数学公式汇总表

函数 arcsinx+arccosx =极 限 函数连续性 （定义一）设函数f(x)在x0的邻域内有定义，且limf(x0x)f(x0)0 x02 2arctanx+arccotx =1cosxxsinx2 设lim(x)0，lim(x)0 xx0(x)xx0(x)sinxx0) （2）limnn，为(x)比(x)低价的无穷小 sin(xn）=(-1)sinx；cos(xn）=(-1)cosx f(x)g(x)f(x)g(x)2则称f(x)在x = x0处连续 maxf(x),g(x) （3）limC，为(x)与(x)是同价无穷小 minf(x),g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)2 无穷小第一类间断点：f(x)在x0的邻域内左右极限都存在， （4）lim(x)(x)1，为(x)与(x)是等价无穷小 常用的等价形式：当x0时 xsinxtanxarcsinxarctanx tanxx13x，sinx-xx3间断点类型①左右极限不相等 {称跳跃间断点}； ②左右极限相等，但不等于f(x0) {称可去间断点} 第二类间断点：f(x)在x0的邻域内左右极限至少有一个不存在 16x 12x 23f(x)关于x=T对称，则f(x+T)=f(T-x) e1x；x1xln；1-cosx（1）limf(x)Alim-f(x)lim+f(x)A （左右极限相等，并等于A）； xx0切线方程：yy0f(x)(xx0) 法线方程：yy0积化和差公式： sinsin2sinsinsin2cos1f(x)(xx0) xx0xx0ln(1+x)x；(1+x)1x （2）limf(x)Af(x)A+(x)， 其中lim(x) = 0 xx0xx0（3）limf(x)A，有0，（或f(x)0）； x(x0,x0)f(x)0A>0(或A<0)，xx02cossin22 sincos coscos12(sin()cos()) coscos2cos2重要定理和公式（4）limf(x)A，f(x)0（或f(x)0）A0 (或A0) xx0（5）单调有界数列必有极限； （6）夹逼法：(x)f(x)(x)，lim(x)=lim(x)A limf(x)A xx0xx0xx0 sinxxxcoscos2sinn22cos1212sin22(cos()cos()) (cos()cos()) （7）limlim(1xx01； limxx0x1；limnn1；（8）limu(x)v(x) sinsinn1x)elim(1u(x))推广v(x)e{其中u(x)0，v(x)}； sin(xn)(1)sinx，cos(xn)(1)cosx （9）当x时由慢到快lnx,xa,ax,xxna,an,n!nn，当n时由慢到快lnn,

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导数与微分 导数：设函数yf(x)在x0的邻域内有定义，且lim 导数公式 (a)alna 1xlnaxxyxx0=limf(x0x)f(x0)xx0存在则称函数在x0处可导，记f(x0) 定理 基本微分表 （1）f(x0)存在f-(x0)f+(x0) {左右导数相等}；（2）yf(x)在点x0处可导yf(x)在点x0处连续 （3）函数f(x)在点x0处可微f(x)在点x0处可导 （4）（函数极限局部保号性）设f(x)在点x0可导，且f(x0)0则在的某一邻域(x0)中， adxa xxlnaC (logax)xdxln1xC lnxdxxlnx-x+c f(x)f(x0)xx00 即：x>x0时，f(x)f(x0)；x2

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不定积分及定积分 函数f(x)的一个原函数是F(x)（1）F(x)f(x) 或 广义积分 f(x)dxF(x)C df(x)f(x)C 无穷极限积分a1xpdx当p1时收敛，当03

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20sinxdxn20(n1)!!n=2kn!!2n cosxdx (n1)!!n=2k-1n!!微分中值定理 一元微积分的应用 驻点：方程f(x0)0的解，为函数f(x)的驻点 必要条件：如果函数f(x)在x0可导，且在x0取得极值，那么f(x0)0 费尔马罗尔函数f(x)在x0的某邻域内恒有f(x)f(x0){或f(x)f(x0)}f(x0)0 如果函数y=f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导， 且f(a)f(b)，那么在(a,b)内至少有一点， f()0 如果函数y=f(x)在区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导， n!!=n(n-2)(n-4) 充分条件一：设函数f(x)在x0连续，且在x0的去心邻域内可导，且f(x0)0 {或f(x)在x0处连续，但f(x0)不存在} 20babsinxdx220cosxdx 2f(x)dx的展开： f(x)dx =a+b2[f(a)f(b)]1a2baf(x)(x-a)(x-b)dx 拉格朗日中值那么在(a,b)内至少有一点，f(b)-f(a)=f()(ba) 极值当xx0时f(x0)0，那么f(x)在x0取得极大值； 当xx0时f(x0)0，那么f(x)在x0取得极小值； 极值充分条件二：设函数f(x)在x0有二阶导数，且f(x0)0但f(x0)0，  ba(x-a)(x-b)dx16(ab) {负数} 3如果函数f(x)，g(x)在闭区间a,b连续，在开区间(a,b)可导，而且g(x)0， 当f高x(n)xn()ln 阶导m(n)mn (x)m(m1)(mn1)x数 (sinkx)(n)柯西中值定理(x0)0时，f(x)在x0极小值； 当f(x0)0时，f(x)在x0极大值 则在(a,b)内至少有一点，f(b)-f(a)g(b)-g(a)=f()g() ksin(kxnnn2) 设f(x)在a,b上连续，且f(a)f(b)0，则一定存在(a,b)，f()0 ) 判定曲线凹向的方法在f(x)的定义区域内任意两点x1，x2，（图示法理解） 恒有f(x1+x22f(x1)+f(x2)2) {或f(x1+x22)f(x1)+f(x2)2}f(x)是凸的（凹） f(x)>0的区间(有极小值)曲线凹的；f(x)<0的区间（有极大值）曲线凸的 (coskx)(n)kcos(kxn2(ln(x))(n)(1)n1(n1)!1(x)n 零点存在定理如果f(x)<0，则对任何正数q1，q2，q1q21q1f(x)+q2f(x)0f(x)M 函数：(r)0xr1exdx （r0） 介值结论：一个连续函数的极值点可能是一阶导数、二阶导数不存在的； 如果f(x)有三阶导数，(x0,f(x0))要么是极值点，要么是拐点{不会同时存在} 水平渐进线：limf(x)b {或limf(x)b} 性质：(r+1)r(r)；(n)n! （n为自然数） (1)1 即0exdx1 设f(x)在a,b上连续，则在a,b上f(x)至少取得最大值与最小值各一次，即存xx最值定理在，f()max{f(x)}，f()min{f(x)} axbaxbf(x) {或lim-f(x)} 垂直渐进线：lim+xx0xx0斜渐进线：limf(x)xxa, limf(x)axb f(x)axb x 如果曲线有水平渐进线就不会有斜渐进线，反之亦然。

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二元函数 z连续 ,z偏导数zx连续z可微y偏导数存在二重积分 如果在上有f(x,y)g(x,y)，泰勒级数 f(x,y)dg(x,y)d 设M，m分别为f(x,y)在闭域上的最大与最小值 (x，y)fy x(x，y) 一般情况下，fxy当zf(x，y)的二阶偏导数在区域D上连续时，(x，y)fyx(x，y) fxymf(x,y)dM 泰勒级数展开公式f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(n1)f(x0)2!(xx0)2f(n)(x0)n!(xx0)Rn n余项：Rnf()(n1)!(xx0)n1,f(x)可展开成泰勒级数充要条件是：limRn0 n 中值定理设f(x,y)在闭域上连续，则在上至少存在一点,， f(x,y)df, 麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)xf(0)2nx2limxzxyzzx2!f(n)(0)xnn! 0，{xy} 22dxzdy 该极限为零时，函数z可微，dzzxyfx(x，y)0方程组的解，为zf(x，y)驻点 f(x，y)0y二重积分对称性设积分域D关于X轴、Y轴、原点对称，则： 0f(x,y)d2f(x,y)dDD1f(x,y)分别为y、x、 (x,y)奇函数f(x,y)分别为y、x、 (x,y)偶函数e1xxx2!xnn! 　k=0xkk!， x(,)x(1,1) 11xn1xx(1)x 2nn(-1)k=0kkx，x(1,1) k 积分域D关于直线yx对称二元函数极值判定 一阶偏导数存在时必要条件：fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0 (x0,y0) )-fxx(x0,y0) fyy(x0,y0) 充分条件：=( fxy(x0,y0)<0极大值； 当0时，fxx(x0,y0)>0 极小值； fxx2f(x,y)df(y,x)d 11xn1xxx(x)2nnxk=0， x(1,1) 设积分域D关于X轴、Y轴、原点对称 f(x,y) 关于y的函数 关于x的函数 奇 -f(x,y) -f(x,y) -f(x,y) 偶 f(x,y) f(x,y) f(x,y) (1x)m1mxm(m1)x22!m(m1)(mn1)xnnn!x　Ck=0knxkk! 当0时，非极值；当0时，不定 隐函数：公式法：F(x,y)0条件极值：拉格朗日乘数法： （1）构造函数L(x,y,)f(x,y)(x,y) （2）求驻点方程组 (x,y)0(x,y,)fx(x,y)xLx(x,y)0 (x,y,)fy(x,y)yLyL(x,y,)(x,y)0ln(1x)xx22x2+x33x3(1)n1xnnk+1nn1(x)n(1)k=0nkk+1xk+1，x(1,1) dydxFx(x,y)Fy(x,y) （x，y）函数 ln(1-x)x2x3(1)xnnnx2n1(x)(1)k=0nk+1x，x(1,1) 二重积分一般变量法前提：f(x,y)在有界闭区域上连续，且分割比较复杂，能做变量替换x=x(u,v)，y=y(u,v) xxvyvxyuvxyvu0 sinxxx352 k+13!x25!x4(1)n1(2n1)!n(1)k=0kk(2k+1)!， x(,) （1）雅比行列式：J(u,v)=uyucosx12!4!(1)x2nn(2n)!(1)k=0x2 k(2k)!， x(,) （2）变换后式子： f(x,y)dxdyfx(u,v),y(u,v)J(u,v)dudv

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常微分方程 y=f(x)g(x)dydxf(x)g(x)dyg(y)f(x)dx 微分在经济学中的应用 收益（销售收入）：R(Q)=QP(Q) 利润（净利润）：L(Q)=R(Q)-C(Q) 标准的一阶线性微分方程yp(x)yq(x) p(x)dx解法：（1）设yp(x)y0 yce 设需求对价格的弹性为Ep边际收益为dRdPdRdQP(11Ep) {Ep为正数} p(x)dxp(x)dxq(x) （2）再设yc(x)e 代入方程  c(x)e收益对价格的边际效应Q(1Ep) tr c(x)q(x)ep(x)dx dxC连续复利公式：t时总收益R(t)的现值R0(t)R(t)e {r为利率} p(x)dxp(x)dxdxC] ye[q(x)e 2222sin22sincos；cos22cos112sincossin

倍角及半角公式tg22tg1tg2 ctg2ctg12ctg2 tg21cos1cos1cos1cos1cossin1cossinsin1cossin1cos 　sin()sincoscossin tg()tgtg1tgtg sin21cos2 cos21cos22 ctg2 cos()coscossinsin ctg()ctgctg1ctgctg 123n1qqq1x(1x1)(1x2)(1xn)1x1x2xn 特别：(1x)1nx (x>-1) 万能公式2tgsinx1tgx221tgx2 x2tgx2tg1tgx22sin()sin()sinsin；cos()cos()cossinsincos x2222222x2 cosx1tg2 sin()sin()tantantantan 2 (n1)n2 123n2222n(n1)(2n1)6 n11qn1q yaxbxc x2bb4ac2a2有当分母中含有(xa)k时，则分解后有下列k个部分分式之和 理函A1A2Ak 数2kxa(xa)(xa)分解 当分母中含有(x+px+q) 2k(p24q0)时，则分解后有下列k个部分分式之和 n(1x)(1xxx2n1) (ab)aCnann1n1bCnan2n2bCnab2n-11n-1b nM1xN1x+px+q2M2xN2(x+px+q)22MkxNk(x+px+q)2k 6