带电物体在电场中的综合计算 知识讲解

【学习目标】

1、进一步强化对静电场的认识，理解静电场力的性质和能的性质；

2、能够熟练地解决带电粒子在恒定的电场以及一些变化的电场中的加速和偏转问题； 3、能够熟练地解决带电物体在静电场和重力场所构成的复合场中的运动问题。 【要点梳理】

知识点一：带电粒子在电场中的加速运动 要点诠释：

（1）带电粒子在任何静电场中的加速问题，都可以运用动能定理解决，即带电粒子在电场中通过电势差为UAB 的两点时动能的变化是Ek，则qUABEk1212mv2mv1 22（2）带电粒子在静电场和重力场的复合场中的加速，同样可以运用动能定理解决，即

WmghABqUABEk1212mv2mv1（W为重力和电场力以外的其它力的功） 22（3）带电粒子在恒定场中运动的计算方法

带电粒子在恒力场中受到恒力的作用，除了可以用动能定理解决外还可以由牛顿第二定律以及匀变速直线运动的公式进行计算。

知识点二：带电粒子在偏转电场中的运动问题

（定量计算通常是在匀强电场中，并且大多数情况是初速度方向与电场线方向垂直） 要点诠释：

（1）运动性质：受到恒力的作用，初速度与电场力垂直，做类平抛运动。 （2）常用的关系：

偏转电场强度：ELUqU粒子在偏转电场中运动时间：t，粒子的加速度：a，v0dmd（U为偏转电压，d为两平行金属板间的距离或沿着电场线方向运动的距离，L为偏转电场的宽度（或者是

平行板的长度），v0为经加速电场后粒子进入偏转电场时的初速度。）

带电粒子离开电场时：

沿电场线方向的速度是vyat垂直电场线方向的速度vxv0 合速度大小是：vqUL； mdv0vv 方向是：tan2x2yvyvxqUL 2mdv012qUL2离开电场时沿电场线方向发生的位移yat 222mdv0知识点三：带电微粒或者带电物体在静电场和重力场的复合场中运动时的能量守恒

要点诠释：

（1）带电物体只受重力和静电场力作用时，电势能、重力势能以及动能相互转化，总能量守恒，即

EP重EP电EKK（恒定值）

（2）带电物体除受重力和静电场力作用外，如果还受到其它力的作用时，电势能、重力势能以及动能之

和发生变化，此变化量等于其它力的功，这类问题通常用动能定理来解决。 【典型例题】

类型一：带电粒子在匀强电场中的加速

例1、如图所示,平行板电容器两极板间有场强为E的匀强电场,且带正电的极板接地.一质量为m､电荷量为+q的带电粒子(不计算重力)从x轴上坐标为x0处静止释放. (1)求该粒子在x0处的电势能Epx0;

(2)试从牛顿第二定律出发,证明该带电粒子在极板间运动过程中,其动能与电势能之和保持不变.

【解析】:(1)带电粒子从O点移到x0点电场力所做的功为:W电qEx0① 电场力所做的功等于电势能增加量的负值,故有:W② 电Epx00联立①②得:Epx0qEx0③

(2)方法一:在带电粒子的运动方向上任取一点,设坐标为x,由牛顿第二定律可得qEma④

2由运动学公式得vx2a(xx0),⑤ 12联立④⑤式求得EkxmvxqE(xx0),2粒子在任意点的电势能为EpxqEx, 所以粒子在任意一点的动能与电势能的和为

ExEkxEpxqExx0qExqEx0Epx0

Epx0为一常数,故粒子在运动过程中动能与电势能之和保持不变

方法二:在x轴上任取两点x1､x2,速度分别为v1､v2.FqEma,12122v2v122ax2x1,联立得mv2mv1qE(x2x1),22

121所以mv2(qEx2)mv12(qEx1),22即Ek2Ep2Ek1Ep1,故在其运动过程中,其动能和电势能之和保持不变.【点评】讨论带电粒子在电场中的直线运动问题(加速或减速)经常用到的方法是: (1)能量方法——能量守恒定律,注意题目中有哪些形式的能量出现.

(2)功能关系——动能定理,注意过程分析要全面,准确求出过程中的所有功,判断选用分阶段还是全程使用动能定理.

(3)动力学方法——牛顿运动定律和匀变速直线运动公式的结合,注意受力分析要全面,特别是重力是否需要考查的问题;其次是注意运动学公式的矢量性.

举一反三 【变式】（2015 巴蜀中学期末考）如图所示，从F处释放一个无初速度的电子向B板方向运动，指出下列对电子运动的描述中哪项是错误的

A．电子到达B板时的动能是Ee B．电子从B板到达C板动能变化量为零 C．电子到达D板时动能是3Ee D．电子在A板和D板之间做往复运动

( )

【答案】C

类型二：带电粒子在匀强电场中的偏转

例2、 （2016 湛江一模）如图所示，平行板电容器充电后形成一个匀强电场，大小保持不变。让不计重力的相同带电粒子a、b以不同初速度，先、后两次垂直电场射入，a、b分别落到负极板的和边缘，则（ ）

A.b粒子加速度较大 B. b粒子的电势能变化量较大

C. 若仅使a粒子初动能增大到原来的2倍，则恰能打在负极板的边缘 D. 若仅使a粒子初速度增大到原来的2倍，则恰能打在负极板的边缘 【答案】ABC 【解析】加速度aqE，a、b两个粒子相同，电场强度E相同，则加速度相同，故A错误；电场力做功mWqEy，可见，电场力做功相同，由能量守恒可知，两次的电势能增量相同，故B错误；若粒子a的

初动能增大到原来的2倍，由动能的定义式Ek12mv知a粒子的初速度增大到原来的2倍，粒子在电2场中做类平抛运动，a粒子到达下极板的时间不变，水平位移变为原来的2倍，a粒子没有打到负极板的边缘，故C错误；若仅使a粒子初速度增大到原来的2倍，粒子到达下极板的时间不变，水平位移变为原来的2倍，则恰能打在负极板的边缘，故D正确。

【点评】本题是类平抛运动的类型，运用牛顿第二定律、运动学公式和动能定理结合分析，即可求解。

举一反三

【高清课程：带电物体在电场中的综合计算】

【变式】如图，有三个质量相等分别带正电、负电和不带电小球，从平行板电场中P 点以相同初速垂直于E 进入电场，它们分别落到A 、B 、C点，则：

A．落到A 点的小球带正电，落到B 点的小球不带电； B．三小球在电场中运动时间相等；

C．三小球到达正极板时的动能关系是：EKAEKBEKC D．三小球在电场中运动的加速度关系是：aA aB aC

【答案】A

类型三：带电物体在匀强电场与重力场的复合场中的运动情况分析

例3、 质量为m的带电小球用绝缘丝线悬挂于O点，并处于水平向左的大小为E的匀强电场中，小球静止时丝线与铅垂线间的夹角为，如图所示，求： （1）小球带何种电荷？电荷量是多少？

（2）若将丝线烧断，则小球将做什么运动？（设电场区域足够大）

O  E

【答案】（1）负，

mgtan （2）初速度为零的匀加速直线运动 E【解析】（1）小球受到的电场力一定是水平向右，与场强的方向相反，所以小球带负电。 小球受力如图所示：

O  F E qE F合 mg

由共点力平衡条件得，qEmgtan 所以带电小球所带的电荷量qmgtan E（2）小球受到重力和电场力的合力F合与小球静止时线的拉力大小相等方向相反，是一个恒力。当烧断丝线时，小球在恒力作用下由静止开始运动，做初速度为零的匀加速直线运动。

【点评】带电物体在匀强电场和重力场的复合场中运动时，将两个恒力归并成为一个恒力，对分析运动情况特别方便，要注意运用这个方法。

举一反三

【高清课程：带电物体在电场中的综合计算】例7

【变式1】真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。在电场中，若将一个质量为m、带正电

000

的小球由静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹角为37(取sin37 =0.6，cos37 =0.8)。现将该小球从电场中某点以初速度v0竖直向上抛出。求运动过程中： (1) 小球受到的电场力的大小及方向； (2)小球从抛出点至最高点的电势能变化量

【答案】（1）

392 mg 水平向右 （2）E-Eqx=-mv0432类型四：在重力场和静电场中的能量转化和守恒

例4、如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，且相邻两等势面的电势差相等，一个正电荷在等势面U3上时具有动能210J，它运动到等势面U1时，速度为零，令U2=0，那么该点电荷的电势能为410J时，其动能大小是多少？（设整个运动过程中只有电场力做功）

45

5【答案】EK610J

【解析】电荷在U3等势面时具有动能210J ，而在U1等势面时v=0，所以动能为零，由动能定理得

4又由于qU130EK02104J所以qU13210J4

U12U23且U12U23U13所以U12U23所以qU23EK02U13。2

1104J。又由于U23U2U3且U20所以qU3qU2qU231104J4即EP3110J

设电荷在电场中P点时具有的电势能为410J，在电荷由等势面U3运动到P点的过程中应用能量

5守恒定律得EPEKEP3EK3所以电荷在P点的动能为：

EKEP3EPEK3(110441052104)J6105J

【点评】在静电场中运动的电荷它的机械能和电势能之和保持不变，即能量守恒，由此出发分析问题时比较方便。 举一反三

【变式】如图所示，一个绝缘光滑半圆轨道放在竖直向下的匀强电场中，场强为E，在其上端，一个质量为m，带电量为q的小球由静止下滑，则（ ） A. 小球运动过程中机械能守恒 B. 小球经过最低点时速度最大

C. 小球在最低点对球的压力为(mgEq) D. 小球在最低点对球的压力为3(mgEq)

【答案】BD

类型五：带电小球在电场和重力场中的圆周运动

例5、（2015 宁德市期末考）如图所示，水平向右的匀强电场中，用一根长为l的细线吊着一质量为m，电荷量为－q的小球。现将小球拉到与竖直方向成30°角后静止释放，已知电场强度E=速度为g，求：

(1) 小球经过最低点时速度的大小； (2) 小球经过最低点时对细线拉力的大小；

(3) 小球向左运动到最高点时细线与竖直方向的夹角θ为多大？

3mg

，重力加3q

【答案】v=

323) gl T′=(3－)mg θ=90° 33

【解析】(1) 小球开始摆动做圆周运动，重力、电场力对小球做正功．由动能

2 (1－定理有：

1

mgl(1－cos30°)+qElsin30° =mv2

2解得：v=

2 (1－3

) gl 3

(2) 由圆周运动知识，在最低点时，根据牛顿第二定律有：

v2

T－mg＝m

l23

T＝(3－)mg

323

由牛顿第三定律，小球经对细线拉力T′=(3－)mg

3(3) 小球向左运动到最高点时，由动能定理有：

qEl(sin30°+sinθ)－mgl(cos30°－cosθ)=0 解得：θ=90°

【点评】分清物体受力情况及运动状态，然后运用动能定理求速度，根据牛顿定律就拉力是此类问题常用

的思路。

类型六：运用力的作用原理解决带电物体在复合场中的运动问题

例6、如图所示，一个带正电的微粒，电荷量为q，质量为m，以竖直向上的初速度v0在平行板电容器两板正中间的A点进入场强为E的匀强电场中，正好垂直打到B点，且AC＝BC，则（ ） A. 粒子在B点的速度等于v0

2mv0C. 两极板间的电势差U

q B. 粒子在B点的速度等于2v0

2Ev0` D. 两极板间的电势差U

g B v A C

【答案】ACD

【解析】带电微粒在竖直方向和水平方向上皆做匀变速直线运动，设微粒达到B点经历的时间是t，AC＝BC=h，则:在水平方向上h11vBt；在竖直方向上：hv0t，比较可见：vBv0；又在水平方向上22222gh，比较得到水平方向上电场力产生的加速度ag，即vB2ah，在竖直方向上：v022v0mv0qUg，而h,整理得U，选项AC正确；

q2hm2g2Ev0又UE2h将h代入得到U，所以选项D正确。

g【点评】根据物体的受力情况，将其所做的运动分解为两个或几个熟悉的、简单的运动求解，是解决问题的技术和技巧。

类型七：静电场场力做功与路径无关

例7、 一个质量为m、带电量为－q的物体，可以在水平轨道Ox上运动，轨道O端有一与轨道垂直的固定墙。轨道处于匀强电场中，电场强度大小为E，方向沿Ox轴正方向。当物体m以初速度v0从x0点沿x轴正方向运动时，受到轨道大小不变的摩擦力f的作用，且fEq，设物体与墙面碰撞时机械能无损失，且电量不变，求：

(1)小物体m从x0位置运动至与墙面碰撞时电场力做了多少功？ (2)物体m停止运动前，它所通过的总路程为多少？

v0 E O m q x x0

2mv02Eqx0【答案】W电Eqx0 x

2f【解析】小物体受到的电场力FqE，大小不变，方向指向墙壁；摩擦力的方向总是与小物体运动的方向相反。不管开始时小物体是沿x轴的正方向还是负方向运动，因为fqE，经多次碰撞后，如果小球处在Ox轴的某点，总会向O点加速运动的，所以小物体最终会静止在O点。在这一过程中，摩擦力所做负功使物体的机械能

12mv0和电势能qEx0变为零。据此可求得总路程s。 2(1)滑块从x0到O点电场力做功为W电 W电Eqx0

(2)滑块运动过程中摩擦力总与其运动方向相反，对m做负功，而电场力在滑块停在O点时做功仅为

Eqx0。设滑块通过的总路程为x，则根据动能定理得：

12 Eqx0fx0mv022mv02Eqx0x

2f【点评】（1）本题是电势能与机械功能结合的综合题，属难题，疑难点有二：其一，小物体最后停在何处；其二，小物体碰多少次无法确定。用动力学、运动学求解好像无从下手。

（2）要认识物体的运动过程必须进行受力分析：如小物体运动时所受合力为qEf或qEf，而

方向总是指向O点来确定，不论碰墙次数多少，最后总是停于O点。

（3）用动能定理来列方程求路程s特别方便，其关键是理解并能灵活运用静电场力功和滑动摩擦力功的特点。