极坐标与参数方程专题复习

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一、知识点总结

1.直线的参数方程

(1)标准式过点P0x0,y0，倾斜角为的直线l(如图)的参数方程是

xx0tcosa (t为参数) yy0tsina定点P0x0,y0加t个单位向量就是动点 于是，t的绝对值就是定点和动点间的距离， (2)一般式xx0at(t为参数)

yy0btaxxt022ab转化为标准式 

byyt022ab2.圆锥曲线的参数方程。“1”的代换

(1)圆xaybr222xarcos(是参数)

ybrsin是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，∈0,2

xacosx2y2(2)椭圆221ybsin (为参数) aby2y2椭圆 221ab3.极坐标

xbcos(为参数) yasin2x2y2(1)极坐标与直角坐标互换。xcos

ysin(2)过原点倾斜角为的直线的极坐标方程： (3)圆心在原点，半径为r的圆极坐标方程：r

二、例题示范

题型一、坐标的互化。（略）

题型二、参数方程的本质（表示点）。

1、点到点、点到直线距离的最值。参数方程看做点带入距离公式。 2、点的轨迹方程。参数方程看做点，同时使用跟踪点发。

x3t例1．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建

y3t立极坐标系，圆C的极坐标方程为23sin.

（1）写出直线l的普通方程及圆C的直角坐标方程；

（2）点P是直线l上的点，求点P的坐标，使P到圆心C的距离最小.

x3cos例2．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy40，曲线C的参数方程为（为参数）．

y2sin（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为(2,4)，判断点P与曲线C的位置关系；

（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

例3．已知动点P，Q都在曲线C：x2cost（β为参数）上，对应参数分别为t与t2（0＜＜2π），

y2sintM为PQ的中点。

（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程

（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。

例4．以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为

xcosx'3x（为参数），经过伸缩变换后得到曲线C2. 2sincos10，将曲线C1：ysiny'2y（1）求曲线C2的参数方程；

（2）若点M的曲线C2上运动，试求出M到直线C的距离的最小值. 题型三、直线参数方程的几何意义。定标图号联、韦达三定理。 例5．已知曲线C的极坐标方程是6cos2sin10，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴

的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy，直线l经过点P(3,3)，倾斜角（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程； （2）设l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．

3．

x1例6．在平面直角坐标系xOy中，C1的参数方程为y122t,2（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半2t,2轴为极轴的极坐标系中，C2的极坐标方程2cos30． （Ⅰ）说明C2是哪种曲线，并将C2的方程化为普通方程； （Ⅱ）C1与C2有两个公共点A,B，顶点P的极坐标2,，求线段AB的长及定点P到A,B两点的距离之4积．

题型四、极坐标的几何意义。点到原点的距离。(直线必过原点) 例7．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为x3立极坐标系.

（1）求圆C的极坐标方程； （2）直线OP:2y19，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建

26R与圆C交于点M,N，求线段MN的长．

例8．选修4-4：坐标系与参数方程

自极点O任意作一条射线与直线cos3相交于点M，在射线OM上取点P，使得OM•OP12，求动点P的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程.

参

x3t,1．试题解析：（1）由消去参数t，得直线l的普通方程为3xy330，

y3t.由

223sin得223sin，x2y223y，即圆C的直角坐标方程为

xy323.

（2）P3t,3t，C0,3，PC3t23t324t212，

∴t0时PC最小，此时P3,0.

2．试题分析：（1）可将直角坐标P(1,1)代入曲线C的普通方程得

111P在曲线C32内；（2）设点Q的坐标为(3cos,2sin)，从而点Q到直线l的距离为

d6|5cos()4|（其中tan），

324210． 2cos()1时，d取得最小值，且最小值为试题解析：（1）把极坐标系下的点P(2,4)化为直角坐标，得P(1,1)，

x2y2111，把P代入得1，所以P在曲线C内． 曲线C的普通方程为3232（2）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(3cos,2sin)， 从而点Q到直线l的距离为d|3cos2sin4||5cos()4|（其中22tan6）， 34210． 2由此得cos()1时，d取得最小值，且最小值为3.【解析】（Ⅰ）由题意有,P(2cos,2sin),Q(2cos2,2sin2), 因此M(coscos2,sinsin2),

M的轨迹的参数方程为xcoscos2,(为参数,02).

ysinsin2（Ⅱ）M点到坐标原点的距离为

dx2y222cos(02)，

当时，d0，故M的轨迹过坐标原点. 4．试题解析：（1）将曲线C1：xcos22（为参数）化为xy1，

ysin1xx'x'3x113由伸缩变换化为，代入圆的方程得(x')2(y')21，

32y'2yy1y'2x3cos(x')2(y')21，可得参数方程为即（为参数）. 94y2sin（2）曲线C的极坐标方程2sincos10，化为直角坐标方程：2yx100， 点M到C的距离d|3cos4sin10||5sin()10|55，

555∴点M到C的距离的最小值为5.

5．试题分析：(1)利用xcos,ysin,化为直角坐标方程,利用直线参数方程公式求出参数方程；(2)利用直线参数方程的几何意义求出弦长|AB|.

试题解析：（1）曲线C化为6cos2sin10，再化为直角坐标方程为

2x2y26x2y10，化为标准方程为(x3)2(y1)29，

x3tcos3直线l的参数方程为（t为参数）．

y3tsin3（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，整理得t43t70，

2(43)247200，则t1t243，t1t27，

所以|AB||t1t2|(t1t2)4t1t225． 6．试题解析：（Ⅰ）

2C2是圆，

C222cos30， 的极坐标方程

22x1y24xy2x30化为普通方程：即：．

2（Ⅱ）的极坐标平面直角坐标为在直线

C1上，

x1y1C将1的参数方程为222t,22t,222（t为参数）代入xy2x30中得：

22212t12t212t30化简得： t22t30．设两根分别为t1,t2，

t1t22,tt3,

由韦达定理知：12所以AB的长

ABt1t2t1t224t1t221214．

，

定点P到A,B两点的距离之积7．试题解析：（1）x3PAPBt1t2322y19可化为x2y223x2y50，

2故其极坐标方程为23cos2sin50.……5分

（2）将622122，代入23cos2sin50，得250，

125.MN1212241226.……10分

考点：直角坐标与极坐标互化，弦长公式. 8．试题解析：设P,，M',.

OM•OP12，'12.

又cos3，'12•cos3.

则动点P的极坐标方程为4cos.………（5分）

极点在此曲线上，方程两边可同时乘，得4cos.

2x2y24x0. ………（10分）