2015年四川省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（ ） A． {x|﹣1＜x＜3} B． {x|﹣1＜x＜1} C． {x|1＜x＜2} D． {x|2＜x＜3} 考点：并 集及其运算． 专题：函 数的性质及应用． 分析：求 解不等式得出集合A={x|﹣1＜x＜2}， 根据集合的并集可求解答案． 解答：解 ：∵集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}， ∴集合A={x|﹣1＜x＜2}， ∵A∪B={x|﹣1＜x＜3}， 故选：A 点评：本 题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题． 2．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i﹣=（ ） A． ﹣i B． ﹣3i 考点：复 数代数形式的乘除运算． 专题：计 算题． 分析： 通分得出i C． 3i D． 3

，利用i的性质运算即可． 解答： 3解：∵i是虚数单位，则复数i﹣， ∴===i， 故选；C 点评：本 题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题． 3．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）

A． ﹣ B． C． ﹣ D． 考点：程 序框图． 专题：图 表型；算法和程序框图． 分析：模 拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计算并输出S的值为． 解答：解 ：模拟执行程序框图，可得 k=1 k=2 不满足条件k＞4，k=3 不满足条件k＞4，k=4 不满足条件k＞4，k=5 满足条件k＞4，S=sin输出S的值为． 故选：D． 点评：本 题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题． 4．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A． B． y=cos（2x+） y=sin（2x+） C． y=sin2x+cos2x y=sinx+cosx D． 考点：两 角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法． 专题：三 角函数的图像与性质． 分析：求 出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可． =， 解答：解 ： y=cos（2x+y=sin（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确 ）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确； sin（2x+sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确； y=sin2x+cos2x=y=sinx+cosx=），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确； 故选：A． 点评：本 题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力． 5．（5分）（2015•四川）过双曲线x﹣

2

=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的

两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（ ） A． 6 B． C． 2 D． 4 考点：双 曲线的简单性质． 专题：圆 锥曲线的定义、性质与方程． 分析：求 出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|． 解答： 解：双曲线x﹣2=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=， 过双曲线x﹣2=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2， 可得yA=2，yB=﹣2， ∴|AB|=4． 故选：D． 点评：本 题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用． 6．（5分）（2015•四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） A． 144个 B． 120个 C． 96个 D． 72个 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：应 用题；排列组合． 分析：根 据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案． 解答：解 ：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个； 分两种情况讨论： ①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余3的3个位置上，有A4=24种情况，此时有3×24=72个， ②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A4=24种情况，此时有2×24=48个， 共有72+48=120个． 故选：B 点评：本 题考查计数原理的运用，关键是根据题意，分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征，进而可得其可选的情况． 7．（5分）（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，|

，

，则

=（ ）

9 C． 6 D． |=6，|

|=4，若点M、N满足

3 A． 20 15 B． 考点：平 面向量数量积的运算． 专题：平 面向量及应用． 分析： 根据图形得出=+===，=， •（）=2﹣， 结合向量结合向量的数量积求解即可． 解答： 解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足∴根据图形可得：=∴∵2，， =+， =， ===， •（）=22﹣， =2， ， =|∴故选：C |=6，|=22|=4， 22=12﹣3=9 点评：本 题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示． 8．（5分）（2015•四川）设a、b都是不等于1的正数，则“3＞3＞3”是“loga3＜logb3”的（ ） A． 充要条件 B． 充分不必要条件 C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件 考点：必 要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：简 易逻辑． ab分析： 解3＞3＞3，得出a＞b＞1， 求loga3＜logb3，或根据对数函数的性质求解即可， a

b

再利用充分必要条件的定义判断即可． 解答：解 ：a、b都是不等于1的正数， ∵3＞3＞3， ∴a＞b＞1， ∵loga3＜logb3， ∴即， ＜0， ab或 求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1 ab根据充分必要条件定义得出：“3＞3＞3”是“loga3＜logb3”的充分条不必要件， 故选：B． 点评：本 题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是分类讨论． 9．（5分）（2015•四川）如果函数f（x）=（m﹣2）x+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[

]上单调递减，那么mn的最大值为（ ）

18 B． 25 C． D． 2

A． 16 考点：基 本不等式在最值问题中的应用；利用导数研究函数的极值． 专题：函 数的性质及应用；导数的概念及应用；不等式的解法及应用． 分析： 2函数f（x）=（m﹣2）x+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，则f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．结合基本不等式求出mn的最大值． 解答： 2解：∵函数f（x）=（m﹣2）x+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[减， ∴f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．即 ]上单调递 由（2）得m≤（12﹣n）， ∴mn≤n（12﹣n）≤检验m=3，n=6满足（1）和（2）． 故选：B． 解法二： ∵函数f（x）=（m﹣2）x+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[∴①m=2，n＜8 对称轴x=﹣， 2=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经]上单调递减， ②即 ③即 设或或 设y=，y′=， 当切点为（x0，y0），k取最大值． ①﹣=﹣2．k=2x， ∴y0=﹣2x0+12，y0=∵x=3＞2 ∴k的最大值为3×6=18 ②﹣=﹣．，k==2x0，可得x0=3，y0=6， ， y0==， 2y0+x0﹣18=0， 解得：x0=9，y0= ∵x0＜2 ∴不符合题意． ③m=2，n=8，k=mn=16 综合得出：m=3，n=6时k最大值k=mn=18， 故选；B 点评：本 题综合考查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运用几何图形判断，难度较大，属于难题． 10．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）+y=r（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ） A． （1，3） B． （1，4） C． （2，3） D． （2，4） 考点：抛 物线的简单性质；直线与圆的位置关系． 专题：综 合题；创新题型；开放型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）先的距离为4，即可得出结论． 解答： ：设A（x1，y1）解，B（x2，y2），M（x0，y0）， 22斜率存在时，设斜率为k，则y1=4x1，y2=4x2， 则，相减，得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2）， 2

2

2

2

当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2， 因为直线与圆相切，所以即M的轨迹是直线x=3． 将x=3代入y=4x，得y=12，∴∵M在圆上，∴222=﹣，所以x0=3， ， ，∴r=2， ∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r＜16， 故2＜r＜4时，直线l有2条； 斜率不存在时，直线l有2条； 所以直线l恰有4条，2＜r＜4， 故选：D． 点评：本 题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

52

11．（5分）（2015•四川）在（2x﹣1）的展开式中，含x的项的系数是 ﹣40 （用数字填写答案）． 考点：二 项式定理的应用． 专题：二 项式定理． 分析：根 据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为2求得r，再代入系数求出结果． 解答：解 ：根据所给的二项式写出展开式的通项， Tr+1=要求x的项的系数， ∴5﹣r=2， ∴r=3， ∴x的项的系数是2（﹣1）C5=﹣40． 故答案为：﹣40． 点评：本 题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具． 12．（5分）（2015•四川）sin15°+sin75°的值是

．

22332； 考点：两 角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值． 专题：三 角函数的求值． 分析：利 用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可． 解答： 解：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=故答案为：． sin60°=． 点评：本 题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力． 13．（5分）（2015•四川）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e（e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 24 小时． 考点：函 数与方程的综合运用． 专题：计 算题；函数的性质及应用． 分析： 题意可得，x=0时，y=192；x=22时，y=48．代入函数y=ekx+b，解方程，可得k，由b，再由x=33，代入即可得到结论． 解答：解 ：由题意可得，x=0时，y=192；x=22时，y=48． kx+b代入函数y=e， b22k+b可得e=192，e=48， 即有e11kkx+b

=，e=192， 33k+bb则当x=33时，y=e=×192=24． 故答案为：24． 点评：本 题考查函数的解析式的求法和运用，考查运算能力，属于中档题． 14．（5分）（2015•四川）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为．

考点：异 面直线及其所成的角． 专题：空 间角；空间向量及应用． 分析：首 先以AB，AD，AQ三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，M（0，y，2），从而可求出向量的坐标，由cosθ=得到，对函数求导，根据导数符号即可判断该函数为减函数，从而求出cosθ的最大值． 解答：解 ：根据已知条件，AB，AD，AQ三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2，则： A（0，0，0），E（1，0，0），F（2，1，0）； M在线段PQ上，设M（0，y，2），0≤y≤2； ∴； ∴cosθ==； 设f（y）=，； 函数g（y）=﹣2y﹣5是一次函数，且为减函数，g（0）=﹣5＜0； ∴g（y）＜0在[0，2]恒成立，∴f′（y）＜0； ∴f（y）在[0，2]上单调递减； ∴y=0时，f（y）取到最大值． 故答案为：． 点评：考 查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，异面直线所成角的概念及其范围，向量夹角的概念及其范围，以及向量夹角余弦的坐标公式，函数导数符号和函数单调性的关系． 15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2，g（x）=x+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=

，n=

．现有如下命题：

x

2

①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；

②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0； ③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n； ④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n． 其中的真命题有 ①④ （写出所有真命题的序号）． 考点：命 题的真假判断与应用． 专题：创 新题型；开放型；函数的性质及应用． 分析：运 用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②； 通过函数h（x）=x+ax﹣2，求出导数判断单调性，即可判断③； 2x通过函数h（x）=x+ax+2，求出导数判断单调性，即可判断④． 解答：解 ：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确； 对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，则n＞0不恒成立， 则②错误； 2对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），考查函数h（x）=x+axx﹣2， xh′（x）=2x+a﹣2ln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误； 对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）2x=x+ax+2， xh′（x）=2x+a+2ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确． 故答案为：①④． 点评：本 题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2x16．（12分）（2015•四川）设数列{an}（n=1，2，3，…）的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）记数列{

}的前n项和为Tn，求使得|Tn﹣1|

成立的n的最小值．

考点：数 列的求和． 专题：等 差数列与等比数列． 分析： Ⅰ）由已知数列递推式得到an=2an﹣1（n≥2）（，再由已知a1，a2+1，a3成等差数列求出数列首项，可得数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求； （Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列{}的通项公式，再由等比数列的前n项和求得Tn，结合求解指数不等式得n的最小值． 解答： ：解（Ⅰ）由已知Sn=2an﹣a1，有 an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1 （n≥2）， 即an=2an﹣1（n≥2）， 从而a2=2a1，a3=2a2=4a1， 又∵a1，a2+1，a3成等差数列， ∴a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2． ∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．故（Ⅱ）由（Ⅰ）得：， ； ∴． 由9，得10，即2＞1000． n∵2=512＜1000＜1024=2， ∴n≥10． 于是，使|Tn﹣1|成立的n的最小值为10． 点评：本 题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 17．（12分）（2015•四川）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．

（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．

考点：离 散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 专题：概 率与统计． 分析：（ Ⅰ）求出A中学至少有1名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可； （Ⅱ）求出X表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到X的分布列，然后求解数学期望． 解答：解 ：（Ⅰ）由题意，参加集训的男、女学生共有6人，参赛学生全从B中抽出（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为：=，因此A中学至少有1名学生入选代表队的概率为：1﹣=； （Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数， 则X的可能取值为：1，2，3， P（X=1）==， P（X=2）==， P（X=3）=X的分布列： X P =． 1 =2． 2 3 和数学期望EX=1×点评：本 题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力． 18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M、GH的中点为N．

（Ⅰ）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （Ⅱ）证明：直线MN∥平面BDH； （Ⅲ）求二面角A﹣EG﹣M的余弦值．

考点：二 面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 专题：空 间位置关系与距离；空间角． 分析：（ Ⅰ）根据展开图和直观图之间的关系进行判断即可； （Ⅱ）利用线面平行的判定定理即可证明直线MN∥平面BDH； （Ⅲ）法一：利用定义法求出二面角的平面角进行求解． 法二：建立坐标系，利用向量法进行求解即可． 解答：解 ：（Ⅰ）F、G、H的位置如图； 证明：（Ⅱ）连接BD，设O是BD的中点， ∵BC的中点为M、GH的中点为N， ∴OM∥CD，OM=CD， HN∥CD，HN=CD， ∴OM∥HN，OM=HN， 即四边形MNHO是平行四边形， ∴MN∥OH， ∵MN⊄平面BDH；OH⊂面BDH， ∴直线MN∥平面BDH； （Ⅲ）方法一： 连接AC，过M作MH⊥AC于P， 则正方体ABCD﹣EFGH中，AC∥EG， ∴MP⊥EG， 过P作PK⊥EG于K，连接KM， ∴EG⊥平面PKM 则KM⊥EG， 则∠PKM是二面角A﹣EG﹣M的平面角， 设AD=2，则CM=1，PK=2， 在Rt△CMP中，PM=CMsin45°=在Rt△PKM中，KM=∴cos∠PKM=， ． ， =， 即二面角A﹣EG﹣M的余弦值为方法二：以D为坐标原点， 分别为DA，DC，DH方向为x，y，z轴建立空间坐标系如图： 设AD=2，则M（1，2，0），G（0，2，2），E（2，0，2），O（1，1，0）， 则=（2，﹣2，0），， 设平面EGM的法向量为=（x，y，z）， 则，即，令x=2，得=（2，2，1）， 在正方体中，DO⊥平面AEGC， 则==（1，1，0）是平面AEG的一个法向量， ＞====． 则cos＜二面角A﹣EG﹣M的余弦值为． 点评：本 题主要考查简单空间图形的直观图，空间线面平行的判定和性质，空间面面夹角的计算，考查空间想象能力，推理能力，运算求解能力． 19．（12分）（2015•四川）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角． （Ⅰ）证明：tan

；

（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．

考三角函数恒等式的证明． 点： 专三角函数的图像与性质；解三角形． 题： 分（Ⅰ）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可． 析： （Ⅱ）通过A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，利用（Ⅰ）化简tan+tan+tan+tan=，连结BD，在△ABD中，利用余弦定理求出sinA，连结AC，求出sinB，然后求解即可． 解答： 证明：（Ⅰ）tan===．等式成立． （Ⅱ）由A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，由（Ⅰ）可知：tan+tan+tan+tan==222，连结BD，在△ABD中，有BD=AB+AD﹣2AB•ADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5， 222在△BCD中，有BD=BC+CD﹣2BC•CDcosC， 2222所以AB+AD﹣2AB•ADcosA=BC+CD﹣2BC•CDcosC， 则：cosA===． 于是sinA==， 连结AC，同理可得：cosB===， 于是sinB==． ==． 所以tan+tan+tan+tan= 点本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理．简单的三角恒等变换，考查函数与方程的评： 思想，转化与化归思想的应用． 20．（13分）（2015•四川）如图，椭圆E：的离心率是，过点P

（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2． （Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

恒成立？

考点：直 线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题：创 新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）通过直线l平行于x轴时被椭圆E截得的线段长为2及离心率是，计算即得结论； （Ⅱ）通过直线l与x轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．然后分直线l的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l，均有即可． ， 解答： ：解（Ⅰ）∵直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2∴点（，1）在椭圆E上， 又∵离心率是， ∴，解得a=2，b=， ∴椭圆E的方程为：+=1； 恒成立． （Ⅱ）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得理由如下： 当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点， 如果存在定点Q满足条件，则有==1，即|QC|=|QD|． ∴Q点在直线y轴上，可设Q（0，y0）． 当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点， 则M、N的坐标分别为（0，）、（0，﹣）， 又∵=，∴=，解得y0=1或y0=2． ∴若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）． 下面证明：对任意直线l，均有． 当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立． 当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1， A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）， 联立2，消去y并整理得：（1+2k）x+4kx﹣2=0， 222∵△=（4k）+8（1+2k）＞0， ∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣， ∴+==2k， 已知点B关于y轴对称的点B′的坐标为（﹣x2，y2）， 又kAQ===k﹣，kQB′===﹣k+=k﹣， ∴kAQ=kQB′，即Q、A、B′三点共线， ∴===． 故存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立． 点评：本 题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题． 21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x﹣2ax﹣2a+a，其中a＞0． （Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性； （Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解． 考利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 点： 专创新题型；导数的综合应用． 题： 分（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，把函数f（x）求导得到g（x）再对g（x）求导，得析：到其导函数的零点，然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数 g（x）的单调期间； （Ⅱ）由f（x）的导函数等于0把a用含有x的代数式表示，然后构造函数φ（x）=x22

2

，由函数零点存在定理得到x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），利用导数求得a0∈（0，1），然后进一步利用导数说明当a=a0时，若x∈（1，+∞），有f（x）≥0，即可得到存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解． 解解：（Ⅰ）由已知，函数f（x）的定义域为（0，+∞）， 答： g（x）=， ∴当0＜a＜时，g（x）在在区间当a上单调递减； 时，g（x）在（0，+∞）上单调递增． ． 上单调递增， （Ⅱ）由令φ（x）=x2=0，解得， ， 则φ（1）=1＞0，φ（e）=故存在x0∈（1，e），使得φ（x0）=0． 令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1）， ． 由知，函数u（x）在（1，+∞）上单调递增． ∴即a0∈（0，1）， 当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=φ（x0）=0． 由（Ⅰ）知，f′（x）在（1，+∞）上单调递增， ． 故当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，从而f（x）＞f（x0）=0； 当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而f（x）＞f（x0）=0． ∴当x∈（1，+∞）时，f（x）≥0． 综上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解． 点本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查推理评：论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了函数与方程、数形结合、分类与整合、化 归与转化等数学思想方法，是压轴题． 2015年四川省高考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（ ） A． {x|﹣1＜x＜3} B． {x|﹣1＜x＜1} C． {x|1＜x＜2} D． {x|2＜x＜3} 2．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i﹣=（ ） A． i 3i ﹣i B． ﹣3i C． D． 3．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）

3

A． ﹣ B． C． ﹣ D． 4．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A． B． y=cos（2x+） y=sin（2x+） C． y=sin2x+cos2x 5．（5分）（2015•四川）过双曲线x﹣

2

y=sinx+cosx D． =1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的

两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（ ）

A． B． 2 6 C． D． 4 6．（5分）（2015•四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） A． 144个 B． 120个 C． 96个 D． 72个 7．（5分）（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，|

，

A． 20 ，则15 B． =（ ）

9 C． a

b

|=6，||=4，若点M、N满足

6 D． 8．（5分）（2015•四川）设a、b都是不等于1的正数，则“3＞3＞3”是“loga3＜logb3”的（ ） A． 充要条件 B． 充分不必要条件 C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件 9．（5分）（2015•四川）如果函数f（x）=（m﹣2）x+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[

]上单调递减，那么mn的最大值为（ ）

18 B． 25 C． D． 2

2

2

2

A． 16 10．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）+y=r（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ） A． （1，3） B． （1，4） C． （2，3） D． （2，4）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

52

11．（5分）（2015•四川）在（2x﹣1）的展开式中，含x的项的系数是（用数字填写答案）． 12．（5分）（2015•四川）sin15°+sin75°的值是． 13．（5分）（2015•四川）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满

kx+b

足函数关系y=e（e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是小时． 14．（5分）（2015•四川）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为．

2

15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2，g（x）=x+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=

，n=

．现有如下命题：

x

2

①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；

②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0； ③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n； ④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n． 其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（12分）（2015•四川）设数列{an}（n=1，2，3，…）的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）记数列{

}的前n项和为Tn，求使得|Tn﹣1|

成立的n的最小值．

17．（12分）（2015•四川）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．

（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望． 18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M、GH的中点为N．

（Ⅰ）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （Ⅱ）证明：直线MN∥平面BDH； （Ⅲ）求二面角A﹣EG﹣M的余弦值．

19．（12分）（2015•四川）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角． （Ⅰ）证明：tan

；

（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．

20．（13分）（2015•四川）如图，椭圆E：

的离心率是

，过点P

（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2． （Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

恒成立？

21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x﹣2ax﹣2a+a，其中a＞0． （Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性； （Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．

2

2