教学方法 母● ・ ・ ● 浅谈虚数概念 ◎胡 颖 （江苏省运河高等师范学校，江苏入 邳州 ２２１３００） 【摘要】发生教学法以数学史为依托，特别强调知识产 生的历史动机和知识的生发过程，以及学生学习动机的激 发．本文在该教学法指导下，基于虚数产生的历史，在实践 中探究了如何借助数学史让学生获得深层次的思维活动， 展示了一个适用于教学的“历史套装”． 不但解决了矛盾，而且还由此给出了＿虚数运算法则．但是， 邦贝利的发现并没有改变虚数的“命运”，此后的数学家们 依旧对这个“虚无缥缈”的怪物心存疑虑，笛卡儿将其命名 为虚数便是明显的写照．德国著名数学家莱布尼茨在研读 【关键词】发生教学法；虚数；复数 “数系的扩充和复数的概念”是在数学知识学习过程中 通过数学史的介人体现数学文化教育价值的好素材．很多 教师在上公开课的时候，喜欢选择这个课题，觉得能体现出 数学文化味，能打破数学课堂的冷漠与沉闷．大家在课堂的 不同时段以各自不同的方式引入了数学史料．那如何借助 数学史，提升教师的教学知识？如何成功地把数学史运用 于数学教学中，帮助学生理解特定的主题，以提升数学学习 邦贝利的《代数学》一书时，对邦贝利的讨论并不满意，因 此，对其进行了更加深入的研究．他发现在利用三次方程求 根公式时，只有当方程有三个实数根的时候，才可能出现 “不可能”的情形．这使莱布尼茨更加困惑：“方程的一个实 根怎么可能用虚数来表示呢？”．有一次，他在解方程组 ｆ Ｘ２ ＋Ｉ ＇， ｃ 时，从中解得 ＝√争√等一二 叶 ｃ２，ｙ＝ ｍ－ √ ＋√等一ｃ２，因此，当ｃ＞告时√ 莩一ｃ 为虚数，但 ＋ｙ 确等于某个实数ｄ，于是ｄ＝ ＋），：√争－√等一ｃ２＋ — 成效和教学品质呢？实践结果表明，发生教学法，可以使得 数学史料与数学课堂“生成”融合，让课堂教学突围． 本节课的教学内容是在学生学习了实数的基础上通过 研究 ＝一１引人虚数后得到复数系．很多课堂都遵循着这 样的教学流程： ￣／ ’ 经过不断的探索，最后，他想到了如下运算：如果设： 引入：人们发现，像 ＝一１这么简单的方程，在实数集 内也没有根，为了解决这个问题，引入符号ｉ，由此给出复数 的概念．很多教师从来没有动摇过“引入虚数，就是为了使 得所有的一元二次方程都有解，进一步扩充实数系是为了 解方程的需要”． －√丢 ＋√ ， 一＂２， －￣２＋ ，比较ｄ的两个 号－√等一ｃ ＋２ｃ＝６＋２ｃ．于是ｄ＝ 事实上，通过访谈和调查显示：半数的学生学过复数后 对虚数单位ｉ的引入产生过疑惑，大多数学生不了解虚数单 位的来源，半数的学生认为虚数是整章中最难理解的部分． 为什么要引入虚数单位？（负实数可以开平方根） 为什么要让负实数开平方根？（使得所有的一元二次 方程都有根） 值， 丢 。＋√ ｃ：２代入上式，就得至 ｌ＋ ＝瓜将 ， ＋￣／１一 ＝ 对此，莱布尼茨感到十分困惑．他说：“我不明白，一个 用虚数或不可能的数表示的量怎么会是实数呢？我怀疑是 不是哪里出错了．于是，回头检查每一步计算，但结果都 一样．” 为什么要让所有的一元二次方程都有根？（没有就没 有嘛？） 研读历史，能使我们对虚数单位的产生过程获得重要 认识，更加清晰地理解教学内容，历史上数学家并不是直接 面对 ＝一１来扩充实数系的．两个数的和的存在让我们没 有理由去怀疑两个加数的存在．只有一种可能：存在除了实 数之外的数．这促使了数学家们创造出了虚数，这是数学家 研究动机的源头． 面对学生的困惑，带着这些问题，要追根溯源． 从历史发展来看，早在公元３世纪，丢番图在《算术》中 就遇到了二次方程无实解的问题，但此后的数学家都一致 认为当判别式小于零时方程是无实解的．复数历史的真正 开端是１６世纪，意大利数学家卡丹在解决著名问题：“将１０ 分成两部分，使它们的乘积等于４Ｏ”时首次给出了形如“５ ＋ 一１５和５一 一ｌ５”的两个解，但他认为这是不可能的 情形．随后，在利用他发表的三次方程求根公式解方程 ＝ ＋ｌＯ时也遇到了同样的困难，因为这同样是“不可能”的 情形．二十几年以后，另一位意大利数学家邦贝利在解三次 数学讨论的许多抽象概念，最难掌握的是研究动机，也 就是引入这些概念究竟干什么，这正是我们的学生感到困 惑的地方，而这只能通过历史才能看到它的来龙去脉．理解 一门学科最有意义的可能途径就是遵循历史演化的基本步 骤，这是发生教学法的认识基础．以史为镜，突破了我们对 教学内容的原有认识． 方程的时候同样出现了“不可能的情形”，邦贝利经过研究， 数学学习与研究２０１７．２３
