数列知识在高中物理教学中的应用
摘要：运用数学工具解决物理问题的能力，在历年的高考大纲中都是一项必不可少的能力要求。近年来，数学与物理相结合的问题更是高考的热点，也是难点。而有关数列知识的应用在高考物理试题中出现的频率越来越高。所以，重视数列知识在物理题中的应用范围及其应用的方法，是广大考生在高考备考中不容忽视的重要环节。而本文将对此类问题作简要的归纳和分析。 关键词：数列知识；高中物理；应用
凡涉及数列求解的物理问题，都具有多过程、重复性的共同特点。但每一个重复过程均不是原来的完全重复，是一种变化了的重复。随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着“前后有联系的变化”。而该类问题求解的关键是确立相关物理量的数列关系，在此过程中涉及到的基本方法有两种：方法一、数学归纳法：（1）逐个分析开始的几个物理过程；（2）利用数学归纳法从中找出物理量的变化通项公式；方法二、递推公式法：（1）分析物理过程，确立物理过程的重复特点；（2）利用相关量第n项与第（n-1）项的递推关系找出物理量的变化通项公式。
有些物理问题中还需要用到等差数列求和、等比数列求和公式进行计算
题1：（07全国i）24（18分）如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为m=19m的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60°的位置自由释放，下摆后在最低点处与金属球
发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。 方法一：数学归纳法
设：小球m的摆线长度为l，小球m在下落过程中与m相碰之前满足机械能守恒： ① m和m碰撞过程满足： ② ③
联立②③得： ④
说明小球被反弹，而后小球又以反弹速度和小球m发生碰撞，满足： ⑤ ⑥ 解得： ⑦ 整理得： ⑧ 所以： ，即 ⑨
而偏离方向为450的临界速度满足： ⑩ 联立①⑨⑩代入数据解得，当n=2时， 当n=3时， 所以，最多碰撞3次。
评析：本题有重复碰撞的过程，且每次碰撞的前后均满足动量守恒和机械能守恒，每次碰撞后速度逐渐变小，利用两个守恒式推出两球碰撞后的速度的大小，通过数学归纳找到各次碰后速度大小的
联系，从而得出碰后速度的通项公式 ，再利用上摆过程机械能守恒建立碰撞次数与摆角的关系进行求解。 方法二：递推公式法
解：设在第n次碰撞前绝缘球的速度为vn-1，碰撞后绝缘球、金属球的速度分别为vn、vn。由于碰撞过程中动量守恒、碰撞前后动能相等，设速度向左，则： 解得：
依题 （公比为 的等比数列） 第n次碰撞后绝缘球的动能为： e0为第1次碰撞前的动能，即初始能量
绝缘球在θ=θ0=60°与θ=45°处的势能之比为： 经n次碰撞后有：
易算出（0.81）2=0.656，（0.81）3=0.531，因此，经过3次碰撞后θ小于45°。
评析：方法二直接利用动量守恒与机械能守恒建立第n次碰撞前后的关系从而得出第n项的递推公式 和 而解决问题。
近年高考中涉及数列知识应用的题目平时并不多见，下面再以两道习题去进一步熟悉等差数列求和、等比无穷数列求和知识在高中物理中的应用：
题2：如图所示，在倾角θ=30°且足够长的斜面上分别固定着两个相距l=0.2m的物体a、b，它们的质量ma=mb =1kg，与斜面间的动摩擦因数分别为 和 。在t = 0时刻同时撤去固定两物体的外力
后，a物体将沿斜面向下运动，并与b物体发生连续碰撞（碰撞时间极短，忽略不计），每次碰后两物体交换速度。g取10m/s2。求： （1）a与b第一次碰后瞬时b的速率？
（2）从a开始运动到两物体第二次相碰经历多长时间？ （3）从a开始运动至第n次碰撞时a、b两物体通过的路程分别是多少？
解：a物体沿斜面下滑时： b物体沿斜面下滑时有：
（1）由上面可知，撤去固定a、b的外力后，物体b恰好静止于斜面上，物体a将沿斜面向下做匀加速直线运动. a与b第一次碰撞前的速度 ， 故a、b第一次碰后瞬时，b的速率 （2）从a开始运动到第一次碰撞用时： ，
两物体相碰后，a物体的速度变为零，以后再做匀加速运动，而b物体将以
的速度沿斜面向下做匀速直线运动。
设再经t2时间相碰，则有 ，解之可得t2=0.8s。 故从a开始运动到两物体第二次相碰，共经历时间：t=t1+t2=0.4+0.8=1.2s 。
（3）第二次碰前a速度为2m/s，b速度为1m/s，碰后a、b交换速度，第二次碰后b 速度为2m/s， a速度为1m/s，设碰后至下次碰撞经历的时间为δt，则有
碰后a、b交换速度，碰后b的速度均要比a的速度大1m/s。 即δt = 0.8 s
同理第n次碰后到第（n+1）碰撞， δt = 0.8 s
从第2次碰撞开始，每次a物体运动到与b物体碰撞时，速度增加量均为δv=at2=2.5×0.8m/s=2m/s，由于碰后速度交换，因而每次碰后b物体的速度增加1m/s，即 第一次碰后： vb1=1m/s 第二次碰后： vb2=2m/s 第三次碰后： vb3=3m/s ……
第n次碰后： vbn = n m/s 每次碰后的速度为一等差数列
每段时间内，b物体都做匀速直线运动，则第n次碰前所运动的距离为
sb=[1+2 + 3 + …… + （n-1）]×δt = m （n=1，2，3，……，n-1）
a物体比b物体多运动l长度，则
sa = l+sb = [0.2 + ] m （n=1，2，3，……，n-1） 评析：本题第（3）问通过数学归纳法得出第n次碰后b物体的速度公式vbn=n m/s （n=1，2，3，……，n-1），再利用等差数列求和得出最终结果。
题3：如图所示，质量m=lkg的平板小车右端放有质量m=2kg的
物块（可视为质点），物块与车之间的动摩擦因数μ=0.5。开始时二者一起以v0=6m/s的速度向左端的光滑水平面上运动，并使车与墙发生正碰，设碰撞时间极短，且碰后车的速率与碰前的相同，车身足够长，使物块不能与墙相碰（g=10 m/s2）求： （1）物块相对于小车的总位移s是多少？
（2）小车与墙第一次相碰后小车所走的总路程sm为多少？ 解：（1）由于 m>m，两者以共同速度与墙相碰后，物块的动量大小比车的动量大，由于滑动摩擦力的作用，两者必会又以共同速度再次与墙相碰，如此反复直到两者一起停止在墙角边为止，设物块相对于车的位移为s，由能量转化和守恒定律得： 解得：s=5.4m
（2）设v1=v0，车与墙第n次碰后边率为vn，则第（n+1）次碰后速率为vn+1，对物块与车由动量守恒得： mvn-mvn =（m+m）vn+1 所以，vn+1= = vn = 。 车与墙第（n+1）次碰后最大位移
可见车每次与墙碰后的最大位移是一个等比数列，其q=1/9，所以车与墙碰后的总路程
sm =2（s1+s2+…+sn+…）= 2s1·（1十 十…+ +…）= 车第一次与墙碰后最大位移 s1= /2a= /2a， a=μmg/m=10m/s2 可算得 s1= m=1.8 m 所以sm= m=4.05m
评析：本题根据动量守恒定律，用递推公式法得出第（n+1）次
碰后速率vn+1与第n次碰后速率vn和碰后最大位移的通项公式vn+1= 和 ，再利用等比无穷数列求和得出最终结果。
以上的例题充分地展示出数列知识在物理教学中的应用，运用数列知识可以使物理问题变得简单起来。因此，教师对此要多总结、多归纳，这样才能使物理教学的效率得以提高。 作者单位：广西宾阳中学 邮政编码：530400
