补充：一元二次方程根的判别式 根的判别式1、定义：一元二次方程ax2bxc0(a0)中，b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式。
2、性质：当b24ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b24ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b24ac＜0时，方程没有实数根。
例 若关于x 的方程x2 – 2 (a –1 )x = (b+2)2有两个相等的实根，则a2013+b5的值 为 .
例 若关于x的方程x2 – 2x(k-x)+6=0无实根，则k可取的最小整数为（ ）
（A） - 5 （B） - 4 （C） - 3（D）- 2
补充：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
b如果方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1，x2，那么x1x2，
acx1x2。
a
第三章 证明（三）
一、平行四边形 1、平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边平行且相等。 （2）平行四边形相邻的角互补，对角相等 （3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 相关结论：
（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
（2）夹在两条平行线间的平行线段相等。 3、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 （5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4、两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等。 5、平行四边形的面积 S平行四边形=底×高=ah
例 如图1，□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为（ ）
（A）6cm
（B）12cm
（C）4cm
（D）8cm
例 平行四边形的两邻边分别为3、4，那么其对角线必（ ）
（A） 大于1 （B） 小于7 （C） 大于1且小于7 （D） 小于7或大于1
二、矩形 1、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2、矩形的性质
（1）矩形的对边平行且相等 （2）矩形的四个角都是直角 （3）矩形的对角线相等且互相平分
（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。
3、矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 （3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 4、矩形的面积 S矩形=长×宽=ab
例 如图，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并说明你的结论。
解
三、菱形 1、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、菱形的性质
（1）菱形的四条边相等，对边平行 （2）菱形的邻角互补，对角相等
（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 （4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形 （3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4、菱形的面积
S菱形=底×高=两条对角线乘积的一半
例 菱形的两条对角线长分别为6cm、8cm，则它的面积为（ ）cm2． （A）6 （B）12 （C）24 （D）48
例 菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2，则较长的对角线长为（ ） A．4.5 cm B．4 cm
四、正方形 1、正方形的定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2、正方形的性质
（1）正方形四条边都相等，对边平行 （2）正方形的四个角都是直角
C．53 cm D．43 cm
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。
3、正方形的判定
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它是矩形，再证它是菱形。 先证它是菱形，再证它是矩形。 4、正方形的面积
设正方形边长为a，对角线长为b
b2S正方形=a
22例 如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M，请找出和BE相等的线段，并说明你的结论。
AFDEBMC
五、等腰梯形
1、等腰梯形的定义
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 2、等腰梯形的性质
（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。
（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。 （3）等腰梯形的对角线相等。
（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。 3、等腰梯形的判定
（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 （3）对角线相等的梯形是等腰梯形
例 下列语句中，正确的是（ ）
（A）平行四边形的对角线相等 （B）平行四边形的对角线互相垂直平分 （C）等腰梯形的对角线互相垂直 （D）矩形的对角线互相平分且相等
例 在四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比为1∶2∶2∶3，则这个四边形是（ ）
（A）平行四边形 （B）等腰梯形
例 如图2，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，点E是AB的中点，且AD=AE，EC∥AD，则∠ABC等于（ ）
（A）75° （B）70° （C）60° （D）30°
（C）菱形
（D）直角梯形
六、三角形中的中位线
1、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 3、常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
七、有关四边形四边中点问题的知识点：
（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形； （2）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形； （3）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形； （4）顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形；
（5）顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形； （6）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形； （7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形；
例 已知：如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点。若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
（A）3 （B）4 （C）6 （D）8
A E
H D G F
C 心
第四章 视图与投影
1、视图
三视图包括：主视图、俯视图和左视图。
在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线。
例 如图，一几何体的三视图如右： 那么这个几何体是 .
主视图 左视图 俯视图
例 如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面右图由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（ ）
ABCD 2、投影
（1）投影：物体在光线的照射下，在地面上或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象。
（2）平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。
（3）中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。
（4）区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子。
（5）从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影。
①点在一个平面上的投影仍是一个点； ②线段在一个面上的投影可分为三种情况：
线段垂直于投影面时，投影为一点；
线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度； 线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。 ③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况： 平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状； 平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段； 平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状。
例 小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子（ ）
A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 无法确定
例 小明希望测量出电线杆AB的高度，于是在 阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D处立一 标杆CD，使标杆的影子DE与电线杆的影子BE 部分重叠（即点E、C、A在一直线上），量得
3、视点、视线、盲区
眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线；眼睛看不到的地方称为盲．．．．．区。 ．
E D B
C A ED＝2米，DB＝4米，CD＝1.5米，则电线杆AB长＝ . 例 当你乘车沿一条平坦的大道向前行驶时，你会发现，前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面那些矮一些的建筑物后面去了，这是因为（ ） A 汽车开的很快 B盲区减小 C盲区增大 D 无法确定
第五章 反比例函数
1、反比例函数的概念
一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示为yk（k是常数，k0）x的形式，那么称y是x的反比例函数。（反比例函数的解析式也可以写成ykx1的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。）
2、反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3、反比例函数的性质 反比例函数 k的符号 k>0 y 图象 O x ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； 性质 ②当k>0时，函数图象的两个分①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； ②当k<0时，函数图象的两个分 y O x k<0 yk(k0) x支分别在第一、三象限。在每个象支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小。 限内，y随x 的增大而增大。 k例 在同一坐标系中，函数yx和ykx3的图像大致是 （ ）
A B C D
例 反比例函数y内。
例 反比例函数y3m2，当m_______时，其图象的两个分支在第一、三象限x1的对称轴有（ ）条 x（A）0 （B）1 （C）2 （D） 无数
k2例 对于反比例函数y(k0)，下列说法不正确的是（ ） ．．．x（A）它的图象分布在第一、三象限 （B）点（k，k）在它的图象上 （C）它的图象是中心对称图形 （D）y随x的增大而增大
例 已知反比例函数y
k
（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x
x1x2，则y1y2的值是（ ）
（A）正数
（B）负数 （C）非正数 （D）不能确定
4、反比例函数解析式的确定
确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数yk中，x只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
过反比例函数yk(k0)图像上任一点P（x,y）作x轴、y轴的垂线PM，xPN，垂足分别是M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PM•PN=y•xxy。
y
k,xyk,Sk。 xk图象上一点，AB垂直x轴于B点， y xA 例 如图，A为反比例函数y若S△AOB＝3，则k的值为（ ） A、6
B、3
C、
3 2D、不能确定
O B x 第六章 频率与概率
1、频率
（1）在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数； ．．（2）每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率； 即：．．
频率频数频数
数据总数实验次数（3）在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1。因此，各个小长方形的面积的和等于1。 2、概率的求法：
（1）一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为P（A）=（2）表格法
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 （3）树状图法
通过画树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
（当一次试验要涉及三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。）
例 在布袋中装有两个大小一样，质地相同的球，其中一个为红色，一个为白色。模拟“摸出一个球是白球”的机会，可以用下列哪种替代物进行实验（ ） （A） “抛掷一枚普通骰子出现1点朝上”的机会 （B） “抛掷一枚啤酒瓶盖出现盖面朝上”的机会 （C） “抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面朝上”的机会 （D） “抛掷一枚普通图钉出现针尖触地”的机会
例 如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和 4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两
12354
m n3498个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（ ） 23
（A） （B）
510
（C）
31
（D） 205
例 如图，一个小球从A点沿制定的轨道下落，在每个交叉 口都有向左或向右两种机会均等的结果，小球最终到达H点 的概率是（ ） （A）
例 如图是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1、2、 3、4和方块1、2、3、4，将它们背面朝上分别重新洗牌后， 从两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和 等于5的概率是（ ） （A）
例 在图中的甲、乙两个转盘中，指针指向每一个数字 的机会是均等的.当同时转动两个转盘，停止后指针所指 的两个数字表示两条线段的长，如果第三条线段的长为5， 那么这三条线段不能构成三角形的概率是（ ） ．．（A）
4 5 甲 1 2 7 4
乙
1111 （B） （C） （D） 2468
1113 （B） （C） （D） 2345
2 3 6 3 6912 （B） （C） 252525 （D）
16 25
