2013-2014年高考文科数学真题（向量）
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一．选择题（共12小题） 1．（2014•山东）已知向量=（1，
），=（3，m），若向量，的夹角为
，则实数m=（ ）
D． ﹣ 0 A．B． C． 2 考点： 数量积表示两个向量的夹角． 专题： 平面向量及应用． 分析： 由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值． 解答： 解：由题意可得cos===， 解得 m=， 故选：B． 点评： 本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题． 2．设向量，满足|+|=
，|﹣|=
，则•=（ ）
3 C． 5 D． 1 2 A．B． 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 将等式进行平方，相加即可得到结论． 解答： 解：∵|+|=，|﹣|=， ∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6， 两式相减得4•=10﹣6=4， 即•=1， 故选：A． 点评： 本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础． 3．（2014•河南）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则 A． B． C． +
=（ ） D． 考点： 向量在几何中的应用． 专题： 平面向量及应用． 分析： 利用向量加法的三角形法则，将，分解为+和+的形式，进而根据D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案． 解答： 解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点， ∴+=（+）+（+）=+=（+）=， 故选：A 点评： 本题考查的知识点是向量在几何中的应用，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则是解答的关键． 4．（2014•广西）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（ ） 0 A．﹣1 B． 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 由条件利用两个向量的数量积的定义，求得1 C． 2 D． 、=1， 的值，可得（2﹣）•的值． 解答： 解：由题意可得，∴（2﹣）•=2=1×1×cos60°=，﹣=0， 故选：B． 点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题． 5．（2014•辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（ ） p∨q A． p∧q B． C． （￢p）∧（￢q） D． p∨（￢q） 考点： 复合命题的真假． 专题： 简易逻辑． 分析： 根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论． 解答： 解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题， 若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题， 则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题， 故选：A． 点评： 本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键． 6．已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（ ）
A．（﹣2，1） B． （2，﹣1） C． （2，0） 考点： 平面向量的坐标运算；向量的减法及其几何意义． 专题： 平面向量及应用． 分析： 直接利用向量的减法的坐标运算求解即可． 解答： 解：∵向量=（1，2），=（3，1）， D． （4，3） ∴﹣=（2，﹣1） 故选：B． 点评： 本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查． 7．（2014•北京）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（ ） A．（5，7） B． （5，9） C． （3，7） D． （3，9） 考点： 平面向量的坐标运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案． 解答： 解：由=（2，4），=（﹣1，1），得： 2﹣=2（2，4）﹣（﹣1，1）=（4，8）﹣（﹣1，1）=（5，7）． 故选：A． 点评： 本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题． 8．（2013•陕西）已知向量 =（1，m），=（m，2），若∥，则实数m等于（ ） A．B． C． ﹣ ﹣或 考点： 平行向量与共线向量． 专题： 平面向量及应用． 分析： 直接利用向量共线的坐标表示列式进行计算． 解答： 解：∵=（1，m），=（m，2），且，所以1•2=m•m，解得m=D．0 或m=． 故选C． 点评： 本题考查了平面向量的坐标运算，向量﹣x2y1=0，是基础题． 9．（2014•浙江二模）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（ ） A．﹣4 B． ﹣3 C． ﹣2 考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系． 专题： 平面向量及应用． 分析： 利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出． ，则的充要条件是x1y2D． ﹣1 解答： 解：∵，． ∴=（2λ+3，3），． ∵， ∴=0， ∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3． 故选B． 点评： 熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键． 10．（2013•湖南）已知，是单位向量，•=0．若向量满足|﹣﹣|=1，则||的最大值为（ ） A． B． C． D． 考点： 平面向量数量积的运算；向量的模． 专题： 压轴题；平面向量及应用． 分析： 通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 解答： 解：∵||=||=1，且， ∴可设，，． ∴． ∵， ∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1． ∴的最大值==． 故选C． 点评： 熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键． 11．（2013•湖北）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（ A． B． C． D． 考点： 平面向量数量积的含义与物理意义． ）
专题： 平面向量及应用． 分析： 先求出向量、，根据投影定义即可求得答案． 解答： 解：，， 则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===， 故选A． 点评： 本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键． 12．（2013•福建）在四边形ABCD中，
=（1，2），
=（﹣4，2），则该四边形的面积为（ ）
5 10 A．B． C． D． 考点： 向量在几何中的应用；三角形的面积公式；数量积判断两个平面向量的垂直关系． 专题： 计算题；平面向量及应用． 分析： 通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可． 解答： 解：因为在四边形ABCD中，，，=0， 所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又， 该四边形的面积：==5． ， 故选C． 点评： 本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力． 二．填空题（共9小题）
13．（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣纵坐标不变，再向右平移 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 哟条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得sin（2ωx+φ﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，）=
．
个单位长度得到y=sinx的图象，则f（
ω）=sinx，可得2ω=1，且 φ﹣）的值． ω=2kπ，k∈z，由此求得ω、φ的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（解答： 解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象． 再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin[2ω（x﹣）+φ）] ≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不=sin（2ωx+φ﹣∴2ω=1，且 φ﹣∴ω=，φ=∴f（ω）=sinx的图象， ω=2kπ，k∈z， ）， ． ，∴f（x）=sin（x++）=sin=）=sin（． 故答案为：点评： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题． 14．（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m= 2 ． 考点： 数量积表示两个向量的夹角． 专题： 平面向量及应用． 分析： 利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出． 解答： 解：∵向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R）， ∴=m（1，2）+（4，2）=（m+4，2m+2）． ∴=m+4+2（2m+2）=5m+8，，=2． =4（m+4）+2（2m+2）=8m+20． ∵与的夹角等于与的夹角， ∴=， ∴， 化为5m+8=4m+10， 解得m=2． 故答案为：2． 点评： 本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式，属于基础题． 15．（2014•江西）已知单位向量
与
的夹角为α，且cosα=，若向量=3
﹣2
，则||= 3 ．
考点： 向量的模． 专题： 平面向量及应用． 分析： 由条件利用两个向量的数量积的定义求出的值，从而得到||的值． =9， 解答： 解：=9∴||=3， 故答案为：3． 点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题． 16．（2014•湖北）若向量
=（1，﹣3），|
|=|
|，
•
=0，则|
|= ．
考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 专题： 平面向量及应用． 分析： 利用向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系即可得出． 解答： 解：设=（x，y），∵向量=（1，﹣3），||=||，•=0， ∴，解得或． ∴=（3，1），（﹣3，﹣1）． ∴=∴==（2，4）或（﹣4，2）． ． 故答案为：． 点评： 本题考查了向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系，属于基础题． 17．（2013•重庆）OA为边，OB为对角线的矩形中，
，
，则实数k= 4 ．
考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量的坐标运算． 专题： 压轴题；平面向量及应用． 分析： 由题意可得OA⊥AB，故有 =0，即 ==0，解方程求得k的值． 解答： 解：由于OA为边，OB为对角线的矩形中，OA⊥AB，∴即 ==0， =（﹣3，1）•（﹣2，k）﹣10=6+k﹣10=0， 解得k=4， 故答案为 4． 点评： 本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量垂直的性质，两个向量的加减法及其几何意义，属于基础题． 18．（2013•浙江）设
、
为单位向量，非零向量=x
+y
，x、y∈R．若
、
的夹角为30°，则
的最
大值等于 2 ． 考点： 数量积表示两个向量的夹角． 专题： 压轴题；平面向量及应用． 分析： 由题意求得 =，||==，从而可得 == =，再利用二次函数的性质求得的最大值． 解答： 解：∵、 为单位向量，+y，∴||=和=的夹角等于30°，∴==1×1×cos30°=， ． ∵非零向量=x∴====， 故当=﹣时，取得最大值为2， 故答案为 2． 点评： 本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题． 19．（2013•上海）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为
的最小值是 ﹣5 ．
考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 压轴题；平面向量及应用． 分析： 如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量；
，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则
分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量值时，利用向量的坐标运算计算最小值． 解答： 解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量点为终点的向量分别为，，分别为，，．再分类讨论当i，j，k，l取不同的的的值，从而得出分别为．如图建立坐标系． ，，，以C为起点，其余顶（1）当i=1，j=2，k=1，l=2时，则1，﹣1）]=﹣5； （2）当i=1，j=2，k=1，l=3时，则﹣1）]=﹣3； （3）当i=1，j=2，k=2，l=3时，则﹣1）]=﹣4； =[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（0，=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，﹣1）+（0，（4）当i=1，j=3，k=1，l=2时，则1，﹣1）]=﹣3； 同样地，当i，j，k，l取其它值时，则故答案为：﹣5． 的最小值是﹣5． =[（1，0）+（0，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣=﹣5，﹣4，或﹣3． 点评： 本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力． 20．（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，已知
，
，若∠ABO=90°，则实数t的
值为 5 ． 考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系． 专题： 压轴题；平面向量及应用． 分析： 利用已知条件求出，利用∠ABO=90°，数量积为0，求解t的值即可． 解答： 解：因为知所以=（3，2﹣t）， ，， 又∠ABO=90°，所以， 可得：2×3+2（2﹣t）=0．解得t=5． 故答案为：5． 点评： 本题考查向量的数量积的应用，正确利用数量积公式是解题的关键． 21．（2013•安徽）若非零向量，满足||=3||=|+2|，则与夹角的余弦值为 ﹣ ．
考点： 数量积表示两个向量的夹角． 专题： 平面向量及应用． 分析： 利用条件化简可得 4=4，由此可得||•||=||•||cos＜，＞，从而求得与夹角的余弦值． 解答： 解：由题意可得 =9，且 =+4+4，化简可得 4=﹣4， ∴||•||=﹣||•||cos＜，＞，∴cos＜，＞=﹣=﹣， 故答案为﹣． 点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量夹角公式的应用，属于中档题． 三．解答题（共1小题） 22．（2013•辽宁）设向量（1）若（2）设函数 考点： 平面向量数量积的运算；向量的模；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性． 专题： 平面向量及应用． 分析： （1）由条件求得，的值，再根据以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值． ，，．
，求x的值；
，求f（x）的最大值．
（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值． 解答： 解：（1）由题意可得 由∵x∈[0，=22）+．结合x+sinx=4sinx，22=cosx+sinx=1， 22，可得 4sinx=1，即sinx=． ]，∴sinx=，即x==（． sinx，sinx）•（cosx，sinx）=sinxcosx+sinx=2（2）∵函数（2x﹣ x∈[0，∴当2x﹣）+． ]，∴2x﹣=sin2x+=sin∈[﹣，]， ，sin（2x﹣）+取得最大值为 1+=． 点评： 本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
