有型有法----掌握题型，掌握方法，掌握套路考向六 正余弦定理----有三角形就得用 【例6】（1）（2）．在
的内角
的对边分别为，，，若
，则
的面积为（ ） ，则
。 中，，，分别为角，，所对的边，若
A. 一定是锐角三角形 B. 一定是钝角三角形 C. 一定是斜三角形 D. 一定是直角三角形 （3）．在（4）在
中，内角中，
的对边分别为
.若
，且
，则
。 是角，，成等差数列的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【强化练习】1．在，则
中，角
所对的边分别为
，
，
的平分线交
于点D，且
【套路】利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论．的最小值为________． ，b=2，A=60°，则sin
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=B=___________，
c=___________． 3．若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.
1
4．△则△5．在
的内角
的面积为________． 中，内角
的对边分别为，已知，，
的对边分别为，若，且的面积为，则
________________． 6．如图，在__________． 中，，点 在线段上，且，，则的面积的最大值为
7．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩定出基线
，测得
，
(如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边
两点的距离为__________． ，就可以计算出
8．
中，是
边上一点，
，
，且
与
面积之比为
，则
__________． 9．已知
的三个内角，，的对边分别为，，，若
，且
，则
的取值范围为__________． 参 【例6】（1）由题可知
所以
由余弦定理（2）．已知
所以
，利用正弦定理化简得： 2
，整理得：
（3）．∵
∴根据正弦定理可得∵（4） ∴
，即
∵
∴
，即
.则
为直角三角形.
，即，即为锐角∴
， ， 在△ABC中， ⇒角A、B、C成等差数列 当角A、B、C成等差数列⇒故
不成立，故
角A有可能取90°， 是角A、B、C成等差数列的充分不必要条件． ,由角平分线性质和三角形面积公式得
【强化练习】1．由题意可知，
，化简得
当且仅当
时取等号，则
的最小值为.
，因此
2．由正弦定理得由余弦定理得
,所以 （负值舍去）.
3． ，，即， ，则
为钝角，
4．根据题意，结合正弦定理 ，
故
.
可得，即， 3
结合余弦定理可得， 所以A为锐角，且，从而求得， 所以△5．因为即
的面积为
的面积为，由
，所以
， ，故答案是
， .
得，即，则． 6．由可得：，则.
由可知：，则，由同角三角函数基本关系可知：.
设，在△ABD中由余弦定理可得：， 在△CBD中由余弦定理可得：，由于，故， 即：
在△ABC中，由余弦定理可知：则：
代入①式整理计算可得：
， ，整理可得：
， .① ， 由均值不等式的结论可得：， 故，当且仅当时等号成立， 据此可知△ABC面积的最大值为：7．根据三角形内角和为180°，所以
4
.
由正弦定理8．分析：先由
，代入
且
与
所以解得
面积之比为
m ，可得
，再结合BC=7和余弦定理可得
AB，AC的边长，然后可求出整个三角形的面积，而占整个面积的，故可求出AD.
详解：由且与面积之比为，可得,设AB=5x，
AC=3x，由∠BAD=120°可得： 9．由正弦定理， 得
即 由余弦定理
得
又
由题可知
则 即
的范围
5
