题海无涯·备战中考
专题17 等腰、等边三角形问题
一、等腰三角形
1. 定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫腰,第三条边叫底边,两腰的夹角叫顶角,底边和腰的夹角叫底角. 2.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 3.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等,角相等,垂直关系等． 4.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴,通常情况只有一条对称轴． 5.等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理,是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 二、等边三角形
1. 定义：三边都相等的三角形叫等边三角形． 2. 性质
性质1：等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°；
性质2：等边三角形是轴对称图形,并且有三条对称轴,分别为三边的垂直平分线。 3.判定
（1） 三个角都相等的三角形是等边三角形； （2） 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； （3） 有两个角是60°的三角形是等边三角形。
专题知识回顾
精品资源·战胜中考
题海无涯·备战中考
三、含30的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它对的等于的一半. 四、解题方法要领
1.等腰（边）三角形是一个特殊的三角形,具有较多的特殊性质,有时几何图形中不存在
等腰（边）三角形,可根据已知条件和图形特征,适当添加辅助线,使之构成等腰（边）三角形,然后利用其定义和有关性质,快捷地证出结论。
2.常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问 题上,我们常将中线延长一倍,这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。
3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法,在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边或角,要对已知的边和角进行讨论,分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。
专题典型题考法及解析
【例题1】（2019•重庆）如图,在△ABC中,AB＝AC,D是BC边上的中点,连结AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C＝36°,求∠BAD的度数； （2）求证：FB＝FE．
0
【例题2】（2019▪黑龙江哈尔滨）如图,在四边形ABCD中,AB＝AD,BC＝DC,∠A＝60°,点E为AD边上一点,连接BD.CE,CE与BD交于点F,且CE∥AB,若AB＝8,CE＝6,则BC的长为 ．
精品资源·战胜中考
题海无涯·备战中考
【例题3】（2019•黄石）如图,在△ABC中,∠B＝50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD＝CF,则∠ACD+∠CED＝（ ）
A．125°
专题典型训练题
一、选择题
1.（2019宁夏） 如图,在△ABC中,ACBC,点D和E分别在AB和AC上,且ADAE．连接DE,过点A的直线GH与DE平行,若C40,则GAD的度数为（ ）．
A．40 B．45 C．55 D．70
B．145°
C．175°
D．190°
2.（2019•浙江衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是（ ）
A. 60° B. 65° C. 75° D. 80°
精品资源·战胜中考
题海无涯·备战中考
3.（2019•湖南长沙）如图,Rt△ABC中,∠C＝90°,∠B＝30°,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于M、N两点,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠CAD的度数是（ ）
A．20° B．30° C．45°
D．60°
4.（2019•湖南长沙）如图,△ABC中,AB＝AC＝10,tanA＝2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD+
BD的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．5
D．10
5.（2019•湖南邵阳）如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,∠B＝36°,AD是斜边BC上的中线,将△ACD沿AD对折,使点C落在点F处,线段DF与AB相交于点E,则∠BED等于（ ）
A．120° 二、填空题
6.（2019•湖南怀化）若等腰三角形的一个底角为72°,则这个等腰三角形的顶角为 ．
7.（2019•湖南邵阳）如图,将等边△AOB放在平面直角坐标系中,点A的坐标为（4,0）,点B在第一象限,将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′,则点B′的坐标是 ．
B．108°
C．72°
D．36°
精品资源·战胜中考
题海无涯·备战中考
8.（2019•湖北天门）如图,为测量旗杆AB的高度,在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°,在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°,点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m,则旗杆AB的高度为 m．
9.（2019▪贵州毕节）如图,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD．若∠B＝40°,∠C＝36°,则∠DAC的大小为 ．
10. （2019•湖北武汉）如图,在▱ABCD中,E.F是对角线AC上两点,AE＝EF＝CD,∠ADF＝90°,∠BCD＝63°,则∠ADE的大小为 ．
11.(2019黑龙江绥化)如图,在△ABC中,AB＝AC,点D在AC上,且BD＝BC＝AD,则∠A＝______度.
精品资源·战胜中考
题海无涯·备战中考
三、解答题
12.（2019湖北孝感）如图,已知∠C＝∠D＝90°,BC与AD交于点E,AC＝BD,求证：AE＝BE．
13.（2019•杭州）如图,在△ABC中,AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连接AP,求证：∠APC＝2∠B．
（2）以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连接AQ．若∠AQC＝3∠B,求∠B的度数．
14．（2019•重庆）如图,在△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于点D． （1）若∠C＝42°,求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上,EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．
15．（2019•南岸区）如图,直线AB∥CD,∠ACD的平分线CE交AB于点F,∠AFE的平分线交CA延长线于点G． （1）证明：AC＝AF；
（2）若∠FCD＝30°,求∠G的大小．
精品资源·战胜中考
题海无涯·备战中考
16．（2019•攀枝花）如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE是AC边上的中线,且BD＝CE．求证： （1）点D在BE的垂直平分线上； （2）∠BEC＝3∠ABE．
17.（2019•湖北十堰）如图,△ABC中,AB＝AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,点E为C延长线上一点,且∠CDE＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝3BD,CE＝2,求⊙O的半径．
18.（2019•甘肃武威）如图,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝120°,点D在BC边上,⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是⊙D的切线； （2）若CE＝2
,求⊙D的半径．
19. （2019•湖南衡阳）如图,在等边△ABC中,AB＝6cm,动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动,当点P到达点B时,点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E,连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．
精品资源·战胜中考
题海无涯·备战中考
（1）当t为何值时,△BPQ为直角三角形；
（2）是否存在某一时刻t,使点F在∠ABC的平分线上？若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由； （3）求DE的长；
（4）取线段BC的中点M,连接PM,将△BPM沿直线PM翻折,得△B′PM,连接AB′,当t为何值时,AB'的值最小？并求出最小值．
精品资源·战胜中考
