2012偏微分作业

攻读博士、硕士学位研究生试卷（作业）封面

（ 2012 至 2013 学年度第 1 学期）

题 目 双曲线方程的两个常用格式特点 科 目 偏微分方程的数值解法 姓 名 张明发 专 业 凝聚态物理 入学年月 2012-9-5

简短评语 成绩：

授课教师签字：

双曲线方程的两个常用格式特点

摘要 对迎风格式和二阶迎风格式的整理，列出了它们截断误

差和稳定性的的特点。通过在实际计算，来比较二者的差异，找出最合理的计算方法。

关键词 迎风格式 二阶迎风格式

引言 迎风格式在实际计算中引起来普遍的重视，从而产生了很多好的方法和技巧。从简单的一阶线性双曲线方程开始，构造差分格式，分析其稳定性及其他性质。构造差分格式最简单最常用的方法是差商代替微商，迎风格式就是在双曲线方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替.

一、迎风格式

a0:

a0:1nunujj1nunujjanunujj1hnunuj1j0;n+1nj-1jj+1ah0.截断误差: O(t+h)

稳定性: |a|l1 (l=t/h). 前两式可合写为

un1jn+1nn+1nnj1njj-1jj+1j-1njnj1jj+1 unjuu1aa2huu1aa0.2h二、顺风格式

n+1nj-1j2 j+1

a0:1nunujj1ununjjanunujj1hnunj1uj0; a0:ah0.截断误差: O(t+h) 稳定性: 绝对不稳定

n+1nj-1jj+1 若差分方程与微分方程特征线走向一致, 则条件稳定; 否则不稳定.

三、Beam-warming格式

3.1 a>0,用A、B、C三点的值 进行抛物插值得u(Q)

n1juuauunjnjnj1a2n1axuj1.2P截断误差: O(t2+h2+th) 稳定性:

-aAj-2Bj-1CjQDj+1j+2n+1En al2 (l=t/h)

这里的讨论适合于a>0的情形.

3.2 a<0,用C、D、E三点进行抛物插值得u(Q)

u

n1juaunjnj1au1ax2unj12nj截断误差: O(t2+h2+th)

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稳定性: |a|l2 (a<0, l=t/h). B-W格式的缺点:

1. 须借助其它格式计算 un1 或 unj1.

2. 会引起解的非物理振荡.

utux0,例、考虑定解问题u(x,0)1,x0,.0,x0,(1)用迎风格式求解

(2)用Beam-warming格式求解 (3)比较两种方法的异同

解：取h=0.01,=12,计算至tn=0.5. （1）迎风格式求解

解析解 数值解1.00.80.6)x(u0.40.20.0-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.2yingfeng x

（2）Beam-warming格式求解

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解析解 数值解1.00.80.60.4u(x)0.20.0-0.2-0.4-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0Beam-Warming x

(3)比较：迎风格式把解抹平了, 在两端点都没有振荡。数值解较精确解在波的上游偏小，下游偏大。而Beam-warming格式的数值解在波的上游较迎风格式更接近精确解，但在波的下游出现了振荡，很大距离后才与解析解重合。

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四、程序

迎风格式 program main

parameter (dj=150)

real a,h,lambda,x,x0,x1,dett,t0,t,t1 dimension u(0:dj),u1(0:dj) integer i,j,k

x0=-0.5;x1=1.0;t0=0;t1=0.50;a=1.0;h=0.01;lambda=0.5;det=lambda*h;x=x0+h do i=1,dj-1,1 if(x>0.0) then u(i)=0.0 else u(i)=1.0 endif x=x+h enddo

u(0)=1.0;u(dj)=0.0;t=t0+det u1(0)=1.0

do while(t<=t1)

open(1,file='yingfeng.dat') x=x0+h do j=1,dj,1 u1(j)=u(j)-a*lambda*(u(j)-u(j-1)) x=x+h enddo do k=1,dj,1 u(k)=u1(k) enddo t=t+det enddo x=x0

write(*,*)t-det do j=0,dj,1 write(1,10)x,u1(j) x=x+h enddo

10 format(1x,f5.3,5x,f8.5) close(1) end

Beam-warming格式

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program main

parameter (dj=150)

real a,h,lambda,x,x0,x1,dett,t0,t,t1 dimension u(0:dj),u1(0:dj) integer i,j,k

x0=-0.5;x1=1.0;t0=0;t1=0.50;a=1.0;h=0.01;lambda=0.5;det=lambda*h;x=x0+h do i=1,dj-1,1 if(x>0.0) then u(i)=0.0 else u(i)=1.0 endif x=x+h enddo

u(0)=1.0;u(dj)=0.0;t=t0+det do while(t<=t1)

open(1,file='Beam-warming.dat') x=x0+h

u1(1)=u(1)-a*lambda*(u(2)-u(0))/2.0+a**2.0*lambda**2.0*(u(2)-2*u(1)+u(0))/2.0 do j=2,dj,1

u1(j)=u(j)-a*lambda*(u(j)-u(j-1))-a*lambda/2.0*(1.0-a*lambda)*(u(j)-2*u(j-1)+u(j-2)) x=x+h enddo do k=1,dj-1,1 u(k)=u1(k) enddo t=t+det enddo x=x0

write(*,*)t-det do k=0,dj,1 write(1,10)x,u(k) x=x+h enddo

10 format(1x,f5.3,5x,f8.5) close(1) end

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