二次函数与几何综合压轴题题型归纳

学生： 科目： 数 学 教师：

课 题 教学目标 重点、难点 函数的综合压轴题型归类 1、 要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系 2、 掌握特殊图形面积的各种求法 1、 利用图形的性质找点 2、 分解图形求面积 教学内容

一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总

4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。（方法同上）

例：若抛物线ymx3m1x3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定

2此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：

已知关于x的方程mx3(m1)x2m30（m为实数），求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根。

解：当m0时，x1；

当m0时，m30，x223m13，x12、x21；

2mm综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：

已知抛物线yxmxm2（m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于m的方程yx2m1x；

22 yx220 y1∴ ，解得：；

 x1 1x0∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。

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（题目要求等价于：关于m的方程yx2m1x不论m为何值，方程恒成立）

2小结：关于x的方程axb有无数解．．

 a0

 b0

7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）

（1）如图，直线l1、l2，点A在l2上，分别在l1、l2上确定两点M、N，使得AMMN之和最小。

（2）如图，直线l1、l2相交，两个固定点A、B，分别在l1、l2上确定两点M、N，使得

BMMNAN之和最小。

（3）如图，A、B是直线l同旁的两个定点，线段a，在直线l上确定两点E、F（E在F的左侧 ），使得四边形AEFB的周长最小。

8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法

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三角形的面积求解常用方法：如右图，S△PAB=1/2 ·PM·△x=1/2 ·AN·△y 9、函数的交点问题：二次函数（y＝ax＋bx＋c）与一次函数（y＝kx＋h）

2 y＝ax2＋bx＋c （1）解方程组可求出两个图象交点的坐标。

 y＝kx＋h y＝ax2＋bx＋c2 （2）解方程组，即ax＋b－kx＋c－h＝0，通过可判断两个图象的交点

 y＝kx＋h的个数

有两个交点  ＞0 仅有一个交点  0 没有交点  ＜0

10、方程法

（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度

（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 （3）列方程或关系式 11、几何分析法

特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。

几何要求 跟平行有关的图形 平移 勾股定理逆定理 利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等 利用几何中的全等、中垂线的性质等。 利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等 几何分析 涉及公式 应用图形 平行四边形 矩形 梯形 直角三角形 直角梯形 矩形 等腰三角形 全等 等腰梯形 yy2l1∥l2k1＝k2、k1 x1x2跟直角有关的图形 AByAyB2xAxB2 yAyB2xAxB2 跟线段有关的图形 跟角有关的图形 AB

【例题精讲】

一 基础构图：

y=x2x3（以下几种分类的函数解析式就是这个）

2y ★和最小，差最大 在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标

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B O C D A x 实用标准文档

在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标

y ★求面积最大 连接AC,在第四象限找一点P，使得ACP面积最大，求出P坐标

B O C D A x ★ 讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得ACP为直角三角形，

求出P坐标或者在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．

y B O C D A x ★ 讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得ACP为等腰三角形，

求出P坐标

y ★ 讨论平行四边形 1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，

且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标

二 综合题型

2B O C D A x 例1 (中考变式）如图，抛物线yxbxc与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。交Y轴于C

(1)求该抛物线的解析式与△ABC的面积。

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(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形，若存在，求出点P的坐标。若没有，请说明理由

(3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合)，过E作EF与X轴垂直，交BC于F，设E点横坐标为x.EF的长度为L，

求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？

当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标？

(4)在（5）的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。当E点运动到什么位置时,以点E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形？

(5)在（5）的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大？

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例2 考点： 关于面积最值

－3)，点B在x轴上．已知某二如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(－1，0)、(0，

次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x＝1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F． （1）求该二次函数的解析式；

（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段PF的长； （3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．

A O C x＝1 B x y F P 例3 考点：讨论等腰

12

如图，已知抛物线y＝x ＋bx＋c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），

2点C的坐标为（0，－1）． （1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；

（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说

y 明理由．

y

A B O

D C x A B O E

C

例4考点：讨论直角三角

⑴ 如图，已知点A（一1，0）和点B（1，2），在坐标轴上

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x 备用图

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确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（ ）． (A）2个 （B）4个 （C） 6个（D）7个

⑵ 已知：如图一次函数y＝

112

x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x ＋221bx＋c的图象与一次函数y＝x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，

20）

（1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEC的面积S；

（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

y C 2

B

例5 考点：讨论四边形

2

x A O D E 已知：如图所示，关于x的抛物线y＝ax ＋x＋c（a≠0）与x轴交于点A（－2，0），点B（6，0），与y轴交于点C．

（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；

（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；

（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是

否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

综合练习：

y C A O B x 21、平面直角坐标系xOy中，抛物线yax4ax4ac与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交

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于点C，点 A的坐标为(1, 0)，OB＝OC，抛物线的顶点为D。 (1) 求此抛物线的解析式；

(2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB＝∠ACB，求点P的坐标；

(3) Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A，若QAQB2，求点Q的坐 标和此时△QAA的面积。

2、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数yax+2axc的图像与y轴交于点C0 ， 3，与x2轴交于A、B两点，点B的坐标为3 ， 0。 （1） 求二次函数的解析式及顶点D的坐标；

（2） 点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1 ：2的两部

分，求出此时点M的坐标；

（3） 点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△CPB的面积最大？最大面积

是多少？并求出此时点P的坐标。

3、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y且对称轴与x轴交于点C。

（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）D为OB中点，直线AD交y轴于E，若E（0，2），求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点M在直线OB上，且使得AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。

22x2x与x轴负半轴交于点A，顶点为B，m

4、已知关于x的方程(1m)x(4m)x30。 （1） 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

（2） 若正整数m满足82m2，设二次函数y(1m)x(4m)x3的图象与x轴交于

22A、B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一

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个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线ykx3与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）。

5如图，抛物线y=ax+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣4，0）和B．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；

（3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

三、中考二次函数代数型综合题

题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧

例1．已知二次函数y＝x ＋(m－1)x＋m－2的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且

2

2

x1＜x2．

（1）若x1x2＜0，且m为正整数，求该二次函数的表达式； （2）若x1＜1，x2＞1，求m的取值范围；

（3）是否存在实数m，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C（0，2），若存在，求出m的值；若

不存在，请说明理由；

11 MD （4）若过点D（0，）的直线与（1）中的二次函数图象相交于M、N两点，且 ＝ ，求该直

2 DN 3 线的表达式．

题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题

例2 已知二次函数y= x +mx+m-5，

（1）求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点； （2）求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短．

题型三、抛物线方程的整数解问题

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例1． 已知抛物线yx2(m1)xm0与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m＜5，则

整数m的值为_____________

例2．已知二次函数y＝x －2mx＋4m－8．

（1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；

（2）以抛物线y＝x －2mx＋4m－8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AMN（M，N两点在拋物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理y 由；

（3）若抛物线y＝x －2mx＋4m－8与x轴交点的横坐标均为整数，

求整数．．m的值．

题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合

22222O A x 例1．已知抛物线yx2bxc（其中b>0，c≠0）与y轴的交点为A，点A关于抛物线对称轴的对称点为B(m,n)，且AB=2. (1)求m,b的值

(2)如果抛物线的顶点位于x轴的下方，且BO=20。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：请画图思考）

题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等） 例1．已知：二次函数yx4xm的图象与x轴交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜

2x2），其顶点是点C，对称轴与x轴的交于点D．

（1）求实数m的取值范围；

（2）如果（x1+1）（x2+1）=8，求二次函数的解析式；

（3）把（2）中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移，如果平移后的函数图象与x轴交于点A1、

B1，顶点为点C1，且△A1B1C1是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式．

综合提升

1．已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），且| AB|＝2 3，图象的对称轴为x＝1．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若二次函数的图象都在直线y＝x＋m的下方，求m的取值范围．

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2．已知二次函数y＝－x ＋mx－m＋2．

（1）若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝ 5，求m的值； （2）设该二次函数图象与y轴的交点为C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N，且S△MNC ＝27，求m的值．

3. 已知关于x的一元二次方程x －2(k＋1)x＋k ＝0有两个整数根，k＜5且k为整数． （1）求k的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝x －2(k＋1)x＋k 的图象沿x轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；

（3）根据直线y＝x＋b与（2）中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围．

4．已知二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m． （1）若m为定值，求此二次函数的解析式；

（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围； （3）若二次函数的图象截直线y＝－x＋1所得线段的长为2 2，求m的值．

四、中考二次函数定值问题

1. （2012江西南昌8分）如图，已知二次函数L1：y=x﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．

（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；

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（2）研究二次函数L2：y=kx﹣4kx+3k（k≠0）．

①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；

②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．

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2. （2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线l1、l2．

(1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON为直径的圆与直线l1相切；

(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长．

3. （2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；

4222． x+x交于点A（3，6）

273文案大全

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（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；

（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

2

4．（2011•株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax(a＜0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：

（1）若测得OA=OB=22（如图1），求a的值；

（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标； ．．．（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

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