多元函数微分学习题

多元函数微分学习题

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

第七章 多元函数微分学

【内容提要】

1.空间解析几何基础知识

三条相互垂直的坐标轴Ox、Oy、Oz组成了一个空间直角坐标系。 空间直角坐标系下两点间的距离公式为：

平面方程：AxByCzD0 二次曲面方程：Ax2By2Cz2DxyEyzFzxGxHyIzK220

球面方程：xx0yy0zz0R2

2圆柱面方程：x2y2R2

x2椭球面方程：2ay2b2z2c2y2b21，a,b,c0

x2椭圆抛物面方程：2az,(a,b0)

x2双曲抛物面方程：2ay2b2z,(a,b0)

x2y2z2单叶双曲面图方程：2221(a，b，c＞0)

abcx2双叶双曲面方程：2ax2椭圆锥面方程：2ay2b2y2b2z2c2z2c21,(a,b,c0)

0,(a,b,c0)

2.多元函数与极限

多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D的每一对值(x,y)，在变域M中存在z值，按一定对应法则f进行对应，有唯一确定的值，则称f为集合D上的二元函数，记为

x,y称为自变量，D称为定义域，z称为因变量。(x,y)的对应值记为f(x,y)，称为函数值，函数值的集合称为值域。

多元函数的极限：设函数f(x,y)在开区间（或闭区间）D内有定义，

P0(x0,y0)是D的内点或边界点。如果对于任意给定的正数，总存在正数，

使得对于适合不等式

2

的一切点P(x,y)D，都有 成立，则称常数A为函数f(x,y)当xx0,yy0时的极限，记作

多元函数的连续性：设函数zf(x,y)在区域D内有定义，点P0(x0,y0)是D的内点或边界点且P0D。如果

则称函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)处连续。

3.多元函数的偏导数与全微分

偏导数：设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量x时，相应地函数有增量 如果极限

存在，则称此极限为函数zf(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数， 记作

xx0yy0fz

xx0， xx， zxxyy00xyy0

同理，如果极限lim， 或fx(x0,y0)

Dy?0f(x0,y0+Dy)-f(x0,y0)

Dy存在，则称此极限为函数zf(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数， 记作

，

zyxx0yy0fyxx0yy0， zyx=x0y=y0， 或fy(x0,y0)

4.二元函数zf(x,y)在点(x0,y0)的偏导数的几何意义

f(x,y)上点M0(x0,y0,f(x0,y0))的曲线

fx(x0,y0)是过曲面z在点M0处的切线Tx对x轴的斜率。

5．二阶偏导数

(z)2zf(x,y)，(z)2zf(x,y)，

yxxyxyxxx2xx(z)2zf(x,y)，(z)2zf(x,y)。

yyyyy2xyyxyx如果函数z22zzf(x,y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续， 那么

yxxy在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。

6.全微分

3

如果函数z可表示为

f(x,y)在点f(x,y)的全增量

其中A、B不依赖于x、y 而仅与x、y有关，则称函数zf(x,y)在点

f(x,y)可微分， 而称AxBy为函数z如果函数zf(x,y)在点(x,y)的全微分，记作dz，即

f(x,y)的偏导数z、z在点(x,y)连续，则函数在该点可微分。

xy7.复合函数微分法

复合函数的中间变量均为一元函数的情形 如果函数u(t)及v(t)都在点t可导，函数zf(u,v)在对应点(u,v)具有连续

偏导数，则复合函数zf((t),(t))在点t可导，且有

复合函数的中间变量均为多元函数的情形 如果函数u(x y)

v(x y)都在点(x y)具有对x及y的偏导数 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数z=f [j(x y)， (x y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

8. 全微分形式不变性

无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的,这个性质叫做全微分形式不变性。 9. 隐函数微分法

在点(x0,y0)的某邻域内，若函数F(x,y)有连续的偏导数Fx、Fy，且F(x0,y0)0，则在Fy(x0,y0)≠0时，方程F(x,y)0确定唯一的、有连续导数的函数yf(x)，满足y0f(x0)及F(x,f(x))0。

这个定理称为隐函数存在定理。隐函数存在定理给出了隐函数求导的方法，即

dy0， 由F(x,y)0，两边全微分得FxdxFyFdyx。 由Fy≠0，得到隐函数的导数为

dxFy10. 二元函数的极值

设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内任

何异于(x0,y0)的点(x,y)，都有

f(x,y)f(x0,y0)（或f(x,y)f(x0,y0)）

则称函数在点(x0,y0)有极大值(或极小值)f(x0,y0)。

极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。

设函数zf(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则有

fx(x0,y0)0，fy(x0,y0)0

4

设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导

数， 又fx(x0,y0)0，fy(x0,y0)0， 令 则在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：

(1) AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值； (2) AC-B2<0时没有极值；

(3) AC-B2=0时可能有极值， 也可能没有极值。 极值的求法： 第一步 解方程组

fx(x,y)0，fy(x,y)0

求得一切实数解， 即可得一切驻点。

第二步 对于每一个驻点(x0,y0)， 求出二阶偏导数的值A、B和C。

第三步 判断AC-B2的符号， 按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值。

11.多元函数的最大值、最小值

如果f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值。 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部，也可能在D的边界上。我们假定， 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点，这时如果函数在D的内部取得最大值（最小值），那么这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）。因此，求最大值和最小值的一般方法是:将函数f(x，y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。 12. 条件极值 拉格朗日乘数法

对自变量有附加条件的极值称为条件极值。

一般地，考虑函数zf(x,y)在限制条件g(x,y)0下的极值问题，称为条件极值问题．考虑极值的函数zf(x,y)称为目标函数，考虑的限制条件g(x,y)0称为约束条件．没有约束条件的极值问题，称为无条件极值问题．若能从约束条件g(x,y)0解出yy(x)，则条件极值问题可以转化为函数zf[x,y(x)]的无条件极值问题。

拉格朗日乘数法

要找函数z数

F(x,y)f(x,y)(x,y)，

f(x,y)在条件(x,y)0下的可能极值点， 可以先构成辅助函

其中为某一常数。然后解方程组

5

Fx(x,y)fx(x,y)x(x,y)0Fy(x,y)fy(x,y)y(x,y)0。 (x,y)0由这方程组解出x， y及， 则其中(x,y)就是所要求的可能的极值点。 13. 最小二乘法简介

变量x、y满足线性方程y=ax+b，其中，a、b需要确定．通过试验测得x、y的n

组对应值：(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)，建立计算值与实测值之差的平方和函数，得到 则Q的意义是很明显的，它等于各点离开直线y=ax+b的偏差平方和，反映了各点关于直线的偏离情况。视Q为a、b的函数，求Q的最小值，确定出线性方程的系数a、b，这就是通常所说的最小离差平方和原则，又称最小二乘法原则。

根据微积分学知识，Q有极小值的必要条件是 这样就得到关于a和b的线性方程组

这个方程组通常称为线性回归的正规方程。解此方程组得

【习题解答】

7-1 确定下列函数的定义域，并画出定义域的图形。

（1）z1x2y2； （2）f(x,y)1x2y21； （3）zarcsin11y； （4）z。 xyxyx解 1）x2y21

1x1 （2）

y1或y1 （3）1y1 xyx（4）

yx7-2 计算下列函数的偏导数。

（1）zx2siny； （2）zxy； （3）zxyx； （4）zarctan(xy2)； y42242zx3xyyzxlnxy； （5）； （6）

x2（7）ztan； （8）zyylnx；

6

（9）设f(x,y)earctanyxln(x2y2)，求fx(1,0)；

（10）设f(x,y)x(y1)arcsinzz2xsiny x2cosy

yxx，求fx(x,1)。 y解 （1）

（2）

zzyxy1 xylnx

yxz1zxy x2 xyxyz1z2y 2222x1(xy)y1(xy)zz4x36xy2 6x2y4y3

yx （3）

（4）

（5）

zx2z12（6）2xlnxyxxxy yxy zx22xzx2x2（7）xsecyy ysecy(y2)

zz1lnxlnxy(lnx1) ylny（8）x yx（9）令y0，f(x,0)2lnx，则fx(1,0)2 （10）令y1，f(x,1)x，则fx(x,1)1

2z2z7-3设zx，验证。 xyyxyz2zy1xy1yxy1lnx 解 yx ,

xyxz2zyxy1yxy1lnx xlnx ,

yxy7-4 求下列函数的二阶偏导数。

（1）zxln(xy)； （2）zx43x2y2y4；

7

yyz(1xy) ； （4）。 zarctan（3）xz解 （1）

xz yxxxyyln(xy)xxy2zxy，y2zln(xy)1，2xxy2

2yxy1x

2z32z（2）4x6xy,212x26y2 xxz （3）xyy2z2xy (),22222222xxyx(xy)y1x12z2y1z （4）y(1xy),2y3(1xy)y2 xxx(0,π)，fyy(0,π)． (0,π)，fxy7-5 设f(x,y)esinyf，求fxxesiny,fyyesiny,fxyecosy 解 fxesiny,fyecosy,fxx(0,π)0，fxy(0,π)=-1，fyyⅱ(0,π)=0 ⅱ fxxxxxxx7-6 证明

（1）设zln(xy)，证明xzz1y。 xy2（2）设zyxzzarcsin，证明xy0。 xyxy7-7 计算全增量或全微分。

（1）求函数zx2y2在点(2,1)处，当x0.02,y0.01时的全增量与全微分；

（2）求当x2,y1,x0.01,y0.03时，函数z分；

（3）求zxy2在点(0,1)当x0.1,y0.3时的全微分； （4）求zln(xy)在点(2,1)的全微分。

解 （1）全增量zf(x0x,y0y)f(x0,y0)

xy的全增量与全微x2y28

全微分dzzzdxdy2xy2dx2x2ydy xy （2）全增量zf(x0x,y0y)f(x0,y0) 全微分dzzzdxdy xyzzdxdy xyzzdxdy xy （3）全微分dz （4）全微分dz7-8 计算全微分。

（1）zexsin(xy)； （2）zx2y2； （3）zxyxy；

（4）uln1x2y2。 解（1）

zzexsin(xy)excos(xy),excos(xy) xy （2）

zxxxy22,zyyxy22

（3）

z1zxy,x2 xyyy1u12xu12y, （4）uln(1x2y2), 22222x21xyy21xy7-9 求下列多元复合函数的偏导数。 （1）zln[e2(xy)(x2y)] , 求

2zz和； yxuu及； yx（2）设u(xy)z,zx2y2,(xy0)，求

9

（3）设u(x2y2)，求证xuuy0； yx（4）设 zf(x2y2,xy)，求

zz和； yxdz； dx1du（6）ux4xy3y,xt2,y, 求；

tdt（5）设zu2v,ucosx,vsinx，求（7）zu2vuv2,uxcosy,vxsiny,求

zz和； yxvzz（8）zx2lny,x,y3v2u，求和；

uuv（9）zarctan(xy),yex,求

zz和。 yx解 （1）

z12(xy2)2(xy2)[e22x] 2xe(xy) （2）

ufffz10z(xy)z1(xy)zln(xy)2x xxyzxuu2x,2y xtyt （3）令tx2y2,（4）令u=x2y2,vxy

zfufvff2xy xuxvxuvdzzduzdv （5）2uv(sinx)u2cosx

dxudxvdx则（6）

duudxudy2y2x1(1)2t(3)(2) dtxdtydttxyxy（7）

zzuzv(2uvv2)cosy(u22uv)siny xuxvxzzxzyvx22xlny(2)(2) （8）

uxuyuuy （9）

z11xyxe 22x1(xy)1(xy)10

7-10对下列函数求yx。

（1）xylny； （2）sinyexy0； （3）xylnxlny0； （4）x3y1。 解 （1）令F(x,y)xylny 则

46x2FFexy2,cosyex2xy xyx2（2）令F(x,y)sinyexy,

FF1y,x 则xyy（3）令F(x,y)xylnxlny

F1F1y,x 则xxyy46（4）令F(x,y)x3y1

FF4x3,18y5 则xyz3337-11 对下列函数求zy。 x、z（1）exyz； （2）xyz3xyz0； （3）xyzlnz； （4）zyxz1。

z解 （1）令F(x,y,z)exyz，则Fxyz,Fyxz,Fzexy

z23 （2）令F(x,y,z)xyz3xyz

则Fx3x3yz,Fy3y3xz,Fz3z3xy

222333 （3）令F(x,y,z)xyzlnz

则Fxy,Fyx,Fzlnz1

（4）令F(x,y,z)zyxz1

则Fxz,Fyz,Fz2zy3xz

322237-12 容积为V的开顶长方水池，求表面积的最小值。 解 设长方形水池的长为x，宽为y，则高为hV，其表面积为 xy2Vzy0x2x由，解得xy32V zyx2V02y3V2V3所以，当xy2V，h时，表面积最小。 3224V7-13 容积为V的开顶圆柱水池，单位面积造价底部为侧部的3倍，求总造价最小值。

V，假设单位面积造价为1，则总造价 2rVdz2V26r0，解得r3令 3drr解 设圆柱的半径为r，则高为h11

V9V，h3，其总造价最小。 327-14 求抛物线yx上的点与直线xy2上的点之间的最短距离。

|xy02|2解 点x0,y0到直线xy20的距离公式为d0，又已知y0x0

217(x0)22|xx2|24，则最短距离为72。 d0082232227-15 求z4xy在圆xy1上的最大值。

所以，当r3解 fx(x,y)2y，令同时为零，得驻点(0,0)，它恰好在闭区域D的

内部，而函数在D内只有一个驻点， 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在

3222D上的最大值，所以z4xy在圆xy1上的最大值为4。

7-16 生产某产品的数量Q与所用A、B两种原料的数量x、y有函数关系Q(x,y)5x2y，原料A、B的单价分别为100、200元，用15000元购买原料，求产品产

量的最大值。

解 从约束条件100x200y3x2,fy(x,y)15000解出y，得到

y751x，将条件极值问题转化为无条件极值问题，即 2Q(x,y(x))5x2(75一驻点x1x)375x2253x，令导数为零，解得开区域x0内唯250，故x50,y50时，取得产品产量的最大值，即

227-17 甲、乙两种产品在销量为x、y时的销售价格分别为P116x，P222y，两种产品的联合成本为C(x,y)2x2xyy13，求取得最大利润时的两种产品的价格和销量。

解 最大利润为

Q(x,y)x(16-x)+y(22-y)-2x2-2xy-y2-1316x3x222y2y22xy13，

fx(x,y)166x2y0求其偏导数，并解方程组，求得x=1，y=5 于是得驻

f(x,y)224y2x0y点为(1,5)，再求出二阶偏导数fxx(x,y)6,fxy(x,y)2,fyy(x,y)4，在点

2（－2）(1,5)处， AC-B2=24->0， 又A<0， 所以函数在(1,5)处有极大值

f(1,5)50，取得最大利润50时的两种产品的价格分别为15和17，销量分别

为1和5。

【课外练习】

一、单选题

12

1．点M2,3,1关于原点的对称点是（ ）。

A．（－2，3，－1） B．（－2，－3，－1） C．（2，－3，－1） D．（－2，3，1）

2．球面方程x2y2z22x2z0的球心M0及半径R分别为（ ）。

A．M0(1,0,1)，R2 B．M0(1,0,1)，R2 C．M0(1,0,1)，R2 D．M0(1,0,1)，R2 3．在空间直角坐标系中，2x22y2z的图形是（ ）。

A．球面 B．圆柱面 C．圆周 D．旋转抛物面

4．在空间直角坐标系中，点M1(1,0,2)和点M2(0,3,2)之间的距离d（ ）。

A．10 B．24 C．26 D．8

5．平面方程AxByCzD0中，若A0，则此平面（ ）。

A．平行于YOZ平面 B．过原点 C．平行于x轴 D．过x轴 6．函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)处间断，则（ ）。

A．函数在点P0处一定无定义 B．函数在点P0处一定极限不存在 C．函数在点P0处可能有定义，也可能有极限

D．函数在点P0处一定有定义，且有极限，但二者不等 7．设zf(x,y)，则

z|(x0,y0)（ ）。 xf(x0x,y0y)f(x0,y0)f(x0x,y)f(x0,y0)A．lim B．lim

x0x0xxf(x0x,y0)f(x0,y0)f(x0x,y0)C．lim D．lim

x0x0xx8． 二元函数zf(x,y)在点(x0,y0)得满足关系（ ）。

A．可微可导连续 B．可微可导连续

C．可微可导，可微连续 D．可导连续，反之不行

9．若fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，则f(x,y)在点(x0,y0)处有极值的（ ）。

A． 充要条件 B．必要条件 C．充分条件 D． 既不是充分条件，也不是必要条件

13

(x0,y0)，(x0,y0)，Bfxy10．设函数f(x,y)的驻点为(x0,y0)，Afxx(x0,y0)，B2AC，则(x0,y0)为极大值点的充分条件是（ ）。 CfyyA．0,A0 B．0,A0 C．0,A0 D．0,A0 二、填空题

x2y22z，当pq0时，则方程表示的曲面为（ ）；当1．设有曲面方程pqpq0时，方程表示的曲面为_____________。

4xy22．函数z的定义域是_______________。 22ln(1xy)3．设f(x,y)2xyy，则f(1,)________________。

x2y2x4．设zx2yxy2，而xucosv，yusinv，则

z________，uz________。 v5．设z(2xy)x2y，则dz_______________________。 6．设zarctan(xy)，则dz______________________。

7．若函数zxy，当x10，y8，x0.2，y0.1时，函数的全增量

z_______；全微分dz_______________________。 三、判断题

1. 函数zarccos(x2y2)的定义域为x2y21的那些点。 ( ) 2. 设uex2y2z2，而zx2siny，则

222u2zexyz2x。 ( ) x3. 若点(x0,y0)是zf(x,y)的极值点, 则一定有fx'(x,y)0.fy'(x,y)0。 ( ) 4. 函数f(x,y)1的定义域是整个平面。 ( )

2x22y25. 函数zf(x,y)在P(x,y)点偏导存在，则在该点一定连续。 ( )

\"6. 对zf(x,y),若Zxy与Z\"yx都存在,则它们一定相等( )。 ( )

14

7. 函数zf(x,y)的偏导数zx',zy'在点P(x,y)连续，则函数在该点的全微分存在。

( ) 四、计算及证明题

1．已知函数f(x，y)＝(x＋1)2y，求f(1，2)。 2．求下列各函数的定义域。

（1）z（3）z

xy；

xy；

（2）z

xy1；

y22x； （4）zln(1x2y2)（5）zln(yx)xln(1x2y2)（6）u；

111； xyz。

7）uR2x2y2z2（3．证明下列极限不存在。

1xyzr2222x4y4xy（2）lim； 。 （1）lim(x,y)(0,0)(x2y4)3(x,y)(0,0)xy4．求下列函数的间断点。

1）z（1x2y23（2）z；

1． xy5．求下列函数的偏导数。

lnx(1) z=xy-yx ； (2) z=y；

32(3) z=sin(xy)+cos(xy) (4) zlntan(5) z=ef-q2x； y； (6) uxy/z。

6．求z＝x＋y在点(0，1)当Δx＝、Δy＝－时的全微分。 7．求z＝ln(xy)在点(2，1)的全微分。 8．求下列函数的全微分：

x+y22(1) uln1xy； (2) u=ecosxcosy； (3) ua2x2y2z2； (4)uxysin(1/x2y2)； (5) u＝xyz； (6)u＝2。 9．求下列函数的二阶偏导数。

x(1) z＝xln(xy)； (2) z＝y。

x(0,π)，fyy(0,π)。 (0,π)，fxy10．f(x，y)＝esiny，求fxx2u2u2ux11．若uzarctan，证明2220。

yxyzxyduax1)2，求。 12．设uarctan、y＝e、z＝(ax＋dxzyzxxyz15

13．设z＝ln(x＋y)、y＝lnx，求14．设z2dz。 dxzz12，x＝3t＋s，y＝4t＋sins，求、。 xyts15．f、g有一阶连续偏导数，求下列函数的一阶偏导数。

yxy(1) zexyf(x2y2,)； (2) zf(xy)g(xy)。

xyx16．设u＝ln(x＋y＋z)、z＝e，求一阶偏导数。 www17．设w。 y＝F(xy，yz)，F有连续偏导数，证明xzxzy18．作一个三角形，使其三内角的正弦之积为最大。

xy19．求半径为R的圆内接最大面积的三角形。

【课外练习】 参考答案

一、单项选择题

1. A 2. A 3. B 4. C 5. C 6. C 7. C 8. C 9. D 10. D 二、填空题

1. 椭圆抛物面；双曲抛物面 2. {(x,y)|4xy20,1x2y20,x2y20} 3.

2xy 4. 3u2sinvcosv(cosvsinv)，2u3sinvcosv(sinvcosv)u3(sin3vcos3v) 22xy5. [2x4y(2xy)ln(2xy)](2xy)x2y1dx[x2y(4x2y)ln(2xy)](2xy)x2y1dy

y2exy(ez2)2y2e2xyzydxxdy6. 7. 8. 9. 0.58，

(ez2)31(xy)2三、判断题

1.是 2.错 3.错 4.错 5.错 6.错 7.是 四、计算及证明题 1. f(1,2)(11)228

x0x02． （1） 由xy0，得或

y0y0y10y1（2）由，得

xxx0xy0（3） 由，得y0

x2yy016

y22x022xy22（4）由1xy0，得 221x2y210xy1yx0x0(5) 由，得 221xy01x2y21x0(6) 定义域为：y0

z02222Rxyz0(7) 由2，得 222xyzr03．(1) 当(x,y)沿y0趋于点(0,0)时，limxyxlim1

x0xyx0xy0xyylim1 xyy0y当(x,y)沿x0趋于点(0,0)时，limx0y0所以limxy的极限不存在.

x0xyy0(2) 当(x,y)沿y0趋于点(0,0)时，极限

x4y41x4lim2limlim不存在， x0(xy4)3x0x6x0x2y0x4y4所以lim2的极限不存在.。

x0(xy4)3y04． (1) 间断点为 (0,0)；

(2)间断点是直线yx。 5．(1)

zzx33y2x 3x2yy3，yx(2)

z1y1z1x1， x2lnxyxy2xlnxyy2lnxyxy2ylnxy17

(3) (4)

zycos(xy)2cos(xy)[sin(xy)]yy[cos(xy)sin(2xy)] xzx1tanxysec2x122xzcsc，yyyyy1tanxysec2xx2x2x(2)2csc yyyy(5)

zze，e (6) 6．

uxyxylnxuxlnxu；； xzzz2yzy1zyzyzzzz2y 1，yxx1，

x0y1zy2

x0y17．

zz1z1 ，

xxxyyx2y11z，2y1

x2y18．(1)

uxuy， 2222xy1xy1xyuexycosxcosyexysinxcosy x(2) (3)

uxu，2222xyaxyzyaxyz2222，

(4) (5) (6)

u11xysinxycos()，

2222223xxyxy(xy)uyyxy1yzzxxyyzzxlnzxyyzzx(lnz) xxuuu2xyzln2xz，2xyzln2xy 2xyzln2yz，yyx9．(1)

z1z1xln(xy)xyln(xy)1，xx xxyyxyy2z112z112zxyx，， 22xxyxyyx2xyyy(2)

zzxyx1 yxlny，yx18

2z2z2zx1x1x1x2x2xylnyyy(xlny1)ylny，， x(x1)y22xyyxy10． fx(x,y)exsiny，fy(x,y)excosy

(x,y)exsiny，fxy(x,y)fyx(x,y)excosy，fyy(x,y)exsiny fxx(0,)fyx(0,)1，fyy(0,)0 (0,)0，fxyfxxuz11． x11yz2u2xyz， 2222x2yx2y2x(xy)12yuzy22xyz1xxz，u ()22222222y(xy)xyxy12y2uuxarctan，20 zyz12．

duuudyudz dxxydxzdxdzzzdy2x112x212213．  2dxxydxxyxyxx(xy)14．

zzxzy118t338t 222txtyt(xy)(xy)(xy)15． 令ux2y2，vy，则zexyf(u,v) x16． uf(x,y,z)ln(xyz)，zexy 17． 设uxy，vyz，则wF(u,v)

wwuwvwwvxFu(u,v)zFv(u,v),yFv(u,v) yuyvyzvz18． 设三角形三内角分别为x，y，z，则xyz，zxy， 它们的正弦之积为usinxsinysin[(xy)]sinxsinysin(xy)

uxcosxsinysin(xy)sinxsinycos(xy)0由，

zsinxcosysin(xy)sinxsinycos(xy)0y19

解得 xy3时，它们的正弦之积为最大。

19．设圆心角分别为x，y，z，则xyz2，z2xy，

R2R2s[cosxcos(xy)]，sy[cosycos(xy)] x22sxsy0，得cosxcos(xy)cosy

R2233223sinR。 所以当xyz时，面积最大，此时s234320