职高数学第九章立体几何习题及答案精编版

第7章 立体几何习题

练习9.1.1

1、判断题，下列语句说法正确的打“√”，错误的打“Χ” （1）一个平面长是4cm，宽是2cm（ ）；

（2）10个平面重叠在一起比5个平面重叠在一起要厚（ ）； （3）一个平面将空间分成两部分（ ）。 2、选择题（每题只有一个正确答案）

（1）以下命题中，正确的个数是（ ）

①平面是没有边界且光滑的图形，②四条线段首首尾连接，所得图形一定是平面图形，③画两个相交平面时，一定要画出交线。

A．0 B．1 C．2 D．3 （2）下列说法中，正确的是（ ）

A．教室里的黑板面就是平面 B．过一条直线的平面只有1个

C．一条线段在一个平面内，这条线段的延长线可以不在这个平面内 D．平面是没有厚薄之分的

3、如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，请表示出该图形的6个平面（要求用各面的四个顶点来表示）

参： 1、（1）Χ（2）Χ（3）√ 2、（1）C（2）D 3、平面ABCD，平面A1B1C1D1，平面ADD1 A1，平面BCC1 B1，平面ABB1 A1，平面D CC1D1

练习9.1.2

1、选择题（每题只有一个正确答案） （1）下列说法中有错误的是（ ）

①三个点可以确定一个平面，②若两个平面有一个公共点，则它们有无数多个公共点，③空间任意两条直线可以确定一个平面，④直线与直线外一点可以确定一个平面。 A．①② B．①③ C．②④ D．③④ （2）下列图形中不一定是平面图形的是（ ）

A．三角形 B．平行四边形 C．四条线段首尾连接而成的四边形 D．梯形 （3）用符号表示语句“直线a，b相交于平面α内一点M”，正确的是（ ） A．abM,a,b B．abM,M

C．abM,a刎,b D．M,Mab,a刎,b 2、用符号表示下列语句

（1）点A在直线a上，直线a在平面α内

（2）平面β过直线b及b外一点M，点N在平面β外，直线c过点M，N

1

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3、如图所示，对于长方体ABCD—A1B1C1D1，回答下列问题。 （1）直线AC是否在平面ABCD内？

（2）四点A、A1、C、C1是否在同一平面内？ （3）过直线AD和点B1的平面有多少个？

参： 1、（1）B（2）C（3）B 2、（1）Aa,a（2）b,M,Mb,N,Mc,Nc

3、（1）AC平面ABCD，（2）因为AA1∥CC1，所以四点A、A1、C、C1是在同一平面 （3）过直线AD和点B1的平面只有一个

练习9.2.1

1、填空题

（1）空间内两条直线有三种位置关系： 、 、 （2）若a∥b，b∥c，则 2、选择题

（1）两条异面直线是指（ ）

A．空间中两条不相交的直线 B．分别在两个平面内的两条直线 C．不同在任何一个平面内的两条直线 D．平面内一条直线和平面外的一条直线 （2）已知直线a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（ ）

A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 （3）已知在空间里两条直线a，b都和第三条直线c垂直且相交，则直线a，b位置关系是（ ）

A.平行 B.相交 C. 异面 D.平行、相交或异面

3、如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E和F分别是棱B1C1和CC1的中点，试分析下列两对直线的位置关系：

（1）EF与AA1； （2）EF与A1D E

F

参：

1、（1）平行 相交 异面（2）a∥c 2、（1）C（2）C（3）D 3、（1）EF与AA1异面直线；（2）EF∥A1D

练习9.2.2

1、填空题

（1）直线与平面的位置关系有三种： 、 、 ； （2）直线在平面外指 与 两种直线与平面位置的统称。 2、选择题

（1）如果直线a∥平面α，直线b平面，那么a与b的位置关系一定是（ ） A. a∥b B. a与b异面 C. a与b相交 D. a与b无公共点 （2）下列命题中，a，b表示直线，α表示平面，其中正确命题的个数是（ ）

2

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①若a//,b//,则a//b ②若a//b,b//,则a// ③a,b,且a，b不相交，则a∥b A.0 B.1 C.2 D.3

（3）下列条件中，可得出直线a∥平面α的是（ ）

A. a与α内一条直线不相交 B. a与α内所有直线不相交 C.直线b∥直线a, 直线b∥平面α D. 直线a平行于α内无数条直线 3、已知：空间四边形 ABCD，E，F 分别是 AB，AD 的中点(如图)． 求证：EF // 平面 BCD． E

B

参： 1、（1）直线与平面相交 直线与平面平行 直线在平面内 （2）直线与平面相交 直线与平面平行 2、（1）D（2）A（3）B

3、证明：连结 BD，在 △ABD 中， 因为 E，F 分别是 AB，AD 的中点， 所以 EF // BD．

又因为 BD 是平面 ABD 与平面 BCD 的交线，EF Ø 平面 BCD， 所以 EF // 平面 BCD．

A F D C

练习9.2.3

1、填空题

（1）空间内两个平面有两种位置关系： 与 ；

（2）如果一个平面内的 都与另一个平面平行，那么这两个平面平行； （3）如果一个平面与两个平行平面相交，那么 。 2、选择题

（1）已知平面α∥平面β，若直线a平面，直线b平面，则a与b的关系是（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 （2）给出以下命题：

①如果平面α∥平面β，直线a∥平面β，那么直线a∥平面α；②若平面α∥平面β，直线a平面，直线b平面，那么a∥b ；③若直线a∥平面α，直线b//平面，且a∥b，则平面α∥平面β；④直线a平面，直线b平面， a∥b，则平面α∥平面β。 其中真命题的个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

（3）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列结论正确的是（ ）

A．平面A1B1C1∥平面ACD B．平面BDC1∥平面B1D1C C．平面B1D1D∥平面BD A1 D．平面AD C1∥平面A D1C P 3、已知空间四边形PABC，连接PB，AC，且D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点(如图)．

求证：平面 DEF // 平面 ABC．

A

3

D

E

F

C B

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参： 1、（1）相交 平行（2）两条相交直线（3）两条交线平行 2、（1）D（2）A（3）A

3、证明 在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE // AB． 又因为DE 平面ABC，所以DE // 平面ABC． 同理EF // 平面ABC．

又因为DE∩EF＝E，AB∩BC＝B， 所以平面DEF//平面ABC．

练习9.3.1

1、填空题

如图，在正方体ABCD-ABCD 中：

（1）直线A B与C D是 直线，直线A B与C D所成的角＝ ； （2）直线BC与C D是 直线，直线BC与C D所成的角＝ ；

（3）直线A B与AD是 直线，直线A B与AD所成的角＝

2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1和B1C1的中点，求：

（1）直线AD与EF所成角的大小； （2）直线B1C与EF所成角的大小。 参： 1、（1）异面 45°（2）异面 90°（3）异面 60° 2、（1）45°（2）60°

D A

B

C

D A

B C

E F练习9.3.2

1、选择题

（1）若斜线段AB和长是它在平面α内和射影长的2倍，则

AB与平面α所成的角为（ ） A．60° B．30° C．120°或60° D．150°或30°

（2）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线D1B与平面ABCD所成角的正切值为（ ） 231 B． C． D．2

222（3）给出以下几个命题：

①一条直线在平面上的射影是一条直线；②在同一平面上的射影长相等，则斜线段长也相等；③两条斜线与一个平面所成的角相等，则这两条斜线平行；④过一点只能作一条直线与一平面成45°角。

其中错误的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

A．2、如图长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝1，AA1＝2．求对角线A1C与平面ABCD所成的角．

4

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参：

1、（1）A（2）A（3）D

2、连接AC，由题意知△A1AC为直角三角形，且A1AC＝90．又由题意，可知

AC＝AB2＋BC2＝12＋12＝2． 而AA1＝2，所以ACA1＝45．

因此A1C与平面ABCD所成的角为45．

A1

D1 B1

C1

D A

B C

练习9.3.3

1、选择题

（1）二面角是指（ ）

A.两个平面所组成的角 B.从一条直线出发两个平面组成的图形 C.从一条直线出发两个半平面组成的图形 D. 两个两平面所夹角为不大于90°的角 （2）给出以下三个命题：

①一个二面角的平面角只有一个；②二面角的平面角的大小与二面角的两个面的相对位置有关；③二面角的平面角的大小与平面角的顶点在棱上的位置有关。其中正确命题的个数为：（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

（3）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1BC1与底面ABCD所成的二面角（锐角）的 正切值是（ ） A．2 B．2 C．3 D．2 22、如图，已知正方体 ABCD-ABCD，求二面角 D-AB-D 的大小． 参： 1、（1）C（2）B（3）D 2、在正方体ABCD-ABCD 中，因为AB⊥平面 ADDA， 所以AB⊥AD，AB⊥AD，

因此DAD即为二面角 D-AB-D的平面角．

o

由于△DAD是等腰直角三角形，因此DAD＝45，

o

所以二面角 D-AB-D 的大小为45．

D

A

B

C

D

A

B C

练习9.4.1

1、填空题：

如果空间两条直线a和b所成的角等于 ，那么称这两条直线互相垂直，记为 。 2、选择题： 给出下列命题：

①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线平行或异面；③经过空间任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。 其中正确命题个个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

3、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，判断下列各组直线是否垂直？

5

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（1）AA1与BC；（2）AB1与CD；（3）A1 B1与AD

参： 1、90° a⊥b 2、A 3、（1）垂直（2）不垂直\\（3）垂直

练习9.4.2

1、选择题：

（1）下列四个命题中正确的是（ ） ①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一平面的两条直线平行；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行。

A．①②④ B．①④ C．① D．①②③④ （2）一条直线l与平面α内两条直线m，n都垂直，则（ ）

A．l⊥α B．l在α内 C．l∥α D．l与α关系不确定 （3）垂直于三角形两边的直线与三角形所在的平面的位置关系是（ ） A．垂直 B．平行 C．斜交 D．不能确定

2、如图，已知ABCD是正方形，P是平面ABCD外一点，且PA=PC，PB=PD，O是AC与BD的交点。求证：PO⊥平面ABCD。

P

D C

O A 参：

B 1、（1）B（2）D（3）A

2、因为ABCD是正方形，所以O是AC与BD的中点 在△PAC中，PA=PC，则PO⊥AC； 在△PBD中，PB=PD，则PO⊥BD；

因为AC与BD相于点O，且AC与BD均在平面ABCD中， 所以PO⊥平面ABCD

练习9.4.3

1、选择题：

（1）已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下列四个命题中，正确的是（ ） A．

m//m//m// B．l C．m//n D． m//n

lmnn（2）若平面，则（ ）

A．α中任意一条直线都垂直于β B．α中有且仅有一条直线垂直于β

C．平行于α的直线都垂直于β D．α内至少有一条直线垂直于β

2、如图所示，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆上任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC

6

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P

C

A

3、已知Rt△ABC中，AB＝AC＝a，AD是斜边上的高，以AD为折痕使BDC成直角，如图所示．求证：

(1)平面ABDC⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；(2)BAC＝60．

A

B D

(1)

参： 1、（1）D（2）D

2、因为AB是圆O的直径，C是圆上点 所以AC⊥BC

又因为PA垂直于圆O所在的平面，BC在圆O所在的平面 所以PA⊥BC

因为PAACA,PA,AC平面PAC 所以BC⊥平面PAC 因为BC平面PBC

所以平面PAC⊥平面PBC

3、(1) 如图(2)，因为AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC， 因为平面ABD和平面ACD都过AD，

所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；

BO A C D B (2)

C (2) 如图(1)，在Rt△BAC中，因为AB＝AC＝a，所以BC＝2 a，BD＝DC＝如图(2)，因为△BDC是等腰直角三角形，所以BC＝2 BD＝2×所以AB＝AC＝BC． 因此BAC＝60．

2

a＝a． 2

2a． 2

练习9.5.1

1、填空题

（1）侧棱与底面斜交的的棱柱叫 ，侧棱与底面垂直的的棱柱叫 ，底面是正多边形的直棱柱叫 。

（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形，且这些三角形有一个公共顶点，这样的多面体叫 ，底面是正多边形，其余各面是全等的等腰三角形的棱锥叫 。 2、选择题

7

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（1）下列命题中，正确的是（ ）

A．各侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．各侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 C．有两个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱 D．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 （2）下列命题中，正确的个数是（ ）

①如果直四棱柱的侧面都是全等的矩形，则它是正四棱柱；②如果四棱柱的底面是正方形，则它是正四棱柱；③在四棱锥P─ABCD中，若棱锥的侧棱长相等，则它是正四棱锥；④若棱锥的底面是正方形，则它是正四棱锥。

A．0 B．1 C．2 D．3

3、已知一个正四棱柱的底面边长为2cm，高为5cm，求该正四棱柱的全面积和体积； 4、已知一个正四棱锥 S-ABCD 的高 SO 和底面边长都是4，求它的侧面积． S C

D

E O A

B 参：

1、（1）斜棱柱 直棱柱 正棱柱（2）棱锥 正棱锥 2、（1）D（2）A 3、S全48cm2,V20cm3

4、过点 O 作 OE  BC 于点 E，连接 SE． 则在Rt△SOE中，SE2＝SO2＋OE2＝16＋4＝20， 所以SE＝25．

11

因此S正棱锥侧＝Ｃh＝×4×4×25＝165，

22所以正四棱锥S-ABCD的侧面积是165．

练习9.5.2

1、填空题

（1）以 的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面（或平面）所围成的几何体叫圆柱；

（2）以直角三角形的一条 为旋转轴旋转一周，其余各边旋转而形成的曲面（或平面）所围成的几何体叫圆锥；

（3）以半圆的 所在的直线为旋转轴旋转一周，所形成的曲面叫球面，曲面围成的几何体叫 。 2、选择题

（1）若圆柱的轴截面面积为4，体积为10，则它的底面半径是（ ） A．2 B．5 C．4 D．20

（2）如果圆锥的高等于底面的直径，则它底面积与侧面积的比为（ ） A．1:2 B．1:3 C．1:2 D．1:5 （3）球的表面扩大到原来的2倍，则球的体积扩大到原来的（ ）倍 A．2 B．22 C．2 D．8

8

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3、已知圆柱的底面半径为3，母线长为6，求该圆柱的全面积及体积． 4．已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，求该圆锥的全面积及体积． 5、已知球的大圆的周长为4，求球的表面积及体积 参： 1、（1）矩形（2）直角边（3）直径 球 2、（1）B（2）D（3）B 3、S全,V 4、S全12,V5、S球表83 332 16,V3练习9.5.3

1、选择题

（1）已知圆柱和圆锥的底面积相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2 =（ ） A．1:3 B．1:1 C．2:1 D．3:1 （2）把直角三角形绕斜边旋转一周，所得的几何体是（ ）

A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．由两个底面贴近的圆锥组成的组合体 2、如何所示，该组合体上部分是一个半径为1的圆球，下部分是一个半径为1的、高为3的圆柱，求几何体的表面积。

3、有一个六角螺母毛坯，它的底面正六边形的边长是12 mm，高是10 mm，内孔直径是10 mm，求这个毛坯的体积． 参： 1、（1）D（2）D 2、10 3、因为V正六棱柱＝

3×122×6×10 3 741 (mm3)，V圆柱 ＝×52×10785(mm3) ， 4

所以一个毛坯的体积为V＝3741－785＝2 956 (mm3) 2．96 (cm3)．

9