二、模糊矩阵的λ-截矩阵定义2 设A=(aij)n×m为模糊矩阵，对任意的λ∈[0,1], 作矩阵
()Aaijnm
其中，
a()ij1, aij0, aij
称为模糊矩阵A的λ-截矩阵。显然，Aλ为布尔矩阵，且其等价性与与A一致。
意义：将模糊等价矩阵转化为等价的布尔矩阵，可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关系是可以分类的。因此，当λ在[0,1]上变动时，由Aλ得到不同的分类。
若λ1＜λ2, 则Aλ1≥Aλ2, 从而由Aλ2确定的分类是由Aλ1确定的分类的加细。当λ从1递减变化到0时，Aλ的分类由细变粗，逐渐归并，形成一个分级聚类树。
例1 设U={u1, u2, u3, u4, u5}, 对给定的U上的模糊等价关系
让λ从1到0变化，观察分类过程。
(1) 当λ=1时，
10R100000001000010000100001
分类结果为5类：（每行代表一类，1代表对应元素在该类）
{u1}, {u2}, {u3}, {u4}, {u5}
(2) 当λ=0.8时，
10R0.810001001000010000100001
分类结果为4类：{u1, u3}, {u2}, {u4}, {u5}
(3) 当λ=0.6时，
1001R0.6100000分类结果为3类：{u1, u3}, {u2}, {u4, u5}
(4) 当λ=0.5时，
1001R0.5101010分类结果为2类：{u1, u3, u4, u5}, {u2}
(4) 当λ=0.4（R中的最小值）时，
100000100011011
111000111111111
R0.41111111111111111111111111
分类结果为1类：{u1, u2, u3, u4, u5}
整个动态分类过程如下：
（二）基于择近原则的模糊聚类
择近原则就是利用贴近度来实现分类操作，贴近度用来衡量两个模糊集A和B的接近程度，用N(A,B)表示。贴近度越大，表明二者越接近。
设论域有限或者在一定区间，即U={u1, u2, …, un}或U=[a,b], 常用的贴近度有以下三种：
(1) 海明贴近度
1nN(A,B)1|A(ui)B(ui)|ni1
1bN(A,B)1|A(ui)B(ui)|duaba
(2) 欧氏贴近度
1n2N(A,B)1[A(u)B(u)]iini1
1ba12N(A,B)1[A(u)B(u)]du
b2aii12(3) 格贴近度
N(A,B)(AB)(AcBc)
n其中，
ABA(ui)B(ui)i1.
Matlab实现：格贴近度的实现函数fuz_closing.m
function y=fuz_closing(A,B,type)
%要求A与B列数相同的行向量
[m,n]=size(A);
switch type
case 1 %海明贴近度
y=1-sum(abs(A-B))/n;
case 2 %欧氏贴近度
y=1-(sum(A-B).^2)^(1/2)/sqrt(n);
case 3 %格贴近度
y1=max(min(ones(m,n)-A,ones(m,n)-B));
%ones(m,n)-A等于A^c
y2=max(min(A,B));
y=min(y1,y2);
end
例2 设某产品的质量等级分为5级，其中一级有5种评判因素u1, u2, u3, u4, u5. 每一等级的模糊集为
B1={0.5 0.5 0.6 0.4 0.3}
B2={0.3 0.3 0.4 0.2 0.2}
B3={0.2 0.2 0.3 0.1 0.1}
B4={0.1 0.1 0.2 0.1 0}
B5={0.1 0.1 0.1 0.1 0}
假设某产品各评判因素的值为A={0.4 0.3 0.2 0.1 0.2}, 问该产品属于哪个等级？
代码：
A=[0.4 0.3 0.2 0.1 0.2];
B=[0.5 0.5 0.6 0.4 0.3;
0.3 0.3 0.4 0.2 0.2;
0.2 0.2 0.3 0.1 0.1;
0.1 0.1 0.2 0.1 0;
0.1 0.1 0.1 0.1 0];
for i=1:5
haiming(i)=fuz_closing(A,B(i,:),1);
oushi(i)=fuz_closing(A,B(i,:),2);
ge(i)=fuz_closing(A,B(i,:),3);
end
haiming
oushi
ge
运行结果：
haiming = 0.7800 0.9200 0.9000 0.8600 0.8400
oushi = 0.5081 0.9106 0.8658 0.6870 0.22
ge = 0.4000 0.3000 0.2000 0.2000 0.1000
可见样本A与各等级的格贴近度分别为0.4, 0.3, 0.2, 0.2, 0.1, 故可认为该产品属于B1等级。若按令两种贴近度判断，该产品属于B2等级。
（三）基于模糊等价关系的模糊聚类
一、算法步骤
1. 样本数据归一化
设X={x1, x2, …, xn}为要分类的n个样本，每个样本有m个指标，即
xi={ xi1, xi2, …, xim}, i=1,2,..,n
得到原始数据矩阵X=( xij)n×m.
由于不同指标的数据量纲不同，为了使数据能够比较，要先对X做归一化处理。
2. 建立模糊相似矩阵R
先建立样本xi与xj相似程度rij, 进而构造模糊相似矩阵R=(rij)n×n建立rij常用的方法有：
(1) 相似系数法
rijxk1mikxjk ①夹角余弦法：
xk1m2ikxk1m2jk
rij|xk1mk1mikxi||xjkxj|22(xx)jkjk1m ②相关系数法：
(xikxi)
(2) 距离法
一般取 rij=1-c(d(xi,xj))α, 其中c和α为适当选取的参数，使得
0≤rij≤1. 常用的距离有：
①海明距离：
d(xi,xj)|xikxjk|k1m
②欧氏距离：
d(xi,xj)(xk1mikxjk)2
③切比雪夫距离：
d(xi,xj)max|xikxjk|1km
(3) 贴近度法
rij(x(xk1k1mmikxjk)xjk)①最大最小法：
ik
rij②算术平均最小法：
(xk1mmikxjk)1(xikxjk)2k1
rij③几何平均最小法：
(xk1mmikxjk)
k1xikxjk
3. 求出R的传递闭包t(R)
24222lll即改造相似关系为等价关系：令RRR, 再令RRR, …, 直到满足RRR与Rl相等，即为t(R), 仍记为R.
4. 选取合适的λ, 利用λ-截矩阵Rλ进行分类（参考例1）。
二、Matlab实现
求模糊相似矩阵R的函数：fuz_distance.m
function R=fuz_distance(x,type)
%x为归一化的数据矩阵, type选择计算相似程度的方法
%返回模糊相似矩阵R
[n,m]=size(x);
%距离法的选择参数c和a, 需要根据具体情况修改以保证R(i,j)属于[0,1]
c=0.1;
a=1;
for i=1:n
for j=1:n
switch type
case 1 %夹角余弦法
R(i,j)=(x(i,:)*x(j,:)')/(norm(x(i,:),2)*norm(x(j,:),2));
case 2 %相关系数法
Dxi=abs(x(i,:)-mean(x(i,:)));
Dxj=abs(x(j,:)-mean(x(j,:))); R(i,j)=(Dxi*Dxj')/(norm(Dxi,2)*norm(Dxj,2));
case 3 %海明距离法
d=sum(abs(x(i,:)-x(j,:)));
R(i,j)=1-c*d^a;
case 4 %欧氏距离法
d=norm(x(i,:)-x(j,:),2);
R(i,j)=1-c*d^a;
case 5 %切比雪夫距离法
d=max(abs(x(i,:)-x(j,:)));
R(i,j)=1-c*d^a;
case 6 最大最小(贴近度)法 R(i,j)=sum(min([x(i,:);x(j,:)]))/sum(max([x(i,:);x(j,:)]));
case 7 算术平均最小(贴近度)法 R(i,j)=2*sum(min([x(i,:);x(j,:)]))/sum(x(i,:)+x(j,:));
case 8 %几何平均最小(贴近度)法 R(i,j)=sum(min([x(i,:);x(j,:)]))/sum(sqrt(x(i,:).*x(j,:)));
end
end
end
求R的传递闭包t(R)的函数：tran_R.m
function [B,k]=tran_R(R)
% R为模糊相似矩阵, 循环构造满足传递性的t(R)
%k为满足R^2k = R^k的最小的自然数k
n=length(R);
B=zeros(n,n);
flag=0;
k=1/2;
while flag==0
B=fco(R,R); %做模糊合成运算
k=2*k;
if B==R
flag=1;
else
R=B; %循环计算R传递闭包
end
end
上面的函数tran_R.m调用函数矩阵模糊合成算子函数：fco.m
function B=fco(Q,R)
%实现模糊合成算子的计算, 要求Q的列数等于R的行数
[n,m]=size(Q);
[m,l]=size(R);
B=zeros(n,l);
for i=1:n
for k=1:l
B(i,k)=max(min([Q(i,:);R(:,k)']));
end
end
求t(R)的λ-截矩阵的函数：fuz_lamda.m
function y=fuz_lamda(X,m)
%用λ-截矩阵将样本分成m类, m≤总样本数
lamda=unique(X)'; %根据R中的值取λ值
%unique函数取矩阵不重复元素组成向量并从小到大排好序
X(find(XX(find(X>=lamda(m)))=1;y=X;
例3某地区设有11个雨量站，其分布如图所示：
10年来各雨量站测得的年降雨量表如下：
现因经费问题，希望撤销几个雨量站，问撤销哪些雨量站而不会太多地减少降雨信息？
分析：对11个雨量站进行模糊聚类，同一类的只需保留一个即可。比如，已知该市决定撤销6个只保留5个雨量站，则模糊聚类为5类。
代码：
load data;
%数据归一化
[X,ps]=mapminmax(data',0,1);
X=X';
%选择计算相似程度的方法
type=3; % c=0.1, a=1, 此时也称绝对值减数法
%求模糊相似矩阵R0
R0=fuz_distance(X,type)
%将模糊相似矩阵R0改造成模糊等价矩阵R
[R,k]=tran_R(R0)
%求将样本分成8类的λ-截矩阵
R_lamda=fuz_lamda(R,8)
运行结果及说明：
归一化后的数据矩阵X:
模糊相似矩阵R0:
由R0改造成的模糊等价矩阵R:
k = 8 说明R16=R8.
将样本分为5类的λ-截矩阵R_lamda:
可以判断5类分别是：
{x1, x7} {x2, x4, x5, x6} {x3, x9} {x8, x11} {x10}
注：对于这类C均值模糊聚类问题，也可以直接调用Matlab自带的模糊聚类函数fcm.m求解。调用方式：
[center,U, obj_fcn,]=fcm(data,cluster_n)
其中，data为归一化后的样本数据，每一行是一个样本；cluster_n为聚类数；center返回最终的聚类中心矩阵；U为最终的模糊分区矩阵；obj_fcn为迭代过程中的目标函数值（越小越好）。
代码：（X为前面已归一化的样本数据）
[center,U, obj_fcn]=fcm(X,5)
maxU=max(U);
index1 = find(U(1,:)==maxU); %第一类
index2 = find(U(2,:)==maxU); %第二类
index3 = find(U(3,:)==maxU); %第三类
index4 = find(U(4,:)==maxU); %第四类
index5 = find(U(5,:)==maxU); %第五类
class1=X(index1,:) %第一类中的样本数据
class2=X(index2,:) %第二类中的样本数据
class3=X(index3,:) %第三类中的样本数据
class4=X(index4,:) %第四类中的样本数据
class5=X(index5,:) %第五类中的样本数据
运行结果略，对比class1-class5与X, 得到分类结果与前文相同。另外，分为5类的obj_fcn=1.0578, 如何选取合适的分类数，使得obj_fcn达到最小（最优模糊聚类）放到下一篇。
