高三数学参数方程试题

1. （参数方程与极坐标）已知在直角坐标系中曲线

的参数方程为

（为参数且

），，

在以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线则曲线与交点的直角坐标为__________． 【答案】（2，2） 【解析】由曲线为：方程组：

解得的参数方程为

；曲线

，（

（为参数且的极坐标方程为

舍去），故曲线

的极坐标方程为

），消去参数得到曲线的普通方程

；由

化为直角坐标方程得与

交点的直角坐标为（2，2）．

【考点】1．参数方程与普通方程的互化；2．极坐方程与直角坐标方程的互化；３．曲线的交点． 2. 直线【答案】

.

的斜率为

，因此该直线的倾斜角为

.

（为参数）的倾斜角是

【解析】直线

【考点】1.直线的参数方程；2.直线的斜率

3. 在直角坐标系

中，曲线的参数方程为

(为参数)，若以直角坐标系

的

点为极点，轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得直线的极坐标方程为

．求直线与曲线交点的极坐标．

【答案】

【解析】求直线与曲线交点的极坐标，可先直线与曲线交点直角坐标..先根据

，消去参数得,注意范围：.再根据得直线的方程：直线的直角坐标方程为曲线的普通方程为由

, 解得

，由

, 解得

，故直线的倾斜角为．

,

. 所以交点的极坐标为

.

. 所以交点的极坐标为

.

【考点】参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程

4. 在直角坐标平面内，以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点极坐标为

，曲线的参数方程为

（为参数），则点

的

到曲线上的点的

距离的最小值为 ． 【答案】

【解析】由已知得，点的直角坐标为

，曲线的普通方程为，表示以

为圆心，为半径的圆，故点到曲线上的点的距离的最小值为．

【考点】1、直角坐标和极坐标的互化；2、参数方程和普通方程的互化；3、点和圆的位置关系.

5. 若直线的参数方程为【答案】－ 【解析】k＝ 6. 在椭圆

＝1上找一点，使这一点到直线x－2y－12＝0的距离最小．

.∴直线的斜率为－.

，(t为参数)，求直线的斜率．

【答案】(2，－3)

【解析】设椭圆的参数方程为d＝当cos

7. 直线的参数方程是唯一) 【答案】

，即

，其一个方向向量为

．

是参数)，则直线的一个方向向量是 ．(答案不

＝1时，dmin＝

，此时所求点为(2，－3)

，

，

【解析】把直线的参数方程化为普通方程为【考点】直线的方向向量．

8. 设直线l1的参数方程为【答案】

【解析】将参数方程

(t为参数),直线l2的方程为y=3x+4,求l1与l2间的距离. (t为参数)化为普通方程为3x-y-2=0.

由两平行线之间的距离公式可知,所求距离为d==.

9. 在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线l：x＝2的距离是到点F(1,0)的距离的倍． (1)求动点P的轨迹方程；

(2)设直线FP与(1)中曲线交于点Q，与l交于点A，分别过点P和Q作l的垂线，垂足为M，N，问：是否存在点P使得△APM的面积是△AQN面积的9倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）x2＋2y2＝2（2）存在点P为(0，±1) 【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)． 由题意知＝|2－x|，化简，得x2＋2y2＝2，所以动点P的轨迹方程为x2＋2y2＝2. (2)设直线FP的方程为x＝ty＋1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为△AQN∽△APM，所以有PM＝3QN，由已知得PF＝3QF，所以有y1＝－3y2，① 由y1＋y2＝－

得(t2＋2)y2＋2ty－1＝0，Δ＝4t2＋4(t2＋2)＝8>0 ②，y1·y2＝－

③，由①②③得t＝－1，y1＝1，y2＝－或t＝1，y1＝－1，

y2＝，所以存在点P为(0，±1)． 10. 直线

（为参数）的倾斜角为__________.

【答案】 【解析】消去s可得

，该直线的斜率k=

，所以

故=.

【考点】1.直线的参数方程和普通方程间的互化；2.直线的斜率和倾斜角.

11. 已知直线l过点P(2,0)，斜率为点为M,求：(1)|PM|； (2)|AB|. 【答案】（1）

；（2）

直线l和抛物线y2=2x相交于A、B两点，设线段AB的中

【解析】（1）写出过点P（2,0）的直线方程的参数方程，联立抛物线的方程得到一个含参数t二次方程.通过韦达定理即定点到中点的距离可得（2）弦长公式|AB|＝|t2－t1|再根据韦达定理可得

故填

. 故填

.本题主要知识

点是定点到弦所在线段中点的距离.弦长公式.这两个知识点都是参数方程中的长测知识点.特别是到中点的距离的计算要理解清楚.

试题解析：(1)∵直线l过点P(2，0)，斜率为设直线的倾斜角为α,tanα=∴直线l的参数方程为

sinα=

cosα=

(t为参数)(*) 1分

∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2=2x中，整理得 8t2－15t－50＝0,且Δ=152+4×8×50>0, 设这个一元二次方程的两个根为t1、t2, 由根与系数的关系，得t1＋t2＝得

(2)|AB|＝|t2－t1| ＝

7分

【考点】1.直线的参数方程的表示.2.定点到中的距离公式.3.弦长公式. 12. 过点

，倾斜角为的直线与圆C：

（为参数）相交于

两点，试确定

t1t2＝

3分

由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，

4分

的值．

【答案】15． 【解析】先将曲线：

（圆）的参数方程化成普通方程，再将直线的参数方程代入

其中，得到一个关于的一元二次方程，最后结合参数的几何意义，利用一元二次方程的根与系数之间的关系式即可求得距离之积． 试题解析：由已知得直线的参数方程为

（为参数），即

（为参数） 3

分曲线的普通方程为． 6分 把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得

积为15． 10分

【考点】1．圆的参数方程；2．直线和圆相交有关计算．

∴点到两点的距离之

13. 已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．在极坐标系（与直角

的方程为

坐标取相同的长度单位，且以原点为极点，轴的非负半轴为极轴）中，曲线

．

（Ⅰ）求曲线直角坐标方程；

（Ⅱ）若曲线、交于A、B两点，定点，求的值． 【答案】（Ⅰ）曲线直角坐标方程为；（Ⅱ）． 【解析】（Ⅰ）由已知，两边都乘以，得，结合可求得曲线

即

的直角坐标方程（普通方程）；（Ⅱ）由已知条件，把的参数方程

为参数）代入，得

的值．

，得，得

由韦达定理可得：，

．3分

．

，进一

步可计算出

试题解析：（Ⅰ）由已知（Ⅱ）把的参数方程代入

5分 ．7分

【考点】直线的参数方程与极坐标方程．

14. 在平面直角坐标系

(

，

中，曲线的参数方程为

(为参数)，曲线

的参数方程为

与

为参数)．在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线

时，这两个交点间的距离为，当的交点分别为

，当

时，这两个交点重合．

的交点分别为

各有一个交点．当

时，与，的面积．

（Ⅰ）分别说明，（Ⅱ）设当求四边形

是什么曲线，并求出a与b的值；

时，与，

，

【答案】（Ⅰ）C1是圆，C2是椭圆; （Ⅱ）四边形A1A2B2B1的面积为

【解析】（Ⅰ）根据圆和椭圆的参数方程特征可以判断出C1是圆，C2是椭圆；然后还原到直角坐标系中，根据a＝3和b＝1；

（Ⅱ）先分别求出在直角坐标系下的方程：C1：

，C2：

然后再求出第一象限的

角平分线与C1，C2的交点坐标和第四象限与C1，C2交点坐标，根据坐标判断出四边形A1A2B2B1为梯形，然后求得面积.

试题解析：（Ⅰ）C1是圆，C2是椭圆． 当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a，0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3. 当

时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.

，与C2交点B1的横坐标为

即表示的x轴的非负半轴，根据

表示的是y轴的非负半轴可以分别求出

（Ⅱ）C1，C2在平面直角标系下的方程分别为当当

时，射线l与C1交点A1的横坐标为

时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形

A1A2B2B1为梯形． 故四边形A1A2B2B1的面积为

【考点】1.圆的参数方程；2.椭圆的参数方程；3.直线的极坐标方程.

15. 在平面直角坐标系

中，过椭圆

的右焦点，且与直线

（为参

数）平行的直线截椭圆所得弦长为 ． 【答案】

，则右焦点为（1,0）；直线的普通方程为

，由

得

，过，所以所求

【解析】椭圆的普通方程为（1,0）与直线的弦长为

平行的直线为

.

【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.两点间的距离公式和弦长公式.

16. 极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴.已知直线的参数方程为

（为参数），曲线的极坐标方程为

.

（Ⅰ）求的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线与曲线交于【答案】(Ⅰ)

；（Ⅱ）

两点，求弦长

.

.

【解析】本题考查坐标系和参数方程.考查学生的转化能力和计算能力.第一问利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程；第二问，先将直线方程代入曲线中，整理，利用两根之和、两根之积求弦长.

试题解析：（Ⅰ）由，得，即曲线的直角坐标方程为

． 5分 （Ⅱ）将直线l的方程代入所以

，并整理得，． 10分

，

，

．

【考点】1.极坐标方程与普通方程的互化；2.韦达定理.

17. 极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴.已知直线的参数方程为

（为参数），曲线的极坐标方程为

.

（Ⅰ）求的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线与曲线交于【答案】(Ⅰ)

；（Ⅱ）

两点，求弦长

.

.

【解析】本题考查坐标系和参数方程.考查学生的转化能力和计算能力.第一问利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程；第二问，先将直线方程代入曲线中，整理，利用两根之和、两根之积求弦长.

试题解析：（Ⅰ）由，得，即曲线的直角坐标方程为

． 5分 （Ⅱ）将直线l的方程代入所以

，并整理得，． 10分

，

，

．

【考点】1.极坐标方程与普通方程的互化；2.韦达定理.

18. 已知在平面直角坐标系

中圆的参数方程为：

，（为参数），以

为极

轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：【答案】

的圆心为,即

,所以圆C截直线所得弦长

【考点】1.参数方程；2.点到直线的距离.

19. 已知曲线的参数方程为

则圆截直线所得弦长为 .

【解析】圆C的参数方程为,半径为3, 直线普通方程为

到直线

.

的距离为

,圆心C

是参数，是曲线与轴正半轴的交点．以坐标

原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点与曲线只有一个公共点的直线的极坐标方程． 【答案】

【解析】首先利用平方和为1的技巧得到圆的普通方程，然后根据相切的性质求得直线的方程，最后利用极坐标公式得到直线的极坐标方程. 试题解析：把曲线的参数方程

∴曲线是圆心为，半径等于的圆. ∵是曲线与轴正半轴的交点， ∴.

根据已知得直线是圆经过点的切线. ∵

,

.

是参数化为普通方程得

.

∴直线的斜率

∴直线的方程为. ∴直线的极坐标方程为.

【考点】圆的参数方程和普通方程，直线的直角坐标方程和极坐标方程的互化. 20. 曲线

（为参数）上一点到点

、

距离之和为________________。

【答案】8

【解析】利用消去参数θ可知，曲线是一人椭圆，A、B恰为焦点，再利用椭圆的定义求解即可．解：曲线

表示的椭圆标准方程为

，可知点A（-2，0）、B（2，0）椭

圆的焦点，故|PA|+|PB|=2a=8．故答案为：8 【考点】简单曲线的参数方程

点评：本题主要考查了简单曲线的参数方程，椭圆的定义等，属于基础题．

21. （1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线

的交点的极坐标为________ (2) （不等式选讲选做题）对于任意______ 【答案】①

②

即x+y=2;

【解析】（1）曲线

与

恒成立，则实数a的取值范围

即x-y=2，解联立方程组的两曲线

交点的直角坐标为（2,0），所以曲线（2）因为即5-2

[－1,1]，所以对于任意，而5-2

最小值为3，所以3

与的交点的极坐标为恒成立，

，解得，实数a的取值范围是

；

。

【考点】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，绝对值不等式的性质，三角函数的图象和性质。 点评：中档题，（2）是恒成立问题，这类题目的一般解法是转化成求函数的最值问题，本题转化成求5-2最小值，是问题易于得解。

22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为：

（t为参数），曲线C的极坐标方程为：

．

（1）求曲线C的普通方程；

（2）求直线被曲线C截得的弦长． 【答案】(1) (2) 【解析】解：（1）由曲线得化成普通方程 ① 5分

（2）方法一：把直线参数方程化为标准参数方程（为参数） ② 把②代入①得：

整理，得设其两根为则

从而弦长为

，

8分

10分

【考点】参数方程，极坐标方程与直线与圆的位置关系

点评：解决该试题的关键是将参数方程和极坐标方程化为普通方程， 结合直线与圆的位置关系来求解，属于基础题。

23. （坐标系与参数方程选讲选做题） 已知圆的参数方程为

为参数), 以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

直线的极坐标方程为, 则直线截圆所得的弦长是 . 【答案】

【解析】圆的参数方程化为平面直角坐标方程为， 直线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为，

如右图所示，圆心到直线的距离，

故圆截直线所得的弦长为

24. （坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，曲线

的长度为 ． 【答案】 【解析】由题意可知

和相交于点，则线段

故该试题求解的弦长AB的值，即可以通过圆的半径2，圆心为（0，-2），得到圆心到直线x=1的距离d=,结合半弦长和半径和弦心距的勾股定理得到线段的长度为，故填写 【考点】本试题主要考查了参数方程和极坐标方程的运用。

点评：解决该试题的关键是能将极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式和勾股定理得到AB的长度。

25. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线

的极坐标方程是

，曲线

的参数方程是

是参

数）．

（1）写出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程； （2）求的取值范围，使得，没有公共点． 【答案】（1）曲线（2）

的直角坐标方程是。

，曲线

的普通方程是

；

【解析】本试题主要是考查了极坐标方程和曲线普通方程的互化，以及曲线的交点的求解的综合运用。

因为根据极坐标方程与直角坐标方程的互化得到普通方程，然后，联立方程组可知满足没有公共点时的t的范围。

解：（1）曲线的直角坐标方程是， 曲线

的普通方程是

时，

……10分

…………5分 ，

没有公共点，

（2）当且仅当解得

26. (本小题满分10分)选修4—4;坐标系与参数方程． 已知直线（Ⅰ）设与

相交于

为参数), 曲线两点,求

；

倍,得到曲线

,设点

（为参数）.

（Ⅱ）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的

,

是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值. 【答案】（I）的普通方程为的普通方程为联立方程组则（II）

.----------5分 的参数方程为

为参数).故点的坐标是

解得与

的交点为

,

,从而点到直线的

距离是, 由此当

时,取得最小值,且最小值为

.---------10分

【解析】（Ⅰ）将直线和曲线式和三角函数知识求最值。

27. 在直角坐标系

的方程化为普通方程解决问题；（Ⅱ）根据点到直线的距离公

中，曲线C1的参数方程为

（为参数）,

在极坐标系（与直角坐标系极轴）中，曲线【答案】16

【解析】，曲线C1的参数方程方程

得 的方程为

取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为

，则

与

两交点的距离为

（为参数）化为普通方程得：化为直角坐标方程得：消去y得：

。由曲线的极坐标

。直线过抛物线焦点F(2,0);由

。根据抛物线定义：

,设两个交点为则

28. （本题满分10分，选修4-4：极坐标与参数方程） 已知圆C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是

（t是参数）。

若直线与圆C相切，求实数m的值. 【答案】（本题满分10分） 解：由，得， ， 即圆的方程为， ---------------------------4分 又由

消，得

， --------------------------------7分

直线与圆相切， ，． -------------------------------10分

【解析】略

29. ．选修4—4：坐标系与参数方程

椭圆中心在原点，焦点在轴上。离心率为，点若

的最大值为

，求椭圆的标准方程．

，

是椭圆上的一个动点，

【答案】解：离心率为，设椭圆标准方程是它的参数方程为

最大值是依题意【解析】略

， ，

，椭圆的标准方程是

是参数 ………5分

………10分

30. （坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线 与圆

的公共点个数是________

【答案】1

【解析】略

31. 已知直线的参数方程是

（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极

坐标系，圆C的极坐标方程为，则直线被圆C所截得的弦长等于 。 【答案】4 【解析】略

32. 在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C1：x2+y2=1，以平面直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ(2cosθ-sinθ)=6.

（Ⅰ）将曲线C1上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程.

（Ⅱ）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值． 【答案】：（Ⅰ）由题意知，直线l的直角坐标方程为：2x-y-6=0. ∵C2：（（Ⅱ）设P（d=

=1 ∴C2：的参数方程为：cosθ，2sinθ），则点P到l的距离为：

，

=2

（θ为参数）……5分

∴当sin(60°-θ)＝-1即点P（-,1）时，此时dwax=[

【解析】（Ⅰ）根据极坐标与普通方程的互化，将直线l：ρ(2cosθ-sinθ)=6化为普通方程，C2的方程为

，化为普通方程；（Ⅱ）利用点到直线的距离公式表示出距离，求最值.

33. 选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线的极坐标方程为圆

的参数方程为

，

.

（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆上的点到直线的距离的最小值. 【答案】（1）

； （2）

【解析】略

34. 附加题) 已知的极坐标方程分别是

（1）分别将两个圆的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若两个圆的圆心距为的值。

（a是常数）.

【答案】

【解析】略

35. （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线C1

（t为参数），C2

（为参数），

（Ⅰ）当=时，求C1与C2的交点坐标；

（Ⅱ）过坐标原点O作 C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线. 【答案】（1）当联立方程组

（2）C1的普通方程为

故当a变化时，P点轨迹的参数方程为

时，C1的普通方程为

，C2的普通方程为

，

，解得C1与C2的交点坐标为（1，0），

，A点坐标为

（a为参数）

。……5分 ，

P点轨迹的普通方程为故P点轨迹是圆心为【解析】略

36. 在平面直角坐标系

中，已知圆

。

，半径为的圆。…………10分

（为参数）和直线（为参

数），则圆C的普通方程为 ，直线与圆C的位置关系是 。 【答案】

【解析】略

37. （共12分）（考生在下面两题中任选一题解答，若多选则安所做的第一题计分） 选修4—4：坐标系与参数方程 1：已知曲线C的极坐标方程是

,设直线的参数方程是

（为参数）。

（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）设直线与轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值。

【答案】

（II）上，

……8分

① ②

…………10分 由①得

③

将③代入②得由（I）得

…………12分

…………11分

【解析】略

38. (本题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线Ｃ1的极坐标方程为

，曲线C2的极坐标方程为

，曲线C1，C2相交

于点A，B．

(Ⅰ)将曲线C1，C2的极坐标方程化为直角坐标方程；

(Ⅱ)求弦AB的长．

【答案】(Ⅰ)由于直线过极点，倾斜角为45°，∴C2的方程为y = x， …………2分 在r＝cosq两边同乘以r，得r2=rcosq,

由互化公式可知C1的直角坐标方程为x2+y2=6x． …………4分 (Ⅱ)圆心(3,0)到直线y=x的距离d=由平面几何知识知，所以弦长AB=3【解析】略

39. （本小题满分10分）已知曲线

分别在曲线【答案】【解析】到直线

的距离

和

……………3分

……………6分

上，求线段

（为参数），

长度的最小值．

（为参数），点

,半径r=\"3,\" …………6分

． …………8分

． …………10分

……………9分

……………10分

40. （选修4—4：坐标系与参数方程）若两条曲线的极坐标方程分别为=l与=2cos（θ+）们相交于A，B两点，求线段AB的长。 【答案】【解析】由又

， ------------------------------------------5分 由

得

，或

，即

，

得

，

．-----------------------------------------------------------10分

41. 在平面直角坐标系中，以O为极点，轴正半轴为极辆，取相同的长度单位，建立极坐标系，则直线【答案】

被圆

为参数）截得的弦长为 。

【解析】略

42. 坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点【答案】

到直线的距离为 ．

【解析】略

43. 选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为P是椭圆

（t为参数），

上任意一点，求点P到直线l距离的最大值.

【答案】解：直线l的参数方程为(t为参数)，故直线l的普通方程为x＋2y＝0．…2分 因为P是椭圆＋y2＝1上任意一点，故可设P(2cosq，sinq)其中q∈R．………4分 因此点P到直线l的距离是d＝＝． ………8分

所以当q＝kp＋，k∈Z时，d取得最大值． …………………………………10分 【解析】略

44. 将参数方程【答案】【解析】由

45. 已知为半圆点

在射线

上，线段

（为参数，与的弧

）上的点，点的坐标为

，为坐标原点，

知

（为参数）化成普通方程为 ．

的长度均为。

的坐标；

（Ⅰ）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点

（Ⅱ）求直线的参数方程

【答案】

【解析】

46. 已知为半圆点

在射线

上，线段

（为参数，与的弧

）上的点，点的坐标为

，为坐标原点，

的长度均为。

的坐标；

（Ⅰ）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点（Ⅱ）求直线的参数方程

【答案】

【解析】

47. 已知椭圆的参数方程为【答案】6 【解析】略

48. （坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线

（为参数），

（

），则该椭圆的焦距为 .

曲线【答案】【解析】略

（为参数）.若曲线

（或

、 ）

有公共点，则实数的取值范围____________．

49. 已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

，（t为参数），以坐标原点为极点，

（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围． 【答案】（Ⅰ）

;（Ⅱ）

代入

.

，即可得到直线l的普通方程；将

，

【解析】（Ⅰ）应用代入法，将

代入曲线C的极坐标方程，即得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）由圆的参

数方程设出点 ，根据点到直线的距离公式得到的式子，并应用三角函数的两角和的余弦公式，以及三角函数的值域化简，即可得到的范围． 试题解析：（Ⅰ）直线的普通方程为：曲线的直角坐标方程为（Ⅱ）设点所以的取值范围是

---4分 ，则.

；

【考点】1.参数方程化成普通方程；2.简单曲线的极坐标方程．

50. （本题小满12分）已知圆锥曲线曲线的左、右焦点． （1）求经过点

且垂直于直线

的直线的参数方程．

的极坐标方程．

（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线【答案】（1）

（为参数）；（2）

．

（是参数）和定点

，，

是圆锥

【解析】（1）首先将圆锥曲线的参数方程转化为普通方程可得

，故

,再由条件与

垂直，可知的斜率

，则焦点坐标为，其倾斜角为

，从而

可知直线的参数方程为（为参数）；（2）由条件已知直线的斜率,倾斜

角是，则若设是直线上任一点,则由正弦定理可知：

的极坐标方程为: ，化为普通方程为

，

．

，

，化简后可得直线

试题解析：（1）圆锥曲线

∴∴经过点

，则直线且垂直于直线

的斜率，

，直线的倾斜角是

，

的直线的斜率

∴直线的参数方程是 （为参数），即（为参数）；

（2）直线则∴直线

的斜率

，

的极坐标方程为:

,倾斜角是,设， ．

是直线上任一点,

【考点】1．圆锥曲线的极坐标；2．直线的极坐标方程与参数方程．

51. 己知圆

的参数方程为

（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴

．

的极坐标方程化为直角坐标方程；

建立极坐标系，圆（1）将圆（2）圆

，

的极坐标方程为

的参数方程他为普通方程，将圆

是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．

，

；（2）相交，

消去参数得

，

得

由

两边同时乘以，并

；（2）计算圆心距与半径和、差的关

【答案】（1）【解析】（1）利用结合理求解．

试题解析：（1）由又即

（2）圆心距由

所以，点到直线

，

系，可判断两圆相交，首先求相交弦所在直线方程，然后放在一个圆中利用垂径定理结合勾股定

得 2分

5分

得两圆相交， 6分

得直线的距离为

的方程为

7分 8分

10分

【考点】1、圆的极坐标方程和参数方程；2、点到直线的距离公式；3、垂径定理．

52. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合．直线的参数方程为：

（为参数），曲线的极坐标方程为：

（1）写出曲线的直角坐标方程，并指明是什么曲线； （2）设直线与曲线相交于

两点，求

的值．

．

【答案】（1）【解析】（1）∵由

，得

，它是以（2,0）为圆心，半径为2的圆．（2），∴

．2分

所以曲线C的直角坐标方程为

它是以（2,0）为圆心，半径为2的圆． 4分 （2）把

代入

，整理得

6分

设其两根分别为所以

则， 8分 10分

【考点】本题考查参数方程化为普通方程，把极坐标方程化为直角坐标方程 点评：解决本题的关键是掌握参数的几何意义

53. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系

中，圆锥曲线的参数方程为

（为参数），定点

，

是圆锥曲线的左、右焦点．

（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点且平行于直线的极坐标方程；

（2）设（1）中直线与圆锥曲线交于【答案】（1）

；（2）

两点，求

.

．

的直线

【解析】（1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；(2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若的取值范围；（3）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如

有范围，要标出及直接代入并，

，

的形式，进

行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）及方程的两边平方是常用的变形方法. 试题解析：解：（1）圆锥曲线的参数方程为所以普通方程为： 3分 直线极坐标方程为：

5分

2分

（为参数），

（2）直线的参数方程是（为参数）， 7分

代入椭圆方程得 9分

8分

10分

【考点】1、极坐标方程的应用；2、直线与椭圆的位置关系.

54. （坐标系与参数方程选做题）已知直线的参数方程为程为【答案】

（为参数），圆C的参数方

（为参数）．若直线与圆C有公共点，则实数a的取值范围是__________．

，圆C的普通方程为.

，∴圆C的圆心到直

【解析】∵直线的普通方程为线的距离

，解得

【考点】参数方程与普通方程的转化、点到直线的距离.

55. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为

（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按

坐标变换当点在曲线【答案】（1）

得到曲线．（1）求曲线的普通方程； （2）若点在曲线上，点，

上运动时，求

;（2）

中点的轨迹方程．

【解析】（1）将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；（2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若出的取值范围；（3）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如

有范围，要标

及直接，

，

的形

式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）及方程的两边平方是常用的变形方法. 试题解析：（1）:

，

将 代入的普通方程得，即；

（2）设所以代入

， 则，即，得

，即.

中点的轨迹方程为

【考点】1、参数方程与普通方程的互化；2、点的轨迹方程.

56. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系角

．

中，圆的参数方程为

（为参数），直线经过点

，倾斜

（1）写出圆的标准方程和直线的参数方程； （2）设直线与圆相交于，两点，求

的值．

【答案】（1）圆的标准方程为， 直线的参数方程为（为参数）；（2）

．

【解析】（1）把曲线的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去，化普通方程为

，再根据条件直线经过点

方程代入圆的方程得

试题解析：（1）圆的标准方程为直线的参数方程为

，即

，倾斜角，可得

求得其参数方程；（2）把直线的参数，再由

，求得结果．

， 2分

（为参数）； 5分

（2）把直线的方程，代入，

得∴

，即

，

． 10分

， 8分

【考点】1．圆的参数方程化为普通方程；2．直线的参数方程及参数的几何意义．

57. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为

（1）求

；

的面积取最大值时，求点的坐标． ．

的，用点

（2）设为曲线上的一点，当【答案】（1）

；（2）

，曲线的参数方程为

，设直线与曲线交于两点

【解析】（1）把直线的参数方程与椭圆的参数方程化为普通方程，联立方程组解得交点坐标，然后用两点间距离公式可求得弦大值，即点到直线

到直线距离公式求得到直线

的长；（2）由于

是固定的，因此

的距离最大，故用参数方程表示曲线上的点的坐标

的距离，然后求的最大值.

曲线的方程为

的面积取最

试题解析：（1）由已知可得直线的方程为由

，

（2）设当

即

时最大，

．

【考点】（1）参数方程化为普通方程，直线与椭圆相交问题；（2）三角形面积，点到直线的距离公式，三角形函数的最值.

58. (选修4-4:坐标系与参数方程)在极坐标中，圆的方程为

的参数方程为

以极点

（为参数，

为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面坐标系，圆

）若圆【答案】【解析】圆所以

与

的方程化为

，其圆心

的坐标是.故填

. ，

坐标为

，化简得，半径

外切，则实数的值为 .

，故其普通方程为

；圆

的普通方程是

，所以

，

，因为两圆外切，所以

【考点】圆的参数方程、圆的极坐标方程，两圆的位置关系．

59. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线（

），过点

的直线的参数方程为

（是参数），直线与曲线分别交

于、两点．

（1）写出曲线和直线的普通方程； （2）若

，

，

成等比数列，求的值．

;（2）

。

【答案】（1）

【解析】（1）对于曲线，两边同乘以即可将极坐标方程化为普通方程，对于直线，参数方程两式直接相减即可; （2）将直线参数方程代入曲线的普通方程，由根与系数关系及参数的几何意义即可求.

试题解析：（1）曲线的普通方程为直线的普通方程为

,

（2）将直线的参数表达式代入抛物线得

， 又 由题意知,

,

,

代入得

【考点】极坐标与直角坐标互化，参数方程与普通方程互化，直线参数几何意义.

60. 在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为长． 【答案】【解析】由程为得

(为参数)，求直线被曲线所截得的弦

及

，消去参数得直线的直角坐标方程为，最后由垂径定理得弦长

，

得曲线C的直角坐标方，根据点到直线距离公式

试题解析：曲线C的直角坐标方程为圆心为

，半径为

， 3分

直线的直角坐标方程为所以圆心到直线的距离为所以弦长

， 5分

， 8分

． 10分

【考点】极坐标化直角坐标，参数方程化普通方程，垂径定理