开口薄壁梁和闭口薄壁梁，这两种截面梁在钢结构中应用广泛。通常薄壁梁截面内 有双力矩和弯扭力矩…（ｗａｒｐｉｎｇ ｔｏｒｑｕｅ）；若截面内没有这两种内力，薄壁梁的分析完全可采用空间梁的分 析理论。按照薄壁梁理论，开口截面的弯扭力矩主要由沿壁厚均匀分布的剪力流产生，实际上空间梁理论 也存在这种内力，当在偏心（剪心）荷载作用下，截面内有可能产生这种扭矩，因而弯扭力矩并不是薄壁梁 理论所特有的内力，分析中是否考虑双力矩是薄壁梁和空间梁的主要区别。 开口截面薄壁梁通常采用符拉索夫薄壁梁理论 分析，闭口截面通常采用乌曼斯基的扭转理论… 和Ｂｅｎｓｃｏｔｅｒ的闭口薄壁截面＿３ 扭转理论。符拉索夫薄壁梁理论＿１］采用如下假定：（１）截面轮廓线在其自身 平面内保持刚性，即采用了刚周边假定；（２）杆件中面上的剪应变位零。乌曼斯基的扭转理论＿ １Ｊ，采用了符 拉索夫的第（１）条假定，考虑了由于剪切导致的中面上的剪应变。符拉索夫＿２ 给出了开口薄壁梁在偏心荷 载作用下的截面内实验结果，符拉索夫薄壁梁理论和实验结果非常吻合；由于双力矩的加载模拟装置相对 困难，作者还没见到在双力矩作用下的实验分析结果。 薄壁梁理论和空间梁理论最主要的区别是分析中是否考虑双力矩作用，本文拟借助有限元数值分析 方法，研究了薄壁梁作用双力矩作用下的截面变形。根据圣维南原理，内力和力矩相同的情形下，薄壁梁 不同支座，仅对靠近支座局部范围内的杆件截面有影响，为了便于分析，本文主要分析悬臂梁在自由端作 用双力矩，研究距自由端一定距离的薄壁梁截面的变形情况。 １截面变形的描述 经典的空间梁理论和薄壁梁理论，都采用了刚性截面或者刚周边的假定，截面的转动通常用转角来描 述变化变形在扭矩作用下，如图１中的ａ、ｂ所示。若假定截面绕形心转动，图１中的ｂ截面在小转动的情 形下，截面上各个点的位移与点的坐标之间的关系为 ＝一 ，ｕ ＝０ｘ （１） 分析中，若采用弹性截面假定，即允许截面内各点之间产生相对变形，此时截面根据加载情形可能产 生多种变形，考虑简单的剪切变形，即截面内所有点的切应变完全相同，对于图１ｃ、１ｄ所示各点位移与点 收稿日期：２０１４—０４—２４；修回日期：２０１４—０５—１０ 作者简介：张年文（１９７１一），男，湖北宣恩人，博士，讲师，主要从事结构稳定的研究。 第３期 张年文：双力矩作用下薄壁梁变形的数值分析 ６７ 坐标之间的关系可表示为 ： ，“ｙ＝蛾 （２） Ｙ ’。Ｉ＿上 —＇１ ／ｌ■ ｊ 壤 ａ刚性截面变形前 ｂ刚性截面变形后 ｃ弹性截面变形前ｄ弹性截面变形后 图１截面变形示意图 截面内的变形，还可能产生如下位移 （３） 或者 （４） 式（１）一（４）中，没有考虑截面内的点（ ，Ｙ）沿梁纵轴即ｚ向位移。 本文分析中，采用式（１）的 和式（２）一（４）中的 、 和乒描述截面改变， 描述截面旋转， 、 和ｊ５ 描述截面内的剪切变形。 ２截面变形参数计算 本文拟采用有限元软件ＡＮＳＹＳ实体单元模拟薄壁梁截面的变形。图１中，截面内有 个节点，第ｉ 个节点的位移可表示为 和 ，则截面内的平均位移可表示为 ＝ １ ｎ ， ＝ １ 蚤 （５） 本文分析中，仅考虑截面的旋转和剪切变形，因而可忽略截面内各个点的平移，对截面内各点位移采 用如下变形 ＝ 一 ， ＝ 一 （６） 则 聋ｕｌ＝Ｉ １ 备（ ｌ 一 ）＝０， Ｉ＝Ｉ ｌ＝蚤（ ｌ 一 ）＝０ （７） 分析中采用最ｉｊ，，－乘法计算截面内的转角，有限元计算得到的位移与式（１）计算得到位移的残差平方 和为 Ｓ ＝荟（ｌ＝ｌ ＋ ） ＋荟（Ｉ＝ｌ 一 ） （８） 式（８）中， 为变量，取极值可得 （ ∥ｉ一 ｙ ） （９） （ ＋Ｙ ） 同理可得 ＝＝ 繁 ＿ｌ—（ ——＋ 一，Ｙ ） ＝ ； 卜， ＝ 紫卜 （１０） 式中： 、 和 均描述截面内的剪切变形。三个量中，取残差最小的一个量描述截面的变形。 式（８）的残差为有量纲的数值，为了便于比较，将 、 的残差做如下处理 广东石油化工学院学报 ［（“ ＋ ） ＋（ 一 ）¨ （ｕ ＋ｕ ） ２０１４拄 ［（ 一０ｘ ） ］ （ｕ ＋ｕ ） 同理可得，截面其他２个参数 的相对残差为 善［（ 一 ）。＋“ ］ （ｕ ＋Ｍ ） ３数值分析 ［ｕ ＋（ 一 ｉ） ］ 善（ｕ ＋ｕ ） （１２） 本文分析采用图２所示的计算简图，杆件为各向同性线弹性材料，弹性模量Ｅ＝２０６×ｌ０３ Ｎ／ｒ・１ｒＩｌ２，剪变 模量Ｇ＝７９×ｌ０３ Ｎ／ｍｌＩｌ２，在悬臂梁的悬臂端施加双 力矩。双力矩由悬臂端截面节点的集中力形成。为 了防止悬臂端引起较大局部变形，分析中在悬臂端 弹性模量 ＝２０６×１０ Ｎ／ｍｍ 剪变模量Ｇ＝７９×１ｏ３ Ｎ／ｍｍ ．．—卜一Ｊ Ｙ 牢固黏贴薄薄的实心板，板的大小与截面轮廓线相 同，厚度为１ ｍｌ／ｌ，材料的弹性模量和剪变模量分别 为梁的１ ０００倍。悬臂梁为等截面直杆。 ｌ ———— Ｚ 图２数值分析模型 本文分析了２个算例，分别为图３ａ和图３ｃ所示的２种截面，在悬臂端作用图３ｂ和图３ｄ所示的压力。 有限元分析中采用实体单元，截面上的压力根据作用的面积，换算成集中力作用到节点上。 ｌ 图３薄壁梁截面及加栽 ２个算例都采用ＳＯＬＩＤ４５实体单元，单元大小为１ ｎｉｒｎ×１ ｍｉｌｌ×１ Ｉ／Ｌｒｎ。沿杆长每５０ ＩＴｌ／ｎ取一个截面， 对截面上所有节点的位移按式（９）和式（１０）计算截面扭转和截面变形参数，计算结果见图４，图４还给出了 按式（１１）或式（１２）计算的位移残差。 １．０ ０．９ １．０ ０．８ ０・７ ０．６ ０．５ 甚０．９ ０．８ ０．７ ０．６ ０．５ Ｏ－４ ０．３ ０．２ ０．１ ０．４ ０．３ ０．２ Ｏ．１ Ｏ．０ ０．０ Ｏ．Ｏ Ｏ．１ Ｏ．２ Ｏ＿３ ０．４ ０．５ ０．６ ０．７ ０．８ ０．９ １．Ｏ ｂ ｚ／ｌ 图４双力矩作用下沿杆件长度方向的截面变形及误差 图３ａ中的截面在图３６的双力矩作用下，按式（１０）计算得到的２个截面变形参数，以 位移残差最 小，因而变形参数取 。从图４０可看出，各截面转角 与截面变形参数 近似相等，由转角 得到的位 第３期 张年文：双力矩作用下薄壁梁变形的数值分析 ６９ 移残差很小，按式（１１）计算的如值，最大１％左右，绝大部分截面的 值不到０．５％；由截面变形参数 计 算得到的位移残差很大，按式（１２）计算的 值，最大为１９％，绝大部分截面的ｓ。值在１０．５％左右；因而槽 形薄壁截面在双力矩作用下，截面变化以截面旋转为主，截面内相对变形较小，有限元软件分析得到的截 面变形图（见图５ａ，该图为ｚ＝２ １５０ ｍｍ处截面的变形图）也说明了这点。 图４０给出了符拉索夫理论得出的悬臂梁截面转角沿杆长变化图，从图上可看出符拉索夫薄壁梁理 论得出的截面转角沿杆长变化与数值分析结果吻合。 图３ｃ中的闭口矩形截面在图３ｂ的双力矩作用下，按式（１０）计算得到的３个截面变形参数，以‘ｌＪ位移 残差最小，因而变形参数取‘ＩＩ。图４ｂ给出了矩形闭１：３薄壁截面在双力矩作用下的各个截面变化参数即相 应的位移残差。由转角０得到的位移残差很大，各个截面按式（１１）计算的 值在７０％左右，最大的ｓｏ值 接近１００％，最小的ｓ 值达到４５％，因而用截面旋转 模拟截面的变化，误差很大。图４ｂ中还给出了根据 ‘；，值与式（１１）类似计算得到的位移残差 值，从图 上可看出残差ｓ值大部分截面不到２．５％，极少数截 面的位移残差达到１０％和２０％，截面变形参数‘』Ｊ较 好的模拟了截面变形情况。因而矩形闭口薄壁截面 梁在双力矩的作用下，截面变形以截面内的相对变 形为主，而截面绕某一点的旋转并不是主要的变形， 有限元分析的截面变形图（见图５ｂ，Ｚ＝１ ４００ ｍｌＴｌ处 ａ薄壁槽形开口截面 ｂ薄壁矩形闭口截面 截面的变形图）也验证了这一点。 图５双力矩作用下的截面变形图 ４结论 经过本文的分析可得出如下结论：薄壁开口截面梁在双力矩的作用下，截面的变形以旋转为主，截面 内的变形很小，这与符拉索夫薄壁梁理论的刚周边假定吻合，符拉索夫薄壁梁理论给出的截面转角沿杆长 的变化情况与数值分析符合很好；薄壁闭口截面梁在双力矩的作用下，截面的变形以截面内的相对变形为 主，而截面旋转相对较小，乌曼斯基薄壁闭口截面梁理论的“刚周边”假定与数值分析有出入。 ［参考文献］ ［１］包世华，周坚．薄壁杆件结构力学［Ｍ］．北京：中国建筑工业出版社，２００６． ［２］ＶｌｌｉｌＳＯＶ Ｖ ｚ．Ｔｈｉｎ—ｗａｌｌｅｄ ｅｌａｓｔｉｃ ｂｅａｍｓ［Ｍ］．Ｊｃｎｌｓａｌｅｍ－，Ｉｓｒａｅｌ Ｐｒｏｇｒａｍ ｆｏｒ Ｓｃｉｅｎｔｉｉｆｃ Ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ，１９６１． ［３］Ｂｅｍｃｏｔｅｒ ｓ Ｕ．Ａ Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆＴｏｒｓｉｏｎ Ｂｅｎｄｉｎｇ ｆｏｒ Ｎｕｈｉｃｅｌｌ Ｂｅａｍｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ ｌ￣ｌｅｃｈａｎｉｃｓ，１９５４，２１（１）：２５—３４ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｔｈｉｎ——ｗａｌｌｅｄ Ｂｅａｍｓ Ａｃｔｅｄ ｂｒ Ｂｉｍｏｍｅｎｔｓ ＺＨＡＮＧ Ｎｉａｎｗｅｎ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｐｅｔｒｏｃｈｅｍｉｃａｌ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ｌ￣ｌａｏｍｉｎｇ ５２５０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｓｏｌｉｄ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄｓ，ｔｈｅ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｏｆｔｈｅ ＣｒＯＳ￥一８ｅｅｌＪｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｉｎ—ｗａｌｌｅｄ ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒ ｂｅａｍｓ ａ ａｎａｌｙｚｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆｂｉｍｏｍｅｎｔｓ ａｔ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｅｎｄ．皿ｌｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ：ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｐｅｎ ｔｈｉｎ—ｗａｌｌｅｄ ｂｅａｍ ａｃｔｅｄ ｂｙ ｂｉ－ ｍｏｍｅｎｔ，ｔｈｅ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ＣｒＯｆｔＳ—ｓｅｃｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈｅ ｒｏｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｒｏｓｓ—ｓｅｅｄｏｎ，ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｒｏ８８一ｓｅｃｔｉｏｎ ｉｓ ｖｅｒｙ ｓｍａｌｌ，ｗｈｉｃｈ ａｃｃｏｒｄｓ ｗｉｔｈ Ｖｌａｓｏｖ’ｓ ｒｉｇｉａ Ｃｏｎｔｏｕｒ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ，ａｎｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｅ ｗｅｌｌ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｖｌａｓｏｖ’ｓ￣ｅｏｒｅｔｉｅａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ．Ｆｏｒ ｄｏｓｅｄ ｔｈｉｎ—ｗａｌｌｅｄ ｃｓｎｔｉｌ￣ｖｅｒ ｂｅａｍ ａｃｔｅｄ ｂｙ ｂｉｍｏｍｅｎｔｓ ａｔ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｅｎｄ．ｍｏｓｔ ｏｆｔｈｅ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｃｌ＇Ｏｆｌ８一ｓｅｃｔｉｏｎ ｉ８ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｏｆｔｈｅ Ｃ１＂０Ｓ８ 一ｓｅｃｔｉｏｎ，ａｎｄ ｔｈｅ ｒｏｔａｔｉｏｎ ｏｆ ＣＲＯＳＳ一８￣ｃｔｉｏｎ ｉｓ ｓｍａｌｌ，ａｎｄ ｔｈｅ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ｏｆ ｒｉ ｄ ｃｏｎｔｏｕｒ ｉｓ ｎｏｔ ｔｒｕｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ． １ ｅｙ ｗｏｒｄｓ￣Ｂｉｍｏｍｅｎｔ；Ｔｈｉｎ—ｗａｌｌｅｄ ｂｅａｍ；Ｏｐｅｎ ｔｈｉｎ—ｗａｌｌｅｄ ＣＲＯＳＳ ｓｅｃｔｉｏｎ；Ｃｌｏｓｅｄ ｔｈｉｎ—ｗａｌｌｅｄ ｃｒｏ６８ ｓｅｃｔｉｏｎ （责任编辑：骆磊）
