锐角三角函数
第2课时 余弦和正切
一、新课导入
问题：在Rt△ABC中，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比随之确定.∠A的邻边与斜边的比呢？∠A的对边与邻边的比呢？这节课我们学习余弦和正切.〔板书课题〕
〔1〕了解锐角三角函数的概念，理解余弦、正切的概念. 〔2〕能依据正弦、余弦、正切的定义进行相关的计算. 3.学习重、难点
重点：余弦、正切的概念. 难点：余弦、正切的求值. 二、分层学习
〔1〕自学内容：教材P探究. 〔2〕自学时间：8分钟. 〔3〕自学方法：完成探究提纲. 〔4〕探究提纲：
①∠A是任一个确定的锐角时，无关，那么
A的对边是一个固定值, 与三角形的大小
斜边A的邻边A的对边也是一个固定值吗？呢？
斜边A的邻边A的邻边叫做∠A的 余弦 ，
斜边②在Rt△ABC 中，∠C=90°，
b记作 cosA ，即cosA=.
c③在Rt△ABC 中，∠C=90°，
A的对边叫做∠A的 正切 ，记作 tanA ，
A的邻边即tanA=
a. b④锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的 锐角三角函数 .
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
〔1〕师助生：
①明了学情：明了学生是否能弄清正弦、余弦、正切分别表示直角三角形中哪两条边的比.
②差异指导：结合图形理解三个三角函数的意义. 〔2〕生助生：小组相互交流、研讨. 4.强化：余弦、正切的求值.
〔1〕自学内容：教材P65例2. 〔2〕自学时间：5分钟.
〔3〕自学方法：完成自学参考提纲.
④在Rt△ABC 中，∠C=90°，如果各边边长都扩大到原来的2倍，那么∠A的正弦、余弦和正切值有变化吗？说明理由.
∠A的正弦、余弦和正切值没有变化.理由：锐角三角函数值与三角形大小无关.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
〔1〕师助生：
①明了学情：明了学生是否能弄清正弦、余弦、正切分别表示直角三角形中哪两条边的比.
②差异指导：根据学情分类指导. 〔2〕生助生：小组内相互交流、研讨. 4.强化：
〔1〕直角三角形任意两边长，求其锐角的三角函数值问题：可先由勾股定理求出第三条边长，再按三角函数定义求值.
〔2〕点3名学生板演自学参考提纲第②、③题，点1名学生口答自学参考提纲第④题，并点评.
三、评价
1.学生自我评价:这节课你学到了哪些知识？还有什么问题未解决？ 2.教师对学生的评价：
〔1〕表现性评价:从学生学习、交流协作以及答复以下问题等方面进行评价.
〔2〕纸笔评价:课堂评价检测. 3.教师的自我评价〔教学反思〕.
本节课的引入采用探究的形式.首先引导学生认知特殊角的余弦、正切，进而引出锐角三角函数的定义.通过作图、猜想论证，配合由浅入深的练习，使学生不但知道对任意给定锐角，它的余弦、正切值是固定值，而且加以论证并会运用.在教学过程中逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力，提高学生对几何图形美的认识，感受三角函数的实际应用价值.
一、根底稳固〔70分〕
1.(10分)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，那么以下等式中不正确的选项是〔D〕
A.a=c×sinA B.b=a×tanB C.b=c×sinB D.c=
b cosB2.(10分)如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，那么cos∠AOB的值是〔C〕〔C〕
3.(30分)分别求出以下各图中的∠A、∠B的余弦和正切值.
4.(10分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，cosA＝值.
解：sinA=
512, tanB=. 13512，求sinA, tanB的1335.(10分)如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝5，sinB=．求
5cosD，tanD的值.
二、综合应用〔20分〕
6.(10分)如图，在等腰△ABC中,AB=AC=5,BCB,cosB,tanB的值.
1解：作AD⊥BC于D.∵AB=AC=5，∴BD=DC=BC=3.
2∴在Rt△ABD中，AD=AB2BD2 =4,∴sinB=
434,cosB=,tanB=. 55317.〔10分〕如图，点P在∠α的边OA上，且P点坐标为(，5)．求sinα，
2cosα和tanα的值.
解：sinα=
5125，cosα=,tanα=. 131312三、拓展延伸〔10分〕
8.(10分) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，请利用锐角三角函数的定义及勾股定理探索∠A的正弦、余弦之间的关系.
5.3.1 平行线的性质
一、新课导入 1.导入课题：
利用同位角、内错角、同旁内角之间的关系可以判定两条直线平行.你还记得这些判定方法分别是如何表达的吗？反过来，如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角又各有什么关系呢？这就是本节课我们所要研究的内容.〔板书课题〕
2.学习目标：
〔1〕能表达平行线的三条性质.
〔2〕能运用平行线的三条性质进行简单的推理和计算. 3.学习重、难点：
重点：对平行线性质的理解及它们与平行线的判定之间的关系. 难点：性质2和性质3的推理过程的逻辑表述. 二、分层学习
1.自学指导：
〔1〕自学内容：课本P18的内容. 〔2〕自学时间：8分钟.
〔3〕自学要求：正确画图、测量、验证、归纳. 〔4〕探究提纲：
①画图：画两条平行线a∥b,再画一条截线c与直线a、b相交〔如图1所示〕. ②测量：测量这些角的度数,把结果填入表内.
③分析：∠1～∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？ 答案：同位角有：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8，相等. ④猜想：两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系？
⑤验证：如果改变截线的位置，你的猜想还成立吗？ ⑥归纳：
a.你能用文字语言表述你发现的结论吗？ b.你还能用符号语言表述该结论吗？ 2.自学：学生按探究提纲进行研讨式学习. 3.助学： 〔1〕师助生：
①明了学情：了解学生围绕探究提纲进行学习的情况及存在的困惑. ②差异指导：对个别学生在学法和认知有偏差时进行点拨引导.
〔2〕生助生：小组内学生之间相互交流，展示成果，查找并纠正不正确的认识或结论.
4.强化：
〔1〕平行线的性质1及其几何表述.
〔2〕经历平行线的性质1的探究过程，体会研究几何图形的一般方法.
1.自学指导：
〔1〕自学内容：课本P19的内容. 〔2〕自学时间：8分钟.
〔3〕自学要求：阅读教材，重要的局部做好圈点，疑点处做好记号. 〔4〕自学参考提纲：
①与平行线的判定类似，你能由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？
a.结合图2，你能写出推理过程吗？
b.类比性质1，你能用文字语言表述上面的结论吗？ 答案：两直线平行，内错角相等. c.你还能用几何语言表述该结论吗？
②a.类似地，可以推出平行线关于同旁内角的性质3:两直线平行，同旁内角互补，如图2，用几何语言表述为：∵a∥b,∴∠2+∠4=180°.
b.试写出用性质1推出性质3的推理过程. c.试写出用性质2推出性质3的推理过程.
③如图3，平行线AB、CD被直线AE所截.
∠1＝110°，可以知道∠2是多少度吗？为什么？答案：∠2=110°.两直线平行，内错角相等.
∠1＝110°，可以知道∠3是多少度吗？为什么？答案：∠3=110°.两直线平行，同位角相等.
∠1＝110°，可以知道∠4是多少度吗？为什么？答案：∠4=70°.两直线平行，同旁内角互补.
④如图4，AB∥CD，AE∥CF，∠A＝39°，∠C是多少度？为什么？ 答案：∠C=39°.∵AB∥CD,∴∠C=∠FGB,又∵AE∥CF,∴∠A=∠FGB,∴∠A=∠C=39°.
2.自学：同学们可参照自学参考提纲进行自学. 3.助学： 〔1〕师助生：
①明了学情：教师深入课堂巡视了解学生的自学情况，尤其是性质2和性质3的推理过程，看学生能否写出来.
②差异指导：对局部感到困难的学生进行点拨引导. 〔2〕生助生：小组内相互交流、研讨、订正. 4.强化：
〔1〕平行线的性质1、2、3及其几何表述.
〔2〕判定与性质的区别：从角的关系得到两直线平行，就是判定；从直线平行得到角相等或互补，就是性质.
〔3〕练习：课本P20“练习〞第1题和第2题. 三、评价
1.学生学习的自我评价：各小组组长对本组的学习成果和困惑进行总结交流. 2.教师对学生的评价：
〔1〕表现性评价：对学生在学习中的态度、方法、成效及缺乏进行点评. 〔2〕纸笔评价：课堂评价检测. 3.教师的自我评价〔教学反思〕:
这节课比较成功的地方是：①对教学的方式进行了一定的尝试，注重学生的分析能力，启发学生用不同方法解决问题.②尽量锻炼学生使用标准性的几何语言.缺乏的是师生之间的互动配合和默契程度有待加强.
(时间：12分钟总分值：100分)
一、根底稳固〔60分〕
1.〔10分〕如图，由AB∥CD可以得到〔C〕
A.∠1＝∠2 B.∠2＝∠3 C.∠1＝∠4 D.∠3＝∠4
第1题图 第2题图
2.〔10分〕如图，如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝〔C〕 A.180° B.270° C.360° D.540°
3.〔10分〕如图,一条公路两次转弯后,和原来的方向相同,那么如果第一次拐的角是76°,那么第二次拐的角是76度,根据是两直线平行，内错角相等.
4.〔10分〕如图,要在公路的两侧铺设平行管道,如果公路一侧铺设的管道与纵向联通管道的角度为120°,那么,为了使管道对接,另一侧应以60°角度铺设纵向联通管道,根据是两直线平行，同旁内角互补.
第3题图 第4题图 第5题图 5.〔20分〕如图,a∥b,c、d是截线，假设∠1＝80°，∠5＝70°，求∠2、∠3、∠4各是多少度?为什么？
解：∵a∥b，
∴∠2=∠1=80°〔两直线平行，内错角相等〕, ∠3=180°-∠5=110°(两直线平行，同旁内角互补). ∵∠4=∠3(两直线平行，同位角相等)， ∴∠4=110°.
二、综合运用〔20分〕
6.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，∠1＝45°，∠2＝122°，求图中其他角的度数.
解：由题意得：
∠3=∠1=45°,∠1+∠7=180°,∴∠7=180°-∠1=135°. ∴∠8=∠7=135°.
又∠4=∠2=122°，∠2+∠5=180°，∴∠5=180°-∠2=58°. ∴∠6=∠5=58°. 三、拓展延伸〔20分〕
7.如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝44°，∠C＝57°. 〔1〕∠DAB等于多少度？为什么？ 〔2〕∠EAC等于多少度？为什么？ 〔3〕∠BAC等于多少度？
〔4〕由〔1〕、〔2〕、〔3〕的结果，你能说明为什么三角形的内角和是180°吗？
解：〔1〕∵DE∥BC，
∴∠DAB=∠B=44°〔两直线平行，内错角相等〕. 〔2〕∵DE∥BC，
∴∠EAC=∠C=57°(两直线平行，内错角相等). 〔3〕∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠DAB-∠EAC=180°-44°-57°=79°.
