2009年全国大学生数学建模竞赛一等奖

编 号 专 用 页

眼科病床安排的数学模型

摘 要

本文解决的是医院眼科病床的安排问题，现医院安排病人入院的原则是先来先服务，这样虽然公平，但缺乏合理性以致等待住院的病人队列越来越长，为解决此问题，我们建立了三个最优化模型。

对于问题一：我们确定了三个评价指标：手术前的平均逗留时间Tq，平均每天出院人数NO，病人手术前的准备时间Tg。然后计算出在原来先来先服务的原则下各指标值为：Tq13.1519，NO7.8605，Tg2.4413。

对于问题二：我们采用优先级原则动态地对病床进行安排。首先，统计初始数据，通过6SQ软件进行分布的卡方拟合检验得：每类病人的到来均服从泊松分布、术后观察时间服从均匀分布。然后，我们发现合理的调度方案必须使得病人的术前准备时间尽量短。因此，重新制定入院规则：外伤优先级始终最高；其它病的优先级随时间的变化而变化。接着，再以三个指标为目标函数，病人入院规则为约束建立了多目标的最优化模型，最后，根据入队与服务时间服从的分布，用计算机随机模拟，得到在队列稳定时，此规则下三个指标值为：Tq10.311，NO9.633=9.633，Tg1.6526；这样手术前的平均逗留时间减少21.6%，平均每天出院人数增加了22.55%，平均术前准备时间减少了32.31%。

对于问题三：在问题二的计算机随机模拟的基础上，已经可以求得对应的等待队列中病人的入院时间的模拟结果，因为存在一定随机性，我们模拟10次，取出每次所得结果中的模拟入院时间，作为病人的一个大致入院时间。

对于问题四：由于星期六与星期日不安排除了外伤手术的其它手术，故安排在周四，五住院的视网膜和青光眼病人的手术要推迟到下周二、四，以此我们同样建立了多目标的最优化模型，得出在队列稳定时，三个指标值分别为：Tq10.436，NO9.1667，

Tg2.017；

对于问题五：为便于医院的管理，可根据各类病人服从的分布按照比例给各类病人安排固定的病床数，但要先单独分配外伤类的病床，因为医院要保证有足够的床铺满足外伤类病人，据统计结果知外伤病人到达和外伤病人被服务的时间都是服从泊松分布，则先建立排队论中的M/M/C模型求出分配给外伤病人的病床数，余下的病床按照一定的比例分配给其它类的病人。为得到平均逗留时间最短，我们建立了单目标最优化模型。

关键词：优先级 调度 排队论 计算机模拟 最优化

1

1. 问题重述

医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。

在本文中，我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。

该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录一中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。

各类眼病手术的安排情况：

白内障手术：较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。

外伤手术：通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。 视网膜、青光眼手术：比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。

该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。

本文需解决的问题有：

问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。 问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。

问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。

问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?

问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。

2. 模型的假设与符号说明

2.1模型的假设

假设1：题目所给数据是合理、正确的 假设2：视网膜与青光眼两类病不考虑急症

假设3：白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天

假设4：该医院眼科手术条件比较充分，在安排病床时不考虑手术条件的 假设5：对于问题四，假定周六和周日可安排外伤手术，但不能安排其他手术 2.2符号说明

2

符号 Tq(i)(j) Tg(i)(j) Tf(i)(j) 符号说明 患第i类病的第j个病人的等待入院时间 患第i类病的第j个病人的术前的准备时间 患第i类病的第j个病人的住院时间 平均每天出院人数 手术前的平均逗留时间，即从门诊到第一次手术的平均时间 病人的平均术前的准备时间 病人的平均住院时间 Th(i)(j)1表示2008患第i类病的第j个病人的入院时间（Th(i)(j)1,2,3,，年7月13日，Th(i)(j)2表示2008年7月14日，依此类推„„） NO Tq Tg Tf Th(i)(j) To(i)(j) 患第i类病的第j个病人的手术时间（To(i)(j)的计数方式与Th(i)(j)相同，即To(i)(j)1表示2008年7月13日，To(i)(j)2表示2008年7月14日，依此类推„„） 一段时间内到门诊看病的第i类病人的人数 第j天第i类病人的在院人数（不包括当天新入院的人数） n(i) N(i)(j) NI(i)(j) 第j天第i类病人的新入院人数 NO(i)(j) 第j天第i类病人的出院人数 (i) C(i) 第i类病人平均每天到门诊看病的人数 分配给第i类病人的病床数，单位为张 % 求余符号，等价于mod 第i=1类病表示白内障（单眼）疾病，第i=2类病表示白内障（双眼）疾病， 第i=3类病表示视网膜疾病，第i=4类病表示青光眼疾病，第i=5类病表示外伤疾病 3. 问题分析

此题研究的是某医院眼科病床合理安排的数学建模问题。要对病床进行合理的安排，就要有合理的安排规则，尤其是在医院病床不够的时候。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，这样虽然对病人很公平，但缺乏合理性，例如根据FCFS原则，白内障双眼的病人可能会在星期二入院，但医院规定“白内障双眼的患者在星期一做一只眼，在星期三做另一只眼”，所以该患者的术前准备时间就变为6天，而一般情况下，白内障患者的术前准备时间只需1、2天；

3

这样的情况会延迟其它类病人的入院时间，进而使得病人队列越来越长。在病床不够的情况下，从医院的角度讲，医院自然希望在多做手术的同时，减小病人占用病床的时间。为了得到合理的安排规则，首先要确定合理的评价指标体系，用此评价按该规则建立的病床安排模型的优劣。

针对问题一：从病人的角度看，病人到医院看病分为以下几个阶段:挂号看病时间即门诊时间，入院，手术前的准备，手术，手术后的观察，出院。合理的安排就是让病人从挂号看病到出院的时间尽量的短。但根据实际情况知病人的术后观察时间是由病情决定的，故所建立的模型只能缩短门诊看病到接受手术的时间间隔即病人手术前的逗留时间，所以模型的评价指标可以是病人手术前的平均逗留时间，平均术前准备时间。从医院的角度看，我们可以将病床的周转次数作为评价指标。由于病床的周转次数与医院每天出院人数是密切相关的——在病床不够的情况下，医院每天出院的人数越多，能够入院的病人就越多，病床周转次数就越多，医院的效益就越好。所以，综合考虑病人和医院的利益，我们把病人手术前的平均逗留时间，平均术前准备时间，平均每天出院人数作为评价指标，当前两个指标值越小，最后一个指标值越大的时候，病床安排模型越好。

针对问题二：在确定病人入院规则时，要考虑以下几点:白内障病人只能安排在周一与周三做手术，而其它病人除外伤病人外不能在周一和周三做手术，还有不同的病人的术前准备时间不一样；使得建立的入院规则能够让病人的等待时间尽量短，这就可以缩短病人在医院的时间，亦可缩短病人从门诊到入院的时间。再对题给数据进行分析，得出各类病人到门诊看病的统计规律，然后就可以以问题一的评价指标作目标函数，以安排病人入院规则为约束建立一个病床安排的多目标最优化模型。

针对问题三：根据各类病人的统计结果，可得出每天有多少人患病以及患什么病，找出其分布规律，然后根据病人的入院规则，可以得出各类病致在星期几入院，再根据术后观察时间的统计规律，便可以得到病人的出院时间，从而可安排病人入院，这样就可在病人门诊时告知其大致的入院时间。

针对问题四：同问题二一样，以问题一的评价标准作为目标函数，建立一个病床安排的多目标最优化模型。但由于周六、日不安排手术，会使得约束条件发生改变。

针对问题五：从便于管理的角度医院可以根据各类病人的到达规律安排病床，故先统计出各类病人的到达服从什么样的分布，再建立模型求出平均逗留时间最短时的病床分配方案，但在分配时要把外伤类除外，因外伤类病人不允许等待，故分派给外伤病人的病床必须保证每天都能满足需入院的外伤病人，因此先分配外伤类的病床，再统一分配余下各类病的病床。

4. 数据分析

定义1 术后观察时间指病人出院与第一次手术的时间间隔

定义2 手术前的平均逗留时间指门诊到第一次手术的平均时间

根据对题给数据的统计结果知：

4.1各类病的术前准备时间时间为1-7天（包括1天和7天） 4.2等待住院病人队列越来越长的原因

因为08年7月13日-08年9月11日平均每天到门诊看病的人数为8.6885人，平均每天出院人数为8.1163人，所以近似认为平均每天到门诊看病的人数为8.6885人，平均每天出院人数为8.1163人。正因为每天到门诊看病的人数大于每天出院的人数，所以才导致了等待住院病人队列越来越长。

4.3各类病人的到达（病人到达时间指病人的门诊时间）服从泊松分布

4

由于医院就医排队是典型的排队论问题，而一般的排队论模型都是泊松输入，所以我们先假定病人的到达服从泊松分布，然后根据附录一给出的数据求出每天到门诊看病的各类病人的人数（统计结果见附录二）,再利用6SQ统计软件进行卡方拟合优度检验得到如下结果（结果见表4.1）：

表4.1：各类病人的到达服从泊松分布的卡方拟合优度检验 白内障单眼患者到达时间： 白内障双眼患者到达时间： 视网膜患者到达时间： 假设检验 假设检验 假设检验 零假设 服从泊松分布 零假设 服从泊松分布 零假设 服从泊松分布 自由度 3 自由度 4 自由度 4 卡方统计量 1.8 卡方统计量 1.9 卡方统计量 3.7 p值 0.6 p值 0.8 p值 0.5 显著性水平 0.1 显著性水平 0.1 显著性水平 0.1 结果 接受零假设 结果 接受零假设 结果 接受零假设 青光眼患者到达时间： 外伤患者到达时间： 假设检验 假设检验 零假设 服从泊松分布 零假设 服从泊松分布 自由度 3 自由度 2 卡方统计量 4 卡方统计量 1 p值 0 p值 1 显著性水平 0 显著性水平 0 结果 接受零假设 结果 接受零假设 根据以上假设检验的结果知：各类病人的到达时间均符合泊松分布。 根据指数分布与泊松分布的关系[1]：如相继两个事件出现的间隔时间服从参数为的指数分布，则在单位时间间隔内事件出现的次数服从参数为的泊松分布，即单位时间内该事件出现k次的概率为

kep(k)(k0,1,2,,n) ⑴

k!将各类病人平均每天到达的人数，即值代入式⑴，可得相应的概率密度函数，计算结果见表4.2。

表4.2：各类病人达到时间的概率密度函数和相应的值 类别 白内障单眼 白内障双眼 视网膜 青光眼 外伤  1.6 2.2 2.8 1 1 p(k) 1.6ke1.6 k!2.2ke2.2 k!2.8ke2.81ke1e11ke1e1 k!k!k!k!k!4.4各类患者的术后观察时间服从均匀分布 首先统计出各类病人的术后观察时间（统计结果见附录三），根据统计结果，我们假定各类病人的术后观察时间服从均匀分布，然后通过6SQ统计软件进行卡方拟合优度检验，检验结果见表4.3。

表4.3：各类患者的术后观察时间服从均匀分布的卡方拟合优度检验 白内障单眼术后观察时间 白双术后观察时间 视网膜术后观察时间 假设检验

假设检验 5

假设检验 零假设 自由度 卡方统计量 p值 显著性水平 结果 服从均匀分布 零假设 服从均匀分布 零假设 39 自由度 1 p值 0.05 显著性水平 接受零假设 结果 服从均匀分布 53 0.996696665 0.05 接受零假设 服从均匀分布 99 0.9997347 0.05 接受零假设 34 自由度 0.999999107 p值 0.05 显著性水平 接受零假设 结果 7.858300287 卡方统计量 2.093007186 卡方统计量 55.04926108 青光眼术后观察时间 假设检验 零假设 自由度 卡方统计量 p值 显著性水平 结果 服从均匀分布 外伤术后观察时间 假设检验 零假设 37 自由度 11.66013072 卡方统计量 29.25609756 0.999978078 p值 0.05 显著性水平 接受零假设 结果 根据以上假设检验的结果知：各类病人的术后观察时间均服从均匀分布。 4.5外伤病人住院时间服从泊松分布

首先统计出外伤病人的住院时间，根据统计结果，我们假定其服从泊松分布，然后通过6SQ统计软件进行卡方拟合优度检验，检验结果见表4.4.

表4.4: 外伤病人住院时间服从泊松分布的卡方拟合优度检验结果

假设检验 零假设 服从泊松分布 自由度 6 卡方统计量 11.01007449 p值 0.088065567 显著性水平 0.05 结果 接受零假设 5． 问题一的解答

本文研究的是某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题，对于病床安排模型的优

劣，不能凭人们的主观感受进行判断，而要确定合理的评价指标体系进行判断，为此我们确定了如下的评价指标体系： 指标1：手术前的平均逗留时间

手术前的平均逗留时间指门诊到第一次手术的平均时间，其数学表达式为

(T(i)(j)T(i)(j))qg5n(i)Tqi1j1n(i)i15

该指标值越小，表示病床安排模型越好。

6

指标二：平均每天出院人数

平均每天出院人数的数学表达式为：

NO(i)(j)NOi1j15nn

该指标值越大，表示病床安排模型越优。 指标三：病人平均术前的准备时间

病人平均术前准备时间的数学表达式为

T(i)(j)g5n(i)Tgi1j15

n(i)i1该指标值越小，表示病床分配模型越优。

对于题目中给出的以FCFS为原则（急症除外）的病床安排模型，我们通过求解得到其三个评价指标分别为：

Tq13.1519天

3387.8605人（从题给数据知，在7月30日之前，只有外伤病人出院，但44在7月30日之后，各类病人均出院达到稳定，所以用7月30日之后的统计数据求解平均每天出院人数）

Tg2.4413天

NO6. 问题二的解答

针对问题二我们建立了模型一。 6.1模型一的建立 6.1.1确定目标函数

该模型是为了解决医院的病床安排问题，为了使病床的安排更加合理，我们只需使三个评价指标——手术前的平均逗留时间Tq最小，平均每天出院人数NO最大，病人平均术前的准备时间Tg最小即可，所以我们建立了如下的目标函数：

minTqmaxNO minTg6.1.2确定约束条件

ⅰ由于白内障手术比较简单，此类病人的术前准备时间只需1、2天，而且根据附表一知，各类病人的术前准备时间均在1-7天之内（包括1天和7天），所以白内障单眼和双眼病人术前准备时间为1-7天，即

1Tg(i)(j)7,i1,2

ⅱ由于视网膜和青光眼疾病比较复杂，大致住院以后2-3天内就可以接受手术，而

7

且根据附表一知，各类病人的术前准备时间均在1-7天之内（包括1天和7天），所以这两类疾病的术前准备时间为2-7天，即

2Tg(i)(j)7,i3,4

ⅲ外伤疾病有空床时立即安排住院，且住院后第二天便会安排手术，所以此类病的术前准备时间为1天，即

Tg(5)(j)1

ⅳ根据数据分析结果，为了缩短等待入院病人的队列长度，我们制定了如下的病床安排原则：

原则1 白内障单眼患者一般安排在周一、周二、周六、周日入院 原则2 白内障双眼患者一般安排在周六、周日入院

原则3 视网膜和青光眼患者安排在周三、周四、周五入院 原则4 外伤病人当天入院，第二天手术

原则5 当病人等待时间达到25天时，只要有空病床立即安排入院

说明：外伤病人在任意一天优先级是最高的，在某一天病人可安排住院此时此类病（除外伤）人的优先级第二高，且若有两类或两类以上的病（除外伤）人都可在同一天入院，则这些病人优先级第二高且相等，在这天不安排住院的病人的优先级最低。例如白内障单眼患者在周一、周二、周六、周日的优先级第二高，在其它的时间优先级最低。故患者的优先级随时间动态的发生改变。

因为Th(i)(j)表示患第i类病的第j个病人的入院时间（Th(i)(j)1,2,3,，

Th(i)(j)1表示2008年7月13日，Th(i)(j)2表示2008年7月14日，依此类推„„），

又由于2008年7月13日是星期日，所以

1,表示该病人的入院时间为周一2,表示该病人的入院时间为周二3,表示该病人的入院时间为周三Th(i)(j)1%74,表示该病人的入院时间为周四 （2）

5,表示该病人的入院时间为周五6,表示该病人的入院时间为周六0,表示该病人的入院时间为周日根据式（2）和病床安排原则，我们确定了如下的约束条件：

原则1Th(1)(j)1%7{1，2，6，0}原则2Th(2)(j)1%7{0，6}原则3Th(i)(j)1%7{3，4，5},i3,4原则4Tg(5)(j)1原则5Tq(i)(j)25整数约束：Tq(i)(j)，Th(i)(j)1,2,3 %是求余运算

6.1.3综上所述，得到问题二的多目标最优化模型

8

5n(i)(Tq(i)(j)Tg(i)(j))minTqi1j15n(i)i15nNO(i)(j)i1j1 maxNOn5n(i)Tg(i)(j)minTgi1j15n(i)i11Tg(i)(j)7,i1,22Tg(i)(j)7,i3,4T(5)(j)1,g2，6，0}Th(1)(j)1%7{1，s.t.%是求余运算

0}Th(2)(j)1%7{6，T(i)(j)1%7{3，4，5},i3,4hTq(i)(j)25Tq(i)(j)，Th(i)(j)1,2,36.2模型一的求解

首先我们由数据分析可知，对于每一类病人，从第一次接受手术到出院之间经历的时间服从均匀分布，每天到来的各类病人的数目分别服从各自参数的possion分布，我们首先可以模拟得79个已住院的人的出院时间（肯定在9.11号之后），就可以将排队队列的一定数量的病人送入服务队列。并且可以按照每天到来的各类病人的possion流来补充每天的排队队列人数。

接着，由于本题涉及到大量的随机现象，故用一般的规划方法难以求得最优解，所以我们采用一种计算机随机模拟（相关程序见附录五）的算法求得本题的最优解。

算法思想：从9月12日开始，根据服务队列中正在接受服务的对象的服务时间分布，模拟得到正在接受服务的对象的出队时间（即病人的出院时间），然后按照约束条件中给定的的原则，将等待队列中的对象分配进入服务队列，然后改变等待队列与服务队列的状态，进行下一步的模拟，直到我们得到一定数量满足我们需要的对象（即：满足退出条件），得出此时的天数即可。

模拟的流程如下所示:（注：退出条件即为我们需要用模拟分配病人的天数如20或60）

9

开始赋值f为9月12号及其他初值f满足退出条件yes输出结果结束No统计f天时的出院人数f=f+1按照原则进行服务（即为：约束条件）改变服务队长与等待队长记录状态与输出 图6-1：计算机模拟的简化流程图

模拟后的数据的存储格式为：

表6-1 ：模拟后数据的示例存储格式 编号 1 2 3 4 5 „ 102 103 104 105 106 107

生病类别 白内障(双眼) 视网膜疾病 青光眼 视网膜疾病 视网膜疾病 „„„„ 视网膜疾病 白内障 白内障(双眼) 白内障(双眼) 白内障(双眼) 白内障(双眼) 诊断时间 49 49 49 49 49 „ 61 62 62 62 62 62 入院时间 63 62 62 62 62 „„ 74 72 77 77 77 78 10

手术（一）时间 手术（二）时间 出院时间 65 „„ 76 74 79 79 79 79 '/' '/' '/' '/' '/' „„ '/' [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 71 71 72 77 79 „„ 90 76 83 85 84 84 108 „ 青光眼 „„„„ 62 „ 74 „„ 76 „„ [ ] „„ 80 „„ 注：第六列在102号以前是’/’表示第二次手术时间，模拟时，我们没有考虑第二次手术的时间。102号以后是[]，表明该行数据是我们自己通过possion流对队列追加顾客后的效果，是新加入排队系统的，方便进行连续模拟。

统计从2008年的9月12日开始后60天的队列的长度，我们即可认为在这段时间内的接受服务的对象达到了稳定状态。然后作出队列长度的随时间的变化图示：如下所示：

队长随天数的变化趋势1009080对应天数的队列长度70605040300102030天数405060

图6-2：队长随时间变化趋势

此时，在我们的分配原则下，可以发现队列的长度不断减小，并且有趋于稳定的趋势，我们可以认为此时的稳态是50，因此我们认为这种方案是比较合理的。现在，我们取得从9月12日后的20天的一个模拟的入院安排情况，因为20天已经足够确定我们需要填满的102个排队对象的的数据。然后计算得我们定义的三个目标函数的最优解为：

病人手术前的平均逗留时间：12.1天（越小越好） 病人平均术前准备时间：1.6722天；（越小越好） 平均每天出院人数：9人（越大越好） 6.3模型一结果分析

在这种分配方案下，我们发现与原模型的手术前的平均逗留时间：13.1519，平均术前准备时间：2.4413，平均每天出院人数：7.8605相比，并没有太大的差别，我们认为这是在队列没有进入稳定状态时的统计数据造成的，我们用以下的方法处理：

我们可以认为当系统服务了100个顾客后，它已经进入了稳定状态，又由于我们要去足够的数据才能具有说服力，因此我们定义一个评价区间：从第100个排队等待手术的病人到第30天结束时最后一个出院的病人。在此区间上，我们再用同样的方法进行评价，会发现我们的三个评价指标值为：

病人手术前的平均逗留时间：10.311天 病人平均术前准备时间：1.6526天； 平均每天出院人数：9.633人

此时我们就可以发现，当这个排队系统在尽量趋于稳定状态时，它的手术前的平均

11

逗留时间、术前准备时间、平均每天出院人数均比前边的结果有了一定的优化，这是由于9月12日后的20天的排队系统受医院最初的先来先服务的影响较大，而当系统服务了100个病人后，此时的排队系统趋于稳定，所以求得的结果较优。

从而进一步证明我们的排队系统比原有的效率更高。

7. 问题三的解答

根据问题二的模型，我们已经完全模拟出来了每位病人的入院时间、第一次手术时间、出院时间（如上表所示），所以我们可以求得排队队列的102人的入院时间，但是每次随机模拟的结果均不相同，所以，我们可以通过模拟若干次，求出每次每一个病人的出院时间，从中选择一个最大值和一个最小值，将它作为病人的一个大概的入院时间的区间。我们取模拟的次数为10，下面是我们所得的一个近似的结果：

表7-1：10次模拟后产生的10个模拟的出院时间 编号 生病类别 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 1 白内障(双眼) 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 2 视网膜疾病 62 62 62 62 62 62 62 62 62 3 青光眼 62 62 62 62 62 62 62 62 62 4 视网膜疾病 62 62 62 62 62 62 62 62 62 5 视网膜疾病 62 62 62 62 62 62 62 62 62 „ „„„„ „ „ „ „ „ „ „ „ „ 99 视网膜疾病 76 74 74 69 74 74 74 75 74 100 白内障 66 73 72 72 72 78 72 71 71 101 视网膜疾病 76 75 74 69 74 74 74 75 74 102 视网膜疾病 76 75 74 74 74 74 74 75 74 （注：具体数据见附录一 ） 那么我们就可以根据以上表格中的数据确定出病人的大致入院区间：

表7-2：病人的大致入院区间 编号 1 2 3 4 5 „ 99 100 101 102 生病类别 白内障(双眼) 视网膜疾病 青光眼 视网膜疾 视网膜疾病 „„„„ '视网膜疾病' '白内障' '视网膜疾病' 视网膜疾病 最佳入院时间 63 62 62 62 62 „ 69 ,74 ,75 ,76 69 ,74 ,75 ,76 74---76 对应的日期 9-13 9-12 9-12 9-12 9-12 „ 9月19日,9月24日,9月25日,9月26日 9月19日,9月24日,9月25日,9月26日 9-24---9-26日 62 62 62 62 „ 69 72 69 74 66,71,72 ,73 ,78 9月16日,9月21日,9月22日,9月23日,9月28日 （注：完整数据见附录四） 8. 问题四的解答

针对问题四我们建立了模型二。问题四与问题二的区别在于：在问题二中，医院每天都可以安排手术，而在问题四中，只能在周一至周五安排手术（外伤每天均可安排手

12

术）。

8.1模型二的建立

8.1.1确定目标函数（同模型一的目标函数）

以三个评价指标最优为目标函数：

minTqmaxNO minTg8.1.2确定约束条件

该模型的约束条件除了包含模型一的约束条件外，还有以下几个：

由于白内障手术之后安排在周一和周三，外伤手术每天都可以安排，所以周六和周日不安排手术只会影响视网膜和青光眼的手术安排。在模型一给出的病床安排原则下，对于视网膜病人和青光眼病人，将其中周三入院的手术安排在同一周的周五，在周四和周五入院的手术安排在下周周二。据此，我们又建立了如下的约束条件：

To(i)(j)Th(i)(j)2 (Th(i)(j)1%73)To(i)(j)Th(i)(j)5 (Th(i)(j)1%74) To(i)(j)Th(i)(j)4 (Th(i)(j)1%75)8.1.3综上所述，得到问题四的多目标优化模型

5n(i)(Tq(i)(j)Tg(i)(j))minTqi1j15n(i)i15nNO(i)(j) maxNOi1j1

n5n(i)Tg(i)(j)minTgi1j15n(i)i1 13

1Tg(i)(j)7,i1,22Tg(i)(j)7,i3,4T(5)(j)1gTq(i)(j)25Tq(i)(j)，Th(i)(j)1,2,3s.t. （%表示求余运算） 2，6，0}Th(1)(j)1%7{1，T(2)(j)1%7{6，0}hTo(i)(j)Th(i)(j)2 (Th(i)(j)1%73)To(i)(j)Th(i)(j)5 (Th(i)(j)1%74)To(i)(j)Th(i)(j)4 (Th(i)(j)1%75)8.2.模型二的求解

我们按照与问题二相同的思想，按照同样的原理进行计算机模拟（相关程序见附录五），在这里只是改变了对于青光眼和视网膜疾病的分配方案：若这两类患者在周四、周五分配入院，则他们均到下周二进行手术。

统计从2008年的9月12号开始后60天的队列的长度，我们即可认为在这段时间内的接受服务的对象达到了稳定状态。然后作出队列长度的随时间的变化图示：如下所示：

队长随天数的变化趋势120110100对应天数的队列长度90807060500102030天数405060

图8-1:队长随时间的变化趋势

此时，我们同时发现:当我们忽略外伤病人的等待时间时，随着时间的推移，病人的等待时间的规律如下图所示：

14

等待时间的变化趋势2520对应病例的等待时间151050050100150200250300病例序号350400450500

图8-2:病人的等待时间随时间的变化趋势

此时，在我们的分配原则下，队列的长度不断减小，并且有趋于稳定的趋势，我们可以认为此时的稳态等待人数是60，而且，病人从就诊到第一次手术的时间也有一个逐步下降的趋势，所以因此我们认为这种分配的方案是比较合理的：据此我们可以在这种条件下求得的三个指标值：

现在，我们同样取得从9月12号后的20天的一个模拟的入院安排情况，然后计算得我们定义的三个目标函数的最优解为：

手术前的平均逗留时间：12.691天 病人平均术前准备时间：2.2191天； 平均每天出院人数：8.9人 8.3模型二的结果分析

在这种分配方案下，我们发现与原模型的手术前的平均逗留时间：13.1519，平均术前准备时间：2.4413，平均每天出院人数：7.8605相比，并没有太大的差别，所以可以同样按照问题二中的解决办法，我们会发现我们的三个评价指标值为：

手术前的平均逗留时间：10.432天 病人平均术前准备时间：2.017天； 平均每天出院人数：9.1667人

此时我们就可以发现，当这个排队系统在尽量趋于稳定状态时，它的各个指标均比前边的结果有了一定的优化，从而进一步证明我们的排队系统比原有的效率更高。

9. 问题五的解答

针对问题五我们建立了模型三。 相关知识引入：在排队论[2][3]中有一种多服务台多顾客的模型机制，即M/M/C(C>=2)模型.顾客到达服务台具有随机性，服从泊松分布，服务台对顾客服务服从指数分布，则：

C11k1CCP0

k!C!CK01 15

1nP0,nCn! Pnn1C!CnCP0,nC其中：

：单位时间内顾客到达服务台的平均人数， ：单位时间内服务台服务的人数 C:服务台的个数

P(nC):服务台空闲的概率

P(nC):顾客到达服务台需等待的概在问题五中，有人从便于管理的角度建议 “将各类病人占用的病床数大致固定”，就此方案建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间最短的病床比例分配模型。

在分配病床时因外伤病人特殊，故应先分配病床，从数据统计知患外伤的病人到医

1院的人数服（5）1的泊松分布，医院对其服务的时间同样股从的泊松分布，故

7可把病床看作排队系统中的服务台，把外伤病人看作顾客，这样就可以建立一个M/M/C的模型，则只要C(5)使得PnC(5)尽量小，我们设定P(nC(5))0.05，就能求出

C(5)，即为安排给外伤病人的病床数。那么C(i)(i)(i)i14*(79C(5)) i1,2,3,4

9.1模型三的建立 9.1.1确定目标函数

T(i)(j)Tq5n(i)f(i)(j)设病人在在系统内的平均逗留时间为Tw，则Twi1j1n(i)i15

其中Tq(i)(j)表示患第i类病的第j个病人的等待入院时间，Tf(i)(j)表示患第i类病的第j个病人的住院时间，n(i)表示一段时间内患第i类病的人数）

所以，目标函数为

T(i)(j)Tq5n(i)fminTwi1j1(i)(j)n(i)i15

9.1.2确定约束条件

因各类病人都分配了相应的病床，故每一类病人在可在任意一天住院且是先来先服务的，这一点和模型一，二不一样，故约束条件只有：

(1)各类病人的术前准备时间

(2)白内障的手术只能安排在周一 三。

（3）由于分配给各类病人的病床数的比例大致固定，所以每天各类病人分别占用的病床数不能超过医院分配的数目，由此得到如下的约束：

NI(i)(j)N(i)(j)NO(i)(j)C(i),i1,2,3,4,5;j1,2,…

16

9.1.3综上所述，得到问题五的单目标非线性优化模型

T(i)(j)Tq5n(i)fminTwi1j1(i)(j)n(i)i15

1Tg(i)(j)7,i1,22Tg(i)(j)7,i3,4T(5)(j)1s.t.g（i1,2,3,4,5;j1,2,…）

Tq(i)(j)20T(i)(j)1,2,3hNI(i)(j)N(i)(j)NO(i)(j)C(i),9.2模型三的求解与结果分析

问题五：由P(nC(5))0.05，即外伤病人到医院不需等待的概率小于0.05，通过计算得：当分配12张床给外伤病人时，则外伤病人等待入院的概率小于0.035（基本认为不发生）。按照比例求得其它类病分配的病床如下: 病型 白内障（双） 白内障（单） 视网膜 青光眼 分配的床 19 14 25 9 至于此条件下的安排病人入院规则是各类病人都各自服从先来先到的原则，视网膜和青光眼病人的逗留时间会减少，因为这两种病的术前准备时间可以控制在两天内，这样就可使病人的住院时间缩短，使排队的队长变短。

可是白内障病人的平均逗留时间会增多，原因是这两类病只能在周一，周三做手术，这就使得在周三——周日入院的病人要等到周一，三才能做手术，这样使得病人的住院时间增长，使排队的队长变长。

10. 模型的评价、改进及推广

10.1模型评价

优点：

（1）根据我们定下的安排病人入院规则，建立的模型在一定程度上缩短了病人排队的队长，因为原模型的三个指标Tq13.1519，NO7.8605，Tg2.4413；我们建的模型三个指标：Tq10.311，NO9.633，Tg1.6526；这样手术前的平均逗留时间减少21.6%，平均每天出院人数增加了22.55%，平均术前准备时间减少了32.31%；

（2）根据模型可推算出当前病人的出院时间，故我们把表二出院时间的填充了； （3）利用我们建立的模型二，可根据第二天拟出院的病人确定病人入院的最佳时间；

缺点：由于所给数据太少以致在统计数据时不是很准确，又由于计算机模拟带有一定的随机性，以致得到模型的三个指标不是很让人满意。 10.2模型改进

（1）查询更多的数据，以使得统计结果更正确，也可使计算机模拟更少的数据或不模拟以减少不确定性。因我们建模时没有考虑到经济性，若考虑到不同的手术经费不一样，则在制定安排病人入院规则时要考虑一定的优先级，即手术费用高的优先级高。

（2）所建模型是针对当前所给数据的，对长远病人入院和出院的预测并不能很准

17

确，故建模时应把时间加上去，即建立动态规划模型。使所建模型能准确的预测出病人的入院和出院时间。 10.3模型推广

我们建的模型不仅可用于医院病床安排，也可用于其它资源的安排，还可用于诸如像试卷评价模型的其它类型的问题。

参考文献

[1] 宋来忠，王志明,数学建模与实验,北京：科学出版社,2005。 [2] 《运筹学》教材编写组编，运筹学（3版），北京：清华大学出版社，2005.6 [3] 王玉升，排队论模型及其在医院管理中的作用,中国医院管理, 58-62，1985.2

附录

附录一：2008-07-13到2008-09-11的该医院的病人信息（略）

附录二：08年7月13日-08年9月11日，各类病人每天到门诊看病的人数 7月13日 7月14日 7月15日 7月16日 7月17日 7月18日 7月19日 7月20日 7月21日 7月22日 7月23日 7月24日 7月25日 7月26日 7月27日 7月28日 7月29日 7月30日 7月31日 8月1日 8月2日 8月3日 8月4日 8月5日 8月6日 8月7日 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 第9天 第10天 第11天 第12天 第13天 第14天 第15天 第16天 第17天 第18天 第19天 第20天 第21天 第22天 第23天 第24天 第25天 第26天 白内障单眼 1 1 3 1 1 2 3 3 2 3 5 2 1 2 2 0 1 2 0 0 1 1 1 2 4 4 白内障双眼 1 3 2 2 6 4 1 1 5 0 2 0 2 0 2 1 1 1 1 4 1 3 3 0 5 4 青光眼 1 1 2 1 1 1 2 0 0 1 2 1 0 2 1 4 2 0 4 1 0 2 0 1 0 1 视网膜 3 4 3 2 3 3 3 3 0 1 5 4 2 0 2 5 1 1 4 3 4 5 1 2 4 4 外伤 1 0 0 1 1 2 1 2 2 1 2 0 0 0 2 2 0 2 2 3 0 0 1 0 1 2 合计 7 9 10 7 12 12 10 9 9 6 16 7 5 4 9 12 5 6 11 11 6 11 6 5 14 15 18

8月8日 8月9日 8月10日 8月11日 8月12日 8月13日 8月14日 8月15日 8月16日 8月17日 8月18日 8月19日 8月20日 8月21日 8月22日 8月23日 8月24日 8月25日 8月26日 8月27日 8月28日 8月29日 8月30日 8月31日 9月1日 9月2日 9月3日 9月4日 9月5日 9月6日 9月7日 9月8日 9月9日 9月10日 9月11日 第27天 第28天 第29天 第30天 第31天 第32天 第33天 第34天 第35天 第36天 第37天 第38天 第39天 第40天 第41天 第42天 第43天 第44天 第45天 第46天 第47天 第48天 第49天 第50天 第51天 第52天 第53天 第54天 第55天 第56天 第57天 第58天 第59天 第60天 第61天 合计 0 1 2 0 3 1 0 1 1 1 4 2 2 1 1 1 0 3 2 1 1 2 1 2 1 3 2 1 1 0 0 4 2 4 1 100 1 1 2 1 3 5 3 2 3 2 4 4 1 0 2 3 2 2 1 1 3 3 2 1 3 1 1 3 7 2 1 1 0 3 4 133 1 0 1 1 0 1 1 2 0 0 1 1 0 0 0 2 2 1 0 0 1 2 1 2 1 0 0 4 1 1 0 0 2 1 2 63 5 2 1 4 1 6 1 5 2 2 1 7 4 1 1 1 3 2 2 3 4 2 5 3 5 1 5 5 1 1 2 3 1 1 5 170 1 0 2 0 0 0 1 0 1 3 2 0 2 1 1 1 0 1 2 3 0 2 0 0 1 1 1 2 3 1 0 1 2 0 1 8 4 8 6 7 13 6 10 7 8 12 14 9 3 5 8 7 9 7 8 9 11 9 8 11 6 9 15 13 5 3 9 7 9 13 530 附录三：各类病人术后观察时间 白内障单眼 白内障(双眼) 视网膜术后 青光眼术后 外伤术后 观察时间 12 8 13 观察时间 9 6 7 观察时间 4 4 9 术后观察时间 术后观察时间 3 2 2 5 4 5 19

2 2 4 4 2 3 4 3 4 4 3 3 2 2 3 4 3 4 3 3 2 4 4 3 3 3 3 3 2 3 4 2 4 3 3 3 2 3 2 2 3 2 3 5 5 5 5 5 4 4 5 4 6 4 6 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 6 4 4 5 4 5 5 5 5 4 4 5 6 5 5 5 5 5 6 5 5 8 10 11 8 14 11 10 10 11 10 8 10 7 10 11 12 5 8 8 9 11 10 10 12 9 11 14 10 13 10 7 12 10 10 11 13 13 12 12 8 12 8 12 8 7 7 7 8 11 9 9 8 8 8 7 9 8 7 8 7 10 10 6 4 7 9 8 7 8 6 12 8 8 9 7 9 9 12 8 6 5 4 7 6 6 4 4 7 5 4 7 7 6 10 5 5 7 7 6 5 7 7 7 3 4 8 6 8 6 9 4 6 3 7 10 4 4 4 10 7 4 6 20

2 3 3 2 3 3 4 3 3 3 3 3 4 3 4 3 3 3 2 2 2 2 2 3 3 3 5 6 5 5 5 5 6 5 5 5 4 5 5 4 5 5 5 6 5 6 5 5 5 5 6 5 6 6 4 5 4 5 4 5 6 5 14 11 13 15 8 7 13 9 11 12 9 9 12 13 9 8 10 5 13 10 11 11 11 14 7 9 9 14 13 6 5 11 9 10 15 6 15 12 15 10 10 8 8 21

7 8 8 11 8 11 8 9 10 7 9 7

附录四：未入院的102名病人的最佳入院时间 编号 生病类别 最佳入院时间 1 白内障(双眼) 9月13日 2 视网膜疾病 9月12日 3 青光眼 9月12日 4 视网膜疾病 9月12日 5 视网膜疾病 9月12日 6 白内障(双眼) 9月13日 7 白内障 9月13日 8 青光眼 9月12日 9 白内障(双眼) 9月13日 10 视网膜疾病 9月12日 11 视网膜疾病 9月12日 12 视网膜疾病 9月12日 13 青光眼 9月12日，9月17日 14 白内障 9月13日，9月14日 15 视网膜疾病 9月12日，9月17日 16 视网膜疾病 9月12日，9月17日 17 青光眼 9月12日，9月17日 18 白内障(双眼) 9月13日，9月14日 19 白内障(双眼) 9月13日，9月14日 20 白内障(双眼) 9月13日，9月14日 21 视网膜疾病 9月12日，9月17日，9月18日 22 白内障 9月13日，9月14日 23 视网膜疾病 9月12日，9月17日，9月18日 24 视网膜疾病 9月12日，9月17日，9月18日 25 白内障 9月13日，9月14日 26 白内障 9月13日，9月14日 27 白内障(双眼) 9月13日，9月14日，9月20日 28 白内障 9月14日，9月15日 29 视网膜疾病 9月12日，9月17日，9月18日

22

30 31 32 33 34 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障(双眼) 白内障 视网膜疾病 9月12日，9月17日，9月18日

9月12日，9月17日，9月18日，9月19日

9月14日，9月20日

9月12日，9月17日，9月18日，9月19日 9月12日，9月17日，9月18日，9月19日

35 白内障 36 视网膜疾病 37 视网膜疾病 38 白内障(双眼) 39 白内障 40 青光眼 41 视网膜疾病 42 视网膜疾病 43 视网膜疾病 44 青光眼 45 白内障(双眼) 46 白内障(双眼) 47 青光眼 48 青光眼 49 视网膜疾病 50 视网膜疾病 51 白内障(双眼) 52 白内障(双眼) 53 白内障(双眼) 54 视网膜疾病 55 白内障(双眼) 56 青光眼 57 白内障(双眼) 58 白内障 59 白内障(双眼) 60 白内障(双眼) 61 白内障(双眼) 62 视网膜疾病 63 青光眼 白内障(双眼) 65 视网膜疾病 66 白内障(双眼) 67 视网膜疾病 68 白内障 69 视网膜疾病 70 视网膜疾病 71 白内障 72 白内障(双眼) 73

白内障 9月14日，9月15日

9月17日，9月18日，9月19日 9月17日，9月18日，9月19日

9月14日，9月20日

9月14日，9月15日，9月16日 9月17日，9月18日，9月19日 9月17日，9月18日，9月19日 9月17日，9月18日，9月19日 9月17日，9月18日，9月19日

9月18日，9月19日 9月14日，9月20日 9月14日，9月20日 9月18日，9月19日 9月18日，9月19日 9月18日，9月19日 9月18日，9月19日 9月14日，9月20日

9月14日，9月20日，9月21日 9月14日，9月20日，9月21日

9月18日，9月19日 9月20日，9月21日 9月18日，9月19日 9月20日，9月21日 9月15日，9月16日 9月20日，9月21日 9月20日，9月21日 9月20日，9月21日 9月18日，9月19日

9月19日

9月20日，9月21日

9月19日

9月20日，9月21日

9月19日

9月15日，9月16日，9月21日

9月19日

9月19日，9月24日

9月15日，9月16日，9月21日

9月20日，9月21日

9月15日，9月16日，9月21日

23

74 视网膜疾病 75 白内障 76 青光眼 77 青光眼 78 视网膜疾病 79 白内障 80 白内障 81 视网膜疾病 82 白内障 83 白内障(双眼) 84 白内障 85 白内障 86 白内障(双眼) 87 白内障 88 青光眼 白内障(双眼) 90 视网膜疾病 91 视网膜疾病 92 青光眼 93 白内障(双眼) 94 白内障(双眼) 95 青光眼 96 白内障(双眼) 97 外伤 98 白内障(双眼) 99 视网膜疾病 100 白内障 101 视网膜疾病 102 视网膜疾病

9月19日，9月24日

9月15日，9月16日，9月20日，9月21日，9月22日

9月19日，9月24日 9月19日，9月24日 9月19日，9月24日

9月15日，9月16日，9月20日，9月21日，9月22日 9月15日，9月16日，9月20日，9月21日，9月22日

9月19日，9月24日

9月16日，9月20日，9月21日，9月22日

9月20日，9月21日，9月22日

9月16日，9月20日，9月21日，9月22日 9月16日，9月21日，9月22日，9月23日

9月20日，9月21日，9月27日

9月16日，9月21日，9月22日，9月23日

9月19日，9月24日

9月20日，9月21日，9月27日 9月19日，9月24日，9月25日 9月19日，9月24日，9月25日 9月19日，9月24日，9月25日 9月20日，9月21日，9月27日 9月20日，9月21日，9月27日 9月19日，9月24日，9月25日 9月20日，9月21日，9月27日

9月12日

9月21日，9月27日

9月19日，9月24日，9月25日，9月26日

9月16日，9月21日，9月22日，9月23日，9月28日

9月19日，9月24日，9月25日，9月26日

9月24日，9月25日，9月26日

24

附录五：模拟所用的程序